-81 869,602 684 384 910 389 781 66 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -81 869,602 684 384 910 389 781 66(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-81 869,602 684 384 910 389 781 66(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-81 869,602 684 384 910 389 781 66| = 81 869,602 684 384 910 389 781 66


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 81 869.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 81 869 : 2 = 40 934 + 1;
  • 40 934 : 2 = 20 467 + 0;
  • 20 467 : 2 = 10 233 + 1;
  • 10 233 : 2 = 5 116 + 1;
  • 5 116 : 2 = 2 558 + 0;
  • 2 558 : 2 = 1 279 + 0;
  • 1 279 : 2 = 639 + 1;
  • 639 : 2 = 319 + 1;
  • 319 : 2 = 159 + 1;
  • 159 : 2 = 79 + 1;
  • 79 : 2 = 39 + 1;
  • 39 : 2 = 19 + 1;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

81 869(10) =

1 0011 1111 1100 1101(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,602 684 384 910 389 781 66.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,602 684 384 910 389 781 66 × 2 = 1 + 0,205 368 769 820 779 563 32;
  • 2) 0,205 368 769 820 779 563 32 × 2 = 0 + 0,410 737 539 641 559 126 64;
  • 3) 0,410 737 539 641 559 126 64 × 2 = 0 + 0,821 475 079 283 118 253 28;
  • 4) 0,821 475 079 283 118 253 28 × 2 = 1 + 0,642 950 158 566 236 506 56;
  • 5) 0,642 950 158 566 236 506 56 × 2 = 1 + 0,285 900 317 132 473 013 12;
  • 6) 0,285 900 317 132 473 013 12 × 2 = 0 + 0,571 800 634 264 946 026 24;
  • 7) 0,571 800 634 264 946 026 24 × 2 = 1 + 0,143 601 268 529 892 052 48;
  • 8) 0,143 601 268 529 892 052 48 × 2 = 0 + 0,287 202 537 059 784 104 96;
  • 9) 0,287 202 537 059 784 104 96 × 2 = 0 + 0,574 405 074 119 568 209 92;
  • 10) 0,574 405 074 119 568 209 92 × 2 = 1 + 0,148 810 148 239 136 419 84;
  • 11) 0,148 810 148 239 136 419 84 × 2 = 0 + 0,297 620 296 478 272 839 68;
  • 12) 0,297 620 296 478 272 839 68 × 2 = 0 + 0,595 240 592 956 545 679 36;
  • 13) 0,595 240 592 956 545 679 36 × 2 = 1 + 0,190 481 185 913 091 358 72;
  • 14) 0,190 481 185 913 091 358 72 × 2 = 0 + 0,380 962 371 826 182 717 44;
  • 15) 0,380 962 371 826 182 717 44 × 2 = 0 + 0,761 924 743 652 365 434 88;
  • 16) 0,761 924 743 652 365 434 88 × 2 = 1 + 0,523 849 487 304 730 869 76;
  • 17) 0,523 849 487 304 730 869 76 × 2 = 1 + 0,047 698 974 609 461 739 52;
  • 18) 0,047 698 974 609 461 739 52 × 2 = 0 + 0,095 397 949 218 923 479 04;
  • 19) 0,095 397 949 218 923 479 04 × 2 = 0 + 0,190 795 898 437 846 958 08;
  • 20) 0,190 795 898 437 846 958 08 × 2 = 0 + 0,381 591 796 875 693 916 16;
  • 21) 0,381 591 796 875 693 916 16 × 2 = 0 + 0,763 183 593 751 387 832 32;
  • 22) 0,763 183 593 751 387 832 32 × 2 = 1 + 0,526 367 187 502 775 664 64;
  • 23) 0,526 367 187 502 775 664 64 × 2 = 1 + 0,052 734 375 005 551 329 28;
  • 24) 0,052 734 375 005 551 329 28 × 2 = 0 + 0,105 468 750 011 102 658 56;
  • 25) 0,105 468 750 011 102 658 56 × 2 = 0 + 0,210 937 500 022 205 317 12;
  • 26) 0,210 937 500 022 205 317 12 × 2 = 0 + 0,421 875 000 044 410 634 24;
  • 27) 0,421 875 000 044 410 634 24 × 2 = 0 + 0,843 750 000 088 821 268 48;
  • 28) 0,843 750 000 088 821 268 48 × 2 = 1 + 0,687 500 000 177 642 536 96;
  • 29) 0,687 500 000 177 642 536 96 × 2 = 1 + 0,375 000 000 355 285 073 92;
  • 30) 0,375 000 000 355 285 073 92 × 2 = 0 + 0,750 000 000 710 570 147 84;
  • 31) 0,750 000 000 710 570 147 84 × 2 = 1 + 0,500 000 001 421 140 295 68;
  • 32) 0,500 000 001 421 140 295 68 × 2 = 1 + 0,000 000 002 842 280 591 36;
  • 33) 0,000 000 002 842 280 591 36 × 2 = 0 + 0,000 000 005 684 561 182 72;
  • 34) 0,000 000 005 684 561 182 72 × 2 = 0 + 0,000 000 011 369 122 365 44;
  • 35) 0,000 000 011 369 122 365 44 × 2 = 0 + 0,000 000 022 738 244 730 88;
  • 36) 0,000 000 022 738 244 730 88 × 2 = 0 + 0,000 000 045 476 489 461 76;
  • 37) 0,000 000 045 476 489 461 76 × 2 = 0 + 0,000 000 090 952 978 923 52;
  • 38) 0,000 000 090 952 978 923 52 × 2 = 0 + 0,000 000 181 905 957 847 04;
  • 39) 0,000 000 181 905 957 847 04 × 2 = 0 + 0,000 000 363 811 915 694 08;
  • 40) 0,000 000 363 811 915 694 08 × 2 = 0 + 0,000 000 727 623 831 388 16;
  • 41) 0,000 000 727 623 831 388 16 × 2 = 0 + 0,000 001 455 247 662 776 32;
  • 42) 0,000 001 455 247 662 776 32 × 2 = 0 + 0,000 002 910 495 325 552 64;
  • 43) 0,000 002 910 495 325 552 64 × 2 = 0 + 0,000 005 820 990 651 105 28;
  • 44) 0,000 005 820 990 651 105 28 × 2 = 0 + 0,000 011 641 981 302 210 56;
  • 45) 0,000 011 641 981 302 210 56 × 2 = 0 + 0,000 023 283 962 604 421 12;
  • 46) 0,000 023 283 962 604 421 12 × 2 = 0 + 0,000 046 567 925 208 842 24;
  • 47) 0,000 046 567 925 208 842 24 × 2 = 0 + 0,000 093 135 850 417 684 48;
  • 48) 0,000 093 135 850 417 684 48 × 2 = 0 + 0,000 186 271 700 835 368 96;
  • 49) 0,000 186 271 700 835 368 96 × 2 = 0 + 0,000 372 543 401 670 737 92;
  • 50) 0,000 372 543 401 670 737 92 × 2 = 0 + 0,000 745 086 803 341 475 84;
  • 51) 0,000 745 086 803 341 475 84 × 2 = 0 + 0,001 490 173 606 682 951 68;
  • 52) 0,001 490 173 606 682 951 68 × 2 = 0 + 0,002 980 347 213 365 903 36;
  • 53) 0,002 980 347 213 365 903 36 × 2 = 0 + 0,005 960 694 426 731 806 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,602 684 384 910 389 781 66(10) =

0,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

81 869,602 684 384 910 389 781 66(10) =

1 0011 1111 1100 1101,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


81 869,602 684 384 910 389 781 66(10) =

1 0011 1111 1100 1101,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) =

1 0011 1111 1100 1101,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) × 216


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 16

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

16 + 2(11-1) - 1 =

(16 + 1 023)(10) =

1 039(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 039 : 2 = 519 + 1;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1039(10) =

100 0000 1111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0 0000 0000 0000 0000 =

0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1111

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000


Numărul zecimal -81 869,602 684 384 910 389 781 66 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1111 - 0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000

» Scriere -81 869,602 684 384 910 389 780 66 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100