-72,729 999 999 999 989 772 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -72,729 999 999 999 989 772 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-72,729 999 999 999 989 772 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-72,729 999 999 999 989 772 8| = 72,729 999 999 999 989 772 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 72.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 72 : 2 = 36 + 0;
  • 36 : 2 = 18 + 0;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

72(10) =

100 1000(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,729 999 999 999 989 772 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,729 999 999 999 989 772 8 × 2 = 1 + 0,459 999 999 999 979 545 6;
  • 2) 0,459 999 999 999 979 545 6 × 2 = 0 + 0,919 999 999 999 959 091 2;
  • 3) 0,919 999 999 999 959 091 2 × 2 = 1 + 0,839 999 999 999 918 182 4;
  • 4) 0,839 999 999 999 918 182 4 × 2 = 1 + 0,679 999 999 999 836 364 8;
  • 5) 0,679 999 999 999 836 364 8 × 2 = 1 + 0,359 999 999 999 672 729 6;
  • 6) 0,359 999 999 999 672 729 6 × 2 = 0 + 0,719 999 999 999 345 459 2;
  • 7) 0,719 999 999 999 345 459 2 × 2 = 1 + 0,439 999 999 998 690 918 4;
  • 8) 0,439 999 999 998 690 918 4 × 2 = 0 + 0,879 999 999 997 381 836 8;
  • 9) 0,879 999 999 997 381 836 8 × 2 = 1 + 0,759 999 999 994 763 673 6;
  • 10) 0,759 999 999 994 763 673 6 × 2 = 1 + 0,519 999 999 989 527 347 2;
  • 11) 0,519 999 999 989 527 347 2 × 2 = 1 + 0,039 999 999 979 054 694 4;
  • 12) 0,039 999 999 979 054 694 4 × 2 = 0 + 0,079 999 999 958 109 388 8;
  • 13) 0,079 999 999 958 109 388 8 × 2 = 0 + 0,159 999 999 916 218 777 6;
  • 14) 0,159 999 999 916 218 777 6 × 2 = 0 + 0,319 999 999 832 437 555 2;
  • 15) 0,319 999 999 832 437 555 2 × 2 = 0 + 0,639 999 999 664 875 110 4;
  • 16) 0,639 999 999 664 875 110 4 × 2 = 1 + 0,279 999 999 329 750 220 8;
  • 17) 0,279 999 999 329 750 220 8 × 2 = 0 + 0,559 999 998 659 500 441 6;
  • 18) 0,559 999 998 659 500 441 6 × 2 = 1 + 0,119 999 997 319 000 883 2;
  • 19) 0,119 999 997 319 000 883 2 × 2 = 0 + 0,239 999 994 638 001 766 4;
  • 20) 0,239 999 994 638 001 766 4 × 2 = 0 + 0,479 999 989 276 003 532 8;
  • 21) 0,479 999 989 276 003 532 8 × 2 = 0 + 0,959 999 978 552 007 065 6;
  • 22) 0,959 999 978 552 007 065 6 × 2 = 1 + 0,919 999 957 104 014 131 2;
  • 23) 0,919 999 957 104 014 131 2 × 2 = 1 + 0,839 999 914 208 028 262 4;
  • 24) 0,839 999 914 208 028 262 4 × 2 = 1 + 0,679 999 828 416 056 524 8;
  • 25) 0,679 999 828 416 056 524 8 × 2 = 1 + 0,359 999 656 832 113 049 6;
  • 26) 0,359 999 656 832 113 049 6 × 2 = 0 + 0,719 999 313 664 226 099 2;
  • 27) 0,719 999 313 664 226 099 2 × 2 = 1 + 0,439 998 627 328 452 198 4;
  • 28) 0,439 998 627 328 452 198 4 × 2 = 0 + 0,879 997 254 656 904 396 8;
  • 29) 0,879 997 254 656 904 396 8 × 2 = 1 + 0,759 994 509 313 808 793 6;
  • 30) 0,759 994 509 313 808 793 6 × 2 = 1 + 0,519 989 018 627 617 587 2;
  • 31) 0,519 989 018 627 617 587 2 × 2 = 1 + 0,039 978 037 255 235 174 4;
  • 32) 0,039 978 037 255 235 174 4 × 2 = 0 + 0,079 956 074 510 470 348 8;
  • 33) 0,079 956 074 510 470 348 8 × 2 = 0 + 0,159 912 149 020 940 697 6;
  • 34) 0,159 912 149 020 940 697 6 × 2 = 0 + 0,319 824 298 041 881 395 2;
  • 35) 0,319 824 298 041 881 395 2 × 2 = 0 + 0,639 648 596 083 762 790 4;
  • 36) 0,639 648 596 083 762 790 4 × 2 = 1 + 0,279 297 192 167 525 580 8;
  • 37) 0,279 297 192 167 525 580 8 × 2 = 0 + 0,558 594 384 335 051 161 6;
  • 38) 0,558 594 384 335 051 161 6 × 2 = 1 + 0,117 188 768 670 102 323 2;
  • 39) 0,117 188 768 670 102 323 2 × 2 = 0 + 0,234 377 537 340 204 646 4;
  • 40) 0,234 377 537 340 204 646 4 × 2 = 0 + 0,468 755 074 680 409 292 8;
  • 41) 0,468 755 074 680 409 292 8 × 2 = 0 + 0,937 510 149 360 818 585 6;
  • 42) 0,937 510 149 360 818 585 6 × 2 = 1 + 0,875 020 298 721 637 171 2;
  • 43) 0,875 020 298 721 637 171 2 × 2 = 1 + 0,750 040 597 443 274 342 4;
  • 44) 0,750 040 597 443 274 342 4 × 2 = 1 + 0,500 081 194 886 548 684 8;
  • 45) 0,500 081 194 886 548 684 8 × 2 = 1 + 0,000 162 389 773 097 369 6;
  • 46) 0,000 162 389 773 097 369 6 × 2 = 0 + 0,000 324 779 546 194 739 2;
  • 47) 0,000 324 779 546 194 739 2 × 2 = 0 + 0,000 649 559 092 389 478 4;
  • 48) 0,000 649 559 092 389 478 4 × 2 = 0 + 0,001 299 118 184 778 956 8;
  • 49) 0,001 299 118 184 778 956 8 × 2 = 0 + 0,002 598 236 369 557 913 6;
  • 50) 0,002 598 236 369 557 913 6 × 2 = 0 + 0,005 196 472 739 115 827 2;
  • 51) 0,005 196 472 739 115 827 2 × 2 = 0 + 0,010 392 945 478 231 654 4;
  • 52) 0,010 392 945 478 231 654 4 × 2 = 0 + 0,020 785 890 956 463 308 8;
  • 53) 0,020 785 890 956 463 308 8 × 2 = 0 + 0,041 571 781 912 926 617 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,729 999 999 999 989 772 8(10) =

0,1011 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1000 0000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

72,729 999 999 999 989 772 8(10) =

100 1000,1011 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1000 0000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


72,729 999 999 999 989 772 8(10) =

100 1000,1011 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1000 0000 0(2) =

100 1000,1011 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1000 0000 0(2) × 20 =

1,0010 0010 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0000 000(2) × 26


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0010 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0000 000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0010 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 000 0000 =

0010 0010 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0010 0010 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110


Numărul zecimal -72,729 999 999 999 989 772 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0101 - 0010 0010 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110

» Scriere -72,729 999 999 999 989 764 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100