-84,129 999 999 999 902 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -84,129 999 999 999 902(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-84,129 999 999 999 902(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-84,129 999 999 999 902| = 84,129 999 999 999 902


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 84.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

84(10) =

101 0100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,129 999 999 999 902.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,129 999 999 999 902 × 2 = 0 + 0,259 999 999 999 804;
  • 2) 0,259 999 999 999 804 × 2 = 0 + 0,519 999 999 999 608;
  • 3) 0,519 999 999 999 608 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 216;
  • 4) 0,039 999 999 999 216 × 2 = 0 + 0,079 999 999 998 432;
  • 5) 0,079 999 999 998 432 × 2 = 0 + 0,159 999 999 996 864;
  • 6) 0,159 999 999 996 864 × 2 = 0 + 0,319 999 999 993 728;
  • 7) 0,319 999 999 993 728 × 2 = 0 + 0,639 999 999 987 456;
  • 8) 0,639 999 999 987 456 × 2 = 1 + 0,279 999 999 974 912;
  • 9) 0,279 999 999 974 912 × 2 = 0 + 0,559 999 999 949 824;
  • 10) 0,559 999 999 949 824 × 2 = 1 + 0,119 999 999 899 648;
  • 11) 0,119 999 999 899 648 × 2 = 0 + 0,239 999 999 799 296;
  • 12) 0,239 999 999 799 296 × 2 = 0 + 0,479 999 999 598 592;
  • 13) 0,479 999 999 598 592 × 2 = 0 + 0,959 999 999 197 184;
  • 14) 0,959 999 999 197 184 × 2 = 1 + 0,919 999 998 394 368;
  • 15) 0,919 999 998 394 368 × 2 = 1 + 0,839 999 996 788 736;
  • 16) 0,839 999 996 788 736 × 2 = 1 + 0,679 999 993 577 472;
  • 17) 0,679 999 993 577 472 × 2 = 1 + 0,359 999 987 154 944;
  • 18) 0,359 999 987 154 944 × 2 = 0 + 0,719 999 974 309 888;
  • 19) 0,719 999 974 309 888 × 2 = 1 + 0,439 999 948 619 776;
  • 20) 0,439 999 948 619 776 × 2 = 0 + 0,879 999 897 239 552;
  • 21) 0,879 999 897 239 552 × 2 = 1 + 0,759 999 794 479 104;
  • 22) 0,759 999 794 479 104 × 2 = 1 + 0,519 999 588 958 208;
  • 23) 0,519 999 588 958 208 × 2 = 1 + 0,039 999 177 916 416;
  • 24) 0,039 999 177 916 416 × 2 = 0 + 0,079 998 355 832 832;
  • 25) 0,079 998 355 832 832 × 2 = 0 + 0,159 996 711 665 664;
  • 26) 0,159 996 711 665 664 × 2 = 0 + 0,319 993 423 331 328;
  • 27) 0,319 993 423 331 328 × 2 = 0 + 0,639 986 846 662 656;
  • 28) 0,639 986 846 662 656 × 2 = 1 + 0,279 973 693 325 312;
  • 29) 0,279 973 693 325 312 × 2 = 0 + 0,559 947 386 650 624;
  • 30) 0,559 947 386 650 624 × 2 = 1 + 0,119 894 773 301 248;
  • 31) 0,119 894 773 301 248 × 2 = 0 + 0,239 789 546 602 496;
  • 32) 0,239 789 546 602 496 × 2 = 0 + 0,479 579 093 204 992;
  • 33) 0,479 579 093 204 992 × 2 = 0 + 0,959 158 186 409 984;
  • 34) 0,959 158 186 409 984 × 2 = 1 + 0,918 316 372 819 968;
  • 35) 0,918 316 372 819 968 × 2 = 1 + 0,836 632 745 639 936;
  • 36) 0,836 632 745 639 936 × 2 = 1 + 0,673 265 491 279 872;
  • 37) 0,673 265 491 279 872 × 2 = 1 + 0,346 530 982 559 744;
  • 38) 0,346 530 982 559 744 × 2 = 0 + 0,693 061 965 119 488;
  • 39) 0,693 061 965 119 488 × 2 = 1 + 0,386 123 930 238 976;
  • 40) 0,386 123 930 238 976 × 2 = 0 + 0,772 247 860 477 952;
  • 41) 0,772 247 860 477 952 × 2 = 1 + 0,544 495 720 955 904;
  • 42) 0,544 495 720 955 904 × 2 = 1 + 0,088 991 441 911 808;
  • 43) 0,088 991 441 911 808 × 2 = 0 + 0,177 982 883 823 616;
  • 44) 0,177 982 883 823 616 × 2 = 0 + 0,355 965 767 647 232;
  • 45) 0,355 965 767 647 232 × 2 = 0 + 0,711 931 535 294 464;
  • 46) 0,711 931 535 294 464 × 2 = 1 + 0,423 863 070 588 928;
  • 47) 0,423 863 070 588 928 × 2 = 0 + 0,847 726 141 177 856;
  • 48) 0,847 726 141 177 856 × 2 = 1 + 0,695 452 282 355 712;
  • 49) 0,695 452 282 355 712 × 2 = 1 + 0,390 904 564 711 424;
  • 50) 0,390 904 564 711 424 × 2 = 0 + 0,781 809 129 422 848;
  • 51) 0,781 809 129 422 848 × 2 = 1 + 0,563 618 258 845 696;
  • 52) 0,563 618 258 845 696 × 2 = 1 + 0,127 236 517 691 392;
  • 53) 0,127 236 517 691 392 × 2 = 0 + 0,254 473 035 382 784;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,129 999 999 999 902(10) =

0,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1100 0101 1011 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

84,129 999 999 999 902(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1100 0101 1011 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


84,129 999 999 999 902(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1100 0101 1011 0(2) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1100 0101 1011 0(2) × 20 =

1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0001 0110 110(2) × 26


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0001 0110 110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0001 011 0110 =

0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0001


Numărul zecimal -84,129 999 999 999 902 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0101 - 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0001

» Scriere -84,129 999 999 999 838 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100