-532,234 275 078 342 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -532,234 275 078 342 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-532,234 275 078 342 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-532,234 275 078 342 3| = 532,234 275 078 342 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 532.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 532 : 2 = 266 + 0;
  • 266 : 2 = 133 + 0;
  • 133 : 2 = 66 + 1;
  • 66 : 2 = 33 + 0;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

532(10) =

10 0001 0100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,234 275 078 342 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,234 275 078 342 3 × 2 = 0 + 0,468 550 156 684 6;
  • 2) 0,468 550 156 684 6 × 2 = 0 + 0,937 100 313 369 2;
  • 3) 0,937 100 313 369 2 × 2 = 1 + 0,874 200 626 738 4;
  • 4) 0,874 200 626 738 4 × 2 = 1 + 0,748 401 253 476 8;
  • 5) 0,748 401 253 476 8 × 2 = 1 + 0,496 802 506 953 6;
  • 6) 0,496 802 506 953 6 × 2 = 0 + 0,993 605 013 907 2;
  • 7) 0,993 605 013 907 2 × 2 = 1 + 0,987 210 027 814 4;
  • 8) 0,987 210 027 814 4 × 2 = 1 + 0,974 420 055 628 8;
  • 9) 0,974 420 055 628 8 × 2 = 1 + 0,948 840 111 257 6;
  • 10) 0,948 840 111 257 6 × 2 = 1 + 0,897 680 222 515 2;
  • 11) 0,897 680 222 515 2 × 2 = 1 + 0,795 360 445 030 4;
  • 12) 0,795 360 445 030 4 × 2 = 1 + 0,590 720 890 060 8;
  • 13) 0,590 720 890 060 8 × 2 = 1 + 0,181 441 780 121 6;
  • 14) 0,181 441 780 121 6 × 2 = 0 + 0,362 883 560 243 2;
  • 15) 0,362 883 560 243 2 × 2 = 0 + 0,725 767 120 486 4;
  • 16) 0,725 767 120 486 4 × 2 = 1 + 0,451 534 240 972 8;
  • 17) 0,451 534 240 972 8 × 2 = 0 + 0,903 068 481 945 6;
  • 18) 0,903 068 481 945 6 × 2 = 1 + 0,806 136 963 891 2;
  • 19) 0,806 136 963 891 2 × 2 = 1 + 0,612 273 927 782 4;
  • 20) 0,612 273 927 782 4 × 2 = 1 + 0,224 547 855 564 8;
  • 21) 0,224 547 855 564 8 × 2 = 0 + 0,449 095 711 129 6;
  • 22) 0,449 095 711 129 6 × 2 = 0 + 0,898 191 422 259 2;
  • 23) 0,898 191 422 259 2 × 2 = 1 + 0,796 382 844 518 4;
  • 24) 0,796 382 844 518 4 × 2 = 1 + 0,592 765 689 036 8;
  • 25) 0,592 765 689 036 8 × 2 = 1 + 0,185 531 378 073 6;
  • 26) 0,185 531 378 073 6 × 2 = 0 + 0,371 062 756 147 2;
  • 27) 0,371 062 756 147 2 × 2 = 0 + 0,742 125 512 294 4;
  • 28) 0,742 125 512 294 4 × 2 = 1 + 0,484 251 024 588 8;
  • 29) 0,484 251 024 588 8 × 2 = 0 + 0,968 502 049 177 6;
  • 30) 0,968 502 049 177 6 × 2 = 1 + 0,937 004 098 355 2;
  • 31) 0,937 004 098 355 2 × 2 = 1 + 0,874 008 196 710 4;
  • 32) 0,874 008 196 710 4 × 2 = 1 + 0,748 016 393 420 8;
  • 33) 0,748 016 393 420 8 × 2 = 1 + 0,496 032 786 841 6;
  • 34) 0,496 032 786 841 6 × 2 = 0 + 0,992 065 573 683 2;
  • 35) 0,992 065 573 683 2 × 2 = 1 + 0,984 131 147 366 4;
  • 36) 0,984 131 147 366 4 × 2 = 1 + 0,968 262 294 732 8;
  • 37) 0,968 262 294 732 8 × 2 = 1 + 0,936 524 589 465 6;
  • 38) 0,936 524 589 465 6 × 2 = 1 + 0,873 049 178 931 2;
  • 39) 0,873 049 178 931 2 × 2 = 1 + 0,746 098 357 862 4;
  • 40) 0,746 098 357 862 4 × 2 = 1 + 0,492 196 715 724 8;
  • 41) 0,492 196 715 724 8 × 2 = 0 + 0,984 393 431 449 6;
  • 42) 0,984 393 431 449 6 × 2 = 1 + 0,968 786 862 899 2;
  • 43) 0,968 786 862 899 2 × 2 = 1 + 0,937 573 725 798 4;
  • 44) 0,937 573 725 798 4 × 2 = 1 + 0,875 147 451 596 8;
  • 45) 0,875 147 451 596 8 × 2 = 1 + 0,750 294 903 193 6;
  • 46) 0,750 294 903 193 6 × 2 = 1 + 0,500 589 806 387 2;
  • 47) 0,500 589 806 387 2 × 2 = 1 + 0,001 179 612 774 4;
  • 48) 0,001 179 612 774 4 × 2 = 0 + 0,002 359 225 548 8;
  • 49) 0,002 359 225 548 8 × 2 = 0 + 0,004 718 451 097 6;
  • 50) 0,004 718 451 097 6 × 2 = 0 + 0,009 436 902 195 2;
  • 51) 0,009 436 902 195 2 × 2 = 0 + 0,018 873 804 390 4;
  • 52) 0,018 873 804 390 4 × 2 = 0 + 0,037 747 608 780 8;
  • 53) 0,037 747 608 780 8 × 2 = 0 + 0,075 495 217 561 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,234 275 078 342 3(10) =

0,0011 1011 1111 1001 0111 0011 1001 0111 1011 1111 0111 1110 0000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

532,234 275 078 342 3(10) =

10 0001 0100,0011 1011 1111 1001 0111 0011 1001 0111 1011 1111 0111 1110 0000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


532,234 275 078 342 3(10) =

10 0001 0100,0011 1011 1111 1001 0111 0011 1001 0111 1011 1111 0111 1110 0000 0(2) =

10 0001 0100,0011 1011 1111 1001 0111 0011 1001 0111 1011 1111 0111 1110 0000 0(2) × 20 =

1,0000 1010 0001 1101 1111 1100 1011 1001 1100 1011 1101 1111 1011 1111 0000 00(2) × 29


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1010 0001 1101 1111 1100 1011 1001 1100 1011 1101 1111 1011 1111 0000 00


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1010 0001 1101 1111 1100 1011 1001 1100 1011 1101 1111 1011 11 1100 0000 =

0000 1010 0001 1101 1111 1100 1011 1001 1100 1011 1101 1111 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0000 1010 0001 1101 1111 1100 1011 1001 1100 1011 1101 1111 1011


Numărul zecimal -532,234 275 078 342 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1000 - 0000 1010 0001 1101 1111 1100 1011 1001 1100 1011 1101 1111 1011

Distribuie

» Scriere -532,234 275 078 342 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100