-7,769 489 691 003 53 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -7,769 489 691 003 53(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-7,769 489 691 003 53(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-7,769 489 691 003 53| = 7,769 489 691 003 53


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 7.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

7(10) =

111(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,769 489 691 003 53.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,769 489 691 003 53 × 2 = 1 + 0,538 979 382 007 06;
  • 2) 0,538 979 382 007 06 × 2 = 1 + 0,077 958 764 014 12;
  • 3) 0,077 958 764 014 12 × 2 = 0 + 0,155 917 528 028 24;
  • 4) 0,155 917 528 028 24 × 2 = 0 + 0,311 835 056 056 48;
  • 5) 0,311 835 056 056 48 × 2 = 0 + 0,623 670 112 112 96;
  • 6) 0,623 670 112 112 96 × 2 = 1 + 0,247 340 224 225 92;
  • 7) 0,247 340 224 225 92 × 2 = 0 + 0,494 680 448 451 84;
  • 8) 0,494 680 448 451 84 × 2 = 0 + 0,989 360 896 903 68;
  • 9) 0,989 360 896 903 68 × 2 = 1 + 0,978 721 793 807 36;
  • 10) 0,978 721 793 807 36 × 2 = 1 + 0,957 443 587 614 72;
  • 11) 0,957 443 587 614 72 × 2 = 1 + 0,914 887 175 229 44;
  • 12) 0,914 887 175 229 44 × 2 = 1 + 0,829 774 350 458 88;
  • 13) 0,829 774 350 458 88 × 2 = 1 + 0,659 548 700 917 76;
  • 14) 0,659 548 700 917 76 × 2 = 1 + 0,319 097 401 835 52;
  • 15) 0,319 097 401 835 52 × 2 = 0 + 0,638 194 803 671 04;
  • 16) 0,638 194 803 671 04 × 2 = 1 + 0,276 389 607 342 08;
  • 17) 0,276 389 607 342 08 × 2 = 0 + 0,552 779 214 684 16;
  • 18) 0,552 779 214 684 16 × 2 = 1 + 0,105 558 429 368 32;
  • 19) 0,105 558 429 368 32 × 2 = 0 + 0,211 116 858 736 64;
  • 20) 0,211 116 858 736 64 × 2 = 0 + 0,422 233 717 473 28;
  • 21) 0,422 233 717 473 28 × 2 = 0 + 0,844 467 434 946 56;
  • 22) 0,844 467 434 946 56 × 2 = 1 + 0,688 934 869 893 12;
  • 23) 0,688 934 869 893 12 × 2 = 1 + 0,377 869 739 786 24;
  • 24) 0,377 869 739 786 24 × 2 = 0 + 0,755 739 479 572 48;
  • 25) 0,755 739 479 572 48 × 2 = 1 + 0,511 478 959 144 96;
  • 26) 0,511 478 959 144 96 × 2 = 1 + 0,022 957 918 289 92;
  • 27) 0,022 957 918 289 92 × 2 = 0 + 0,045 915 836 579 84;
  • 28) 0,045 915 836 579 84 × 2 = 0 + 0,091 831 673 159 68;
  • 29) 0,091 831 673 159 68 × 2 = 0 + 0,183 663 346 319 36;
  • 30) 0,183 663 346 319 36 × 2 = 0 + 0,367 326 692 638 72;
  • 31) 0,367 326 692 638 72 × 2 = 0 + 0,734 653 385 277 44;
  • 32) 0,734 653 385 277 44 × 2 = 1 + 0,469 306 770 554 88;
  • 33) 0,469 306 770 554 88 × 2 = 0 + 0,938 613 541 109 76;
  • 34) 0,938 613 541 109 76 × 2 = 1 + 0,877 227 082 219 52;
  • 35) 0,877 227 082 219 52 × 2 = 1 + 0,754 454 164 439 04;
  • 36) 0,754 454 164 439 04 × 2 = 1 + 0,508 908 328 878 08;
  • 37) 0,508 908 328 878 08 × 2 = 1 + 0,017 816 657 756 16;
  • 38) 0,017 816 657 756 16 × 2 = 0 + 0,035 633 315 512 32;
  • 39) 0,035 633 315 512 32 × 2 = 0 + 0,071 266 631 024 64;
  • 40) 0,071 266 631 024 64 × 2 = 0 + 0,142 533 262 049 28;
  • 41) 0,142 533 262 049 28 × 2 = 0 + 0,285 066 524 098 56;
  • 42) 0,285 066 524 098 56 × 2 = 0 + 0,570 133 048 197 12;
  • 43) 0,570 133 048 197 12 × 2 = 1 + 0,140 266 096 394 24;
  • 44) 0,140 266 096 394 24 × 2 = 0 + 0,280 532 192 788 48;
  • 45) 0,280 532 192 788 48 × 2 = 0 + 0,561 064 385 576 96;
  • 46) 0,561 064 385 576 96 × 2 = 1 + 0,122 128 771 153 92;
  • 47) 0,122 128 771 153 92 × 2 = 0 + 0,244 257 542 307 84;
  • 48) 0,244 257 542 307 84 × 2 = 0 + 0,488 515 084 615 68;
  • 49) 0,488 515 084 615 68 × 2 = 0 + 0,977 030 169 231 36;
  • 50) 0,977 030 169 231 36 × 2 = 1 + 0,954 060 338 462 72;
  • 51) 0,954 060 338 462 72 × 2 = 1 + 0,908 120 676 925 44;
  • 52) 0,908 120 676 925 44 × 2 = 1 + 0,816 241 353 850 88;
  • 53) 0,816 241 353 850 88 × 2 = 1 + 0,632 482 707 701 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,769 489 691 003 53(10) =

0,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1000 0010 0100 0111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

7,769 489 691 003 53(10) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1000 0010 0100 0111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


7,769 489 691 003 53(10) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1000 0010 0100 0111 1(2) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1000 0010 0100 0111 1(2) × 20 =

1,1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0000 1001 0001 111(2) × 22


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0000 1001 0001 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0000 1001 0001 111 =

1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0000 1001 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0000 1001 0001


Numărul zecimal -7,769 489 691 003 53 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0001 - 1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0000 1001 0001

» Scriere -7,769 489 691 003 92 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100