-84,129 999 999 999 995 452 509 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -84,129 999 999 999 995 452 509 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-84,129 999 999 999 995 452 509 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-84,129 999 999 999 995 452 509 5| = 84,129 999 999 999 995 452 509 5


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 84.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

84(10) =

101 0100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,129 999 999 999 995 452 509 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,129 999 999 999 995 452 509 5 × 2 = 0 + 0,259 999 999 999 990 905 019;
  • 2) 0,259 999 999 999 990 905 019 × 2 = 0 + 0,519 999 999 999 981 810 038;
  • 3) 0,519 999 999 999 981 810 038 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 620 076;
  • 4) 0,039 999 999 999 963 620 076 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 240 152;
  • 5) 0,079 999 999 999 927 240 152 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 480 304;
  • 6) 0,159 999 999 999 854 480 304 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 708 960 608;
  • 7) 0,319 999 999 999 708 960 608 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 417 921 216;
  • 8) 0,639 999 999 999 417 921 216 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 835 842 432;
  • 9) 0,279 999 999 998 835 842 432 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 684 864;
  • 10) 0,559 999 999 997 671 684 864 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 369 728;
  • 11) 0,119 999 999 995 343 369 728 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 739 456;
  • 12) 0,239 999 999 990 686 739 456 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 373 478 912;
  • 13) 0,479 999 999 981 373 478 912 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 746 957 824;
  • 14) 0,959 999 999 962 746 957 824 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 493 915 648;
  • 15) 0,919 999 999 925 493 915 648 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 987 831 296;
  • 16) 0,839 999 999 850 987 831 296 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 975 662 592;
  • 17) 0,679 999 999 701 975 662 592 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 951 325 184;
  • 18) 0,359 999 999 403 951 325 184 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 902 650 368;
  • 19) 0,719 999 998 807 902 650 368 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 805 300 736;
  • 20) 0,439 999 997 615 805 300 736 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 610 601 472;
  • 21) 0,879 999 995 231 610 601 472 × 2 = 1 + 0,759 999 990 463 221 202 944;
  • 22) 0,759 999 990 463 221 202 944 × 2 = 1 + 0,519 999 980 926 442 405 888;
  • 23) 0,519 999 980 926 442 405 888 × 2 = 1 + 0,039 999 961 852 884 811 776;
  • 24) 0,039 999 961 852 884 811 776 × 2 = 0 + 0,079 999 923 705 769 623 552;
  • 25) 0,079 999 923 705 769 623 552 × 2 = 0 + 0,159 999 847 411 539 247 104;
  • 26) 0,159 999 847 411 539 247 104 × 2 = 0 + 0,319 999 694 823 078 494 208;
  • 27) 0,319 999 694 823 078 494 208 × 2 = 0 + 0,639 999 389 646 156 988 416;
  • 28) 0,639 999 389 646 156 988 416 × 2 = 1 + 0,279 998 779 292 313 976 832;
  • 29) 0,279 998 779 292 313 976 832 × 2 = 0 + 0,559 997 558 584 627 953 664;
  • 30) 0,559 997 558 584 627 953 664 × 2 = 1 + 0,119 995 117 169 255 907 328;
  • 31) 0,119 995 117 169 255 907 328 × 2 = 0 + 0,239 990 234 338 511 814 656;
  • 32) 0,239 990 234 338 511 814 656 × 2 = 0 + 0,479 980 468 677 023 629 312;
  • 33) 0,479 980 468 677 023 629 312 × 2 = 0 + 0,959 960 937 354 047 258 624;
  • 34) 0,959 960 937 354 047 258 624 × 2 = 1 + 0,919 921 874 708 094 517 248;
  • 35) 0,919 921 874 708 094 517 248 × 2 = 1 + 0,839 843 749 416 189 034 496;
  • 36) 0,839 843 749 416 189 034 496 × 2 = 1 + 0,679 687 498 832 378 068 992;
  • 37) 0,679 687 498 832 378 068 992 × 2 = 1 + 0,359 374 997 664 756 137 984;
  • 38) 0,359 374 997 664 756 137 984 × 2 = 0 + 0,718 749 995 329 512 275 968;
  • 39) 0,718 749 995 329 512 275 968 × 2 = 1 + 0,437 499 990 659 024 551 936;
  • 40) 0,437 499 990 659 024 551 936 × 2 = 0 + 0,874 999 981 318 049 103 872;
  • 41) 0,874 999 981 318 049 103 872 × 2 = 1 + 0,749 999 962 636 098 207 744;
  • 42) 0,749 999 962 636 098 207 744 × 2 = 1 + 0,499 999 925 272 196 415 488;
  • 43) 0,499 999 925 272 196 415 488 × 2 = 0 + 0,999 999 850 544 392 830 976;
  • 44) 0,999 999 850 544 392 830 976 × 2 = 1 + 0,999 999 701 088 785 661 952;
  • 45) 0,999 999 701 088 785 661 952 × 2 = 1 + 0,999 999 402 177 571 323 904;
  • 46) 0,999 999 402 177 571 323 904 × 2 = 1 + 0,999 998 804 355 142 647 808;
  • 47) 0,999 998 804 355 142 647 808 × 2 = 1 + 0,999 997 608 710 285 295 616;
  • 48) 0,999 997 608 710 285 295 616 × 2 = 1 + 0,999 995 217 420 570 591 232;
  • 49) 0,999 995 217 420 570 591 232 × 2 = 1 + 0,999 990 434 841 141 182 464;
  • 50) 0,999 990 434 841 141 182 464 × 2 = 1 + 0,999 980 869 682 282 364 928;
  • 51) 0,999 980 869 682 282 364 928 × 2 = 1 + 0,999 961 739 364 564 729 856;
  • 52) 0,999 961 739 364 564 729 856 × 2 = 1 + 0,999 923 478 729 129 459 712;
  • 53) 0,999 923 478 729 129 459 712 × 2 = 1 + 0,999 846 957 458 258 919 424;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,129 999 999 999 995 452 509 5(10) =

0,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

84,129 999 999 999 995 452 509 5(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


84,129 999 999 999 995 452 509 5(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 111(2) × 26


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 111 1111 =

0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal -84,129 999 999 999 995 452 509 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0101 - 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere -84,129 999 999 999 995 452 509 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100