-7,769 489 691 005 138 913 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -7,769 489 691 005 138 913(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-7,769 489 691 005 138 913(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-7,769 489 691 005 138 913| = 7,769 489 691 005 138 913


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 7.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

7(10) =

111(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,769 489 691 005 138 913.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,769 489 691 005 138 913 × 2 = 1 + 0,538 979 382 010 277 826;
  • 2) 0,538 979 382 010 277 826 × 2 = 1 + 0,077 958 764 020 555 652;
  • 3) 0,077 958 764 020 555 652 × 2 = 0 + 0,155 917 528 041 111 304;
  • 4) 0,155 917 528 041 111 304 × 2 = 0 + 0,311 835 056 082 222 608;
  • 5) 0,311 835 056 082 222 608 × 2 = 0 + 0,623 670 112 164 445 216;
  • 6) 0,623 670 112 164 445 216 × 2 = 1 + 0,247 340 224 328 890 432;
  • 7) 0,247 340 224 328 890 432 × 2 = 0 + 0,494 680 448 657 780 864;
  • 8) 0,494 680 448 657 780 864 × 2 = 0 + 0,989 360 897 315 561 728;
  • 9) 0,989 360 897 315 561 728 × 2 = 1 + 0,978 721 794 631 123 456;
  • 10) 0,978 721 794 631 123 456 × 2 = 1 + 0,957 443 589 262 246 912;
  • 11) 0,957 443 589 262 246 912 × 2 = 1 + 0,914 887 178 524 493 824;
  • 12) 0,914 887 178 524 493 824 × 2 = 1 + 0,829 774 357 048 987 648;
  • 13) 0,829 774 357 048 987 648 × 2 = 1 + 0,659 548 714 097 975 296;
  • 14) 0,659 548 714 097 975 296 × 2 = 1 + 0,319 097 428 195 950 592;
  • 15) 0,319 097 428 195 950 592 × 2 = 0 + 0,638 194 856 391 901 184;
  • 16) 0,638 194 856 391 901 184 × 2 = 1 + 0,276 389 712 783 802 368;
  • 17) 0,276 389 712 783 802 368 × 2 = 0 + 0,552 779 425 567 604 736;
  • 18) 0,552 779 425 567 604 736 × 2 = 1 + 0,105 558 851 135 209 472;
  • 19) 0,105 558 851 135 209 472 × 2 = 0 + 0,211 117 702 270 418 944;
  • 20) 0,211 117 702 270 418 944 × 2 = 0 + 0,422 235 404 540 837 888;
  • 21) 0,422 235 404 540 837 888 × 2 = 0 + 0,844 470 809 081 675 776;
  • 22) 0,844 470 809 081 675 776 × 2 = 1 + 0,688 941 618 163 351 552;
  • 23) 0,688 941 618 163 351 552 × 2 = 1 + 0,377 883 236 326 703 104;
  • 24) 0,377 883 236 326 703 104 × 2 = 0 + 0,755 766 472 653 406 208;
  • 25) 0,755 766 472 653 406 208 × 2 = 1 + 0,511 532 945 306 812 416;
  • 26) 0,511 532 945 306 812 416 × 2 = 1 + 0,023 065 890 613 624 832;
  • 27) 0,023 065 890 613 624 832 × 2 = 0 + 0,046 131 781 227 249 664;
  • 28) 0,046 131 781 227 249 664 × 2 = 0 + 0,092 263 562 454 499 328;
  • 29) 0,092 263 562 454 499 328 × 2 = 0 + 0,184 527 124 908 998 656;
  • 30) 0,184 527 124 908 998 656 × 2 = 0 + 0,369 054 249 817 997 312;
  • 31) 0,369 054 249 817 997 312 × 2 = 0 + 0,738 108 499 635 994 624;
  • 32) 0,738 108 499 635 994 624 × 2 = 1 + 0,476 216 999 271 989 248;
  • 33) 0,476 216 999 271 989 248 × 2 = 0 + 0,952 433 998 543 978 496;
  • 34) 0,952 433 998 543 978 496 × 2 = 1 + 0,904 867 997 087 956 992;
  • 35) 0,904 867 997 087 956 992 × 2 = 1 + 0,809 735 994 175 913 984;
  • 36) 0,809 735 994 175 913 984 × 2 = 1 + 0,619 471 988 351 827 968;
  • 37) 0,619 471 988 351 827 968 × 2 = 1 + 0,238 943 976 703 655 936;
  • 38) 0,238 943 976 703 655 936 × 2 = 0 + 0,477 887 953 407 311 872;
  • 39) 0,477 887 953 407 311 872 × 2 = 0 + 0,955 775 906 814 623 744;
  • 40) 0,955 775 906 814 623 744 × 2 = 1 + 0,911 551 813 629 247 488;
  • 41) 0,911 551 813 629 247 488 × 2 = 1 + 0,823 103 627 258 494 976;
  • 42) 0,823 103 627 258 494 976 × 2 = 1 + 0,646 207 254 516 989 952;
  • 43) 0,646 207 254 516 989 952 × 2 = 1 + 0,292 414 509 033 979 904;
  • 44) 0,292 414 509 033 979 904 × 2 = 0 + 0,584 829 018 067 959 808;
  • 45) 0,584 829 018 067 959 808 × 2 = 1 + 0,169 658 036 135 919 616;
  • 46) 0,169 658 036 135 919 616 × 2 = 0 + 0,339 316 072 271 839 232;
  • 47) 0,339 316 072 271 839 232 × 2 = 0 + 0,678 632 144 543 678 464;
  • 48) 0,678 632 144 543 678 464 × 2 = 1 + 0,357 264 289 087 356 928;
  • 49) 0,357 264 289 087 356 928 × 2 = 0 + 0,714 528 578 174 713 856;
  • 50) 0,714 528 578 174 713 856 × 2 = 1 + 0,429 057 156 349 427 712;
  • 51) 0,429 057 156 349 427 712 × 2 = 0 + 0,858 114 312 698 855 424;
  • 52) 0,858 114 312 698 855 424 × 2 = 1 + 0,716 228 625 397 710 848;
  • 53) 0,716 228 625 397 710 848 × 2 = 1 + 0,432 457 250 795 421 696;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,769 489 691 005 138 913(10) =

0,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0101 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

7,769 489 691 005 138 913(10) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0101 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


7,769 489 691 005 138 913(10) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0101 1(2) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0101 1(2) × 20 =

1,1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101 011(2) × 22


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101 011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101 011 =

1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101


Numărul zecimal -7,769 489 691 005 138 913 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0001 - 1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101

Distribuie

» Scriere -7,769 489 691 005 138 875 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100