-84,129 999 999 999 841 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -84,129 999 999 999 841(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-84,129 999 999 999 841(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-84,129 999 999 999 841| = 84,129 999 999 999 841


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 84.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

84(10) =

101 0100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,129 999 999 999 841.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,129 999 999 999 841 × 2 = 0 + 0,259 999 999 999 682;
  • 2) 0,259 999 999 999 682 × 2 = 0 + 0,519 999 999 999 364;
  • 3) 0,519 999 999 999 364 × 2 = 1 + 0,039 999 999 998 728;
  • 4) 0,039 999 999 998 728 × 2 = 0 + 0,079 999 999 997 456;
  • 5) 0,079 999 999 997 456 × 2 = 0 + 0,159 999 999 994 912;
  • 6) 0,159 999 999 994 912 × 2 = 0 + 0,319 999 999 989 824;
  • 7) 0,319 999 999 989 824 × 2 = 0 + 0,639 999 999 979 648;
  • 8) 0,639 999 999 979 648 × 2 = 1 + 0,279 999 999 959 296;
  • 9) 0,279 999 999 959 296 × 2 = 0 + 0,559 999 999 918 592;
  • 10) 0,559 999 999 918 592 × 2 = 1 + 0,119 999 999 837 184;
  • 11) 0,119 999 999 837 184 × 2 = 0 + 0,239 999 999 674 368;
  • 12) 0,239 999 999 674 368 × 2 = 0 + 0,479 999 999 348 736;
  • 13) 0,479 999 999 348 736 × 2 = 0 + 0,959 999 998 697 472;
  • 14) 0,959 999 998 697 472 × 2 = 1 + 0,919 999 997 394 944;
  • 15) 0,919 999 997 394 944 × 2 = 1 + 0,839 999 994 789 888;
  • 16) 0,839 999 994 789 888 × 2 = 1 + 0,679 999 989 579 776;
  • 17) 0,679 999 989 579 776 × 2 = 1 + 0,359 999 979 159 552;
  • 18) 0,359 999 979 159 552 × 2 = 0 + 0,719 999 958 319 104;
  • 19) 0,719 999 958 319 104 × 2 = 1 + 0,439 999 916 638 208;
  • 20) 0,439 999 916 638 208 × 2 = 0 + 0,879 999 833 276 416;
  • 21) 0,879 999 833 276 416 × 2 = 1 + 0,759 999 666 552 832;
  • 22) 0,759 999 666 552 832 × 2 = 1 + 0,519 999 333 105 664;
  • 23) 0,519 999 333 105 664 × 2 = 1 + 0,039 998 666 211 328;
  • 24) 0,039 998 666 211 328 × 2 = 0 + 0,079 997 332 422 656;
  • 25) 0,079 997 332 422 656 × 2 = 0 + 0,159 994 664 845 312;
  • 26) 0,159 994 664 845 312 × 2 = 0 + 0,319 989 329 690 624;
  • 27) 0,319 989 329 690 624 × 2 = 0 + 0,639 978 659 381 248;
  • 28) 0,639 978 659 381 248 × 2 = 1 + 0,279 957 318 762 496;
  • 29) 0,279 957 318 762 496 × 2 = 0 + 0,559 914 637 524 992;
  • 30) 0,559 914 637 524 992 × 2 = 1 + 0,119 829 275 049 984;
  • 31) 0,119 829 275 049 984 × 2 = 0 + 0,239 658 550 099 968;
  • 32) 0,239 658 550 099 968 × 2 = 0 + 0,479 317 100 199 936;
  • 33) 0,479 317 100 199 936 × 2 = 0 + 0,958 634 200 399 872;
  • 34) 0,958 634 200 399 872 × 2 = 1 + 0,917 268 400 799 744;
  • 35) 0,917 268 400 799 744 × 2 = 1 + 0,834 536 801 599 488;
  • 36) 0,834 536 801 599 488 × 2 = 1 + 0,669 073 603 198 976;
  • 37) 0,669 073 603 198 976 × 2 = 1 + 0,338 147 206 397 952;
  • 38) 0,338 147 206 397 952 × 2 = 0 + 0,676 294 412 795 904;
  • 39) 0,676 294 412 795 904 × 2 = 1 + 0,352 588 825 591 808;
  • 40) 0,352 588 825 591 808 × 2 = 0 + 0,705 177 651 183 616;
  • 41) 0,705 177 651 183 616 × 2 = 1 + 0,410 355 302 367 232;
  • 42) 0,410 355 302 367 232 × 2 = 0 + 0,820 710 604 734 464;
  • 43) 0,820 710 604 734 464 × 2 = 1 + 0,641 421 209 468 928;
  • 44) 0,641 421 209 468 928 × 2 = 1 + 0,282 842 418 937 856;
  • 45) 0,282 842 418 937 856 × 2 = 0 + 0,565 684 837 875 712;
  • 46) 0,565 684 837 875 712 × 2 = 1 + 0,131 369 675 751 424;
  • 47) 0,131 369 675 751 424 × 2 = 0 + 0,262 739 351 502 848;
  • 48) 0,262 739 351 502 848 × 2 = 0 + 0,525 478 703 005 696;
  • 49) 0,525 478 703 005 696 × 2 = 1 + 0,050 957 406 011 392;
  • 50) 0,050 957 406 011 392 × 2 = 0 + 0,101 914 812 022 784;
  • 51) 0,101 914 812 022 784 × 2 = 0 + 0,203 829 624 045 568;
  • 52) 0,203 829 624 045 568 × 2 = 0 + 0,407 659 248 091 136;
  • 53) 0,407 659 248 091 136 × 2 = 0 + 0,815 318 496 182 272;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,129 999 999 999 841(10) =

0,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1011 0100 1000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

84,129 999 999 999 841(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1011 0100 1000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


84,129 999 999 999 841(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1011 0100 1000 0(2) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1011 0100 1000 0(2) × 20 =

1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1010 1101 0010 000(2) × 26


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1010 1101 0010 000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1010 1101 001 0000 =

0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1010 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1010 1101


Numărul zecimal -84,129 999 999 999 841 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0101 - 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1010 1101

» Scriere -84,129 999 999 999 818 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100