0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 027 613 404;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 000 027 613 404 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 055 226 808;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 000 055 226 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 110 453 616;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 000 110 453 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 220 907 232;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 000 220 907 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 441 814 464;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 000 441 814 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 883 628 928;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 000 883 628 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 001 767 257 856;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 000 001 767 257 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 003 534 515 712;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 000 003 534 515 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 007 069 031 424;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 000 007 069 031 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 014 138 062 848;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 000 014 138 062 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 028 276 125 696;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 000 028 276 125 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 056 552 251 392;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 000 056 552 251 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 113 104 502 784;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 000 113 104 502 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 226 209 005 568;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 000 226 209 005 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 452 418 011 136;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 000 452 418 011 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 904 836 022 272;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 000 904 836 022 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 809 672 044 544;
  • 18) 0,000 000 000 000 000 001 809 672 044 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 003 619 344 089 088;
  • 19) 0,000 000 000 000 000 003 619 344 089 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 007 238 688 178 176;
  • 20) 0,000 000 000 000 000 007 238 688 178 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 014 477 376 356 352;
  • 21) 0,000 000 000 000 000 014 477 376 356 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 028 954 752 712 704;
  • 22) 0,000 000 000 000 000 028 954 752 712 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 057 909 505 425 408;
  • 23) 0,000 000 000 000 000 057 909 505 425 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 115 819 010 850 816;
  • 24) 0,000 000 000 000 000 115 819 010 850 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 231 638 021 701 632;
  • 25) 0,000 000 000 000 000 231 638 021 701 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 463 276 043 403 264;
  • 26) 0,000 000 000 000 000 463 276 043 403 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 926 552 086 806 528;
  • 27) 0,000 000 000 000 000 926 552 086 806 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 853 104 173 613 056;
  • 28) 0,000 000 000 000 001 853 104 173 613 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 706 208 347 226 112;
  • 29) 0,000 000 000 000 003 706 208 347 226 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 007 412 416 694 452 224;
  • 30) 0,000 000 000 000 007 412 416 694 452 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 014 824 833 388 904 448;
  • 31) 0,000 000 000 000 014 824 833 388 904 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 029 649 666 777 808 896;
  • 32) 0,000 000 000 000 029 649 666 777 808 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 059 299 333 555 617 792;
  • 33) 0,000 000 000 000 059 299 333 555 617 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 118 598 667 111 235 584;
  • 34) 0,000 000 000 000 118 598 667 111 235 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 237 197 334 222 471 168;
  • 35) 0,000 000 000 000 237 197 334 222 471 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 474 394 668 444 942 336;
  • 36) 0,000 000 000 000 474 394 668 444 942 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 948 789 336 889 884 672;
  • 37) 0,000 000 000 000 948 789 336 889 884 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 897 578 673 779 769 344;
  • 38) 0,000 000 000 001 897 578 673 779 769 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 795 157 347 559 538 688;
  • 39) 0,000 000 000 003 795 157 347 559 538 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 590 314 695 119 077 376;
  • 40) 0,000 000 000 007 590 314 695 119 077 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 015 180 629 390 238 154 752;
  • 41) 0,000 000 000 015 180 629 390 238 154 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 030 361 258 780 476 309 504;
  • 42) 0,000 000 000 030 361 258 780 476 309 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 060 722 517 560 952 619 008;
  • 43) 0,000 000 000 060 722 517 560 952 619 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 121 445 035 121 905 238 016;
  • 44) 0,000 000 000 121 445 035 121 905 238 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 242 890 070 243 810 476 032;
  • 45) 0,000 000 000 242 890 070 243 810 476 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 485 780 140 487 620 952 064;
  • 46) 0,000 000 000 485 780 140 487 620 952 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 971 560 280 975 241 904 128;
  • 47) 0,000 000 000 971 560 280 975 241 904 128 × 2 = 0 + 0,000 000 001 943 120 561 950 483 808 256;
  • 48) 0,000 000 001 943 120 561 950 483 808 256 × 2 = 0 + 0,000 000 003 886 241 123 900 967 616 512;
  • 49) 0,000 000 003 886 241 123 900 967 616 512 × 2 = 0 + 0,000 000 007 772 482 247 801 935 233 024;
  • 50) 0,000 000 007 772 482 247 801 935 233 024 × 2 = 0 + 0,000 000 015 544 964 495 603 870 466 048;
  • 51) 0,000 000 015 544 964 495 603 870 466 048 × 2 = 0 + 0,000 000 031 089 928 991 207 740 932 096;
  • 52) 0,000 000 031 089 928 991 207 740 932 096 × 2 = 0 + 0,000 000 062 179 857 982 415 481 864 192;
  • 53) 0,000 000 062 179 857 982 415 481 864 192 × 2 = 0 + 0,000 000 124 359 715 964 830 963 728 384;
  • 54) 0,000 000 124 359 715 964 830 963 728 384 × 2 = 0 + 0,000 000 248 719 431 929 661 927 456 768;
  • 55) 0,000 000 248 719 431 929 661 927 456 768 × 2 = 0 + 0,000 000 497 438 863 859 323 854 913 536;
  • 56) 0,000 000 497 438 863 859 323 854 913 536 × 2 = 0 + 0,000 000 994 877 727 718 647 709 827 072;
  • 57) 0,000 000 994 877 727 718 647 709 827 072 × 2 = 0 + 0,000 001 989 755 455 437 295 419 654 144;
  • 58) 0,000 001 989 755 455 437 295 419 654 144 × 2 = 0 + 0,000 003 979 510 910 874 590 839 308 288;
  • 59) 0,000 003 979 510 910 874 590 839 308 288 × 2 = 0 + 0,000 007 959 021 821 749 181 678 616 576;
  • 60) 0,000 007 959 021 821 749 181 678 616 576 × 2 = 0 + 0,000 015 918 043 643 498 363 357 233 152;
  • 61) 0,000 015 918 043 643 498 363 357 233 152 × 2 = 0 + 0,000 031 836 087 286 996 726 714 466 304;
  • 62) 0,000 031 836 087 286 996 726 714 466 304 × 2 = 0 + 0,000 063 672 174 573 993 453 428 932 608;
  • 63) 0,000 063 672 174 573 993 453 428 932 608 × 2 = 0 + 0,000 127 344 349 147 986 906 857 865 216;
  • 64) 0,000 127 344 349 147 986 906 857 865 216 × 2 = 0 + 0,000 254 688 698 295 973 813 715 730 432;
  • 65) 0,000 254 688 698 295 973 813 715 730 432 × 2 = 0 + 0,000 509 377 396 591 947 627 431 460 864;
  • 66) 0,000 509 377 396 591 947 627 431 460 864 × 2 = 0 + 0,001 018 754 793 183 895 254 862 921 728;
  • 67) 0,001 018 754 793 183 895 254 862 921 728 × 2 = 0 + 0,002 037 509 586 367 790 509 725 843 456;
  • 68) 0,002 037 509 586 367 790 509 725 843 456 × 2 = 0 + 0,004 075 019 172 735 581 019 451 686 912;
  • 69) 0,004 075 019 172 735 581 019 451 686 912 × 2 = 0 + 0,008 150 038 345 471 162 038 903 373 824;
  • 70) 0,008 150 038 345 471 162 038 903 373 824 × 2 = 0 + 0,016 300 076 690 942 324 077 806 747 648;
  • 71) 0,016 300 076 690 942 324 077 806 747 648 × 2 = 0 + 0,032 600 153 381 884 648 155 613 495 296;
  • 72) 0,032 600 153 381 884 648 155 613 495 296 × 2 = 0 + 0,065 200 306 763 769 296 311 226 990 592;
  • 73) 0,065 200 306 763 769 296 311 226 990 592 × 2 = 0 + 0,130 400 613 527 538 592 622 453 981 184;
  • 74) 0,130 400 613 527 538 592 622 453 981 184 × 2 = 0 + 0,260 801 227 055 077 185 244 907 962 368;
  • 75) 0,260 801 227 055 077 185 244 907 962 368 × 2 = 0 + 0,521 602 454 110 154 370 489 815 924 736;
  • 76) 0,521 602 454 110 154 370 489 815 924 736 × 2 = 1 + 0,043 204 908 220 308 740 979 631 849 472;
  • 77) 0,043 204 908 220 308 740 979 631 849 472 × 2 = 0 + 0,086 409 816 440 617 481 959 263 698 944;
  • 78) 0,086 409 816 440 617 481 959 263 698 944 × 2 = 0 + 0,172 819 632 881 234 963 918 527 397 888;
  • 79) 0,172 819 632 881 234 963 918 527 397 888 × 2 = 0 + 0,345 639 265 762 469 927 837 054 795 776;
  • 80) 0,345 639 265 762 469 927 837 054 795 776 × 2 = 0 + 0,691 278 531 524 939 855 674 109 591 552;
  • 81) 0,691 278 531 524 939 855 674 109 591 552 × 2 = 1 + 0,382 557 063 049 879 711 348 219 183 104;
  • 82) 0,382 557 063 049 879 711 348 219 183 104 × 2 = 0 + 0,765 114 126 099 759 422 696 438 366 208;
  • 83) 0,765 114 126 099 759 422 696 438 366 208 × 2 = 1 + 0,530 228 252 199 518 845 392 876 732 416;
  • 84) 0,530 228 252 199 518 845 392 876 732 416 × 2 = 1 + 0,060 456 504 399 037 690 785 753 464 832;
  • 85) 0,060 456 504 399 037 690 785 753 464 832 × 2 = 0 + 0,120 913 008 798 075 381 571 506 929 664;
  • 86) 0,120 913 008 798 075 381 571 506 929 664 × 2 = 0 + 0,241 826 017 596 150 763 143 013 859 328;
  • 87) 0,241 826 017 596 150 763 143 013 859 328 × 2 = 0 + 0,483 652 035 192 301 526 286 027 718 656;
  • 88) 0,483 652 035 192 301 526 286 027 718 656 × 2 = 0 + 0,967 304 070 384 603 052 572 055 437 312;
  • 89) 0,967 304 070 384 603 052 572 055 437 312 × 2 = 1 + 0,934 608 140 769 206 105 144 110 874 624;
  • 90) 0,934 608 140 769 206 105 144 110 874 624 × 2 = 1 + 0,869 216 281 538 412 210 288 221 749 248;
  • 91) 0,869 216 281 538 412 210 288 221 749 248 × 2 = 1 + 0,738 432 563 076 824 420 576 443 498 496;
  • 92) 0,738 432 563 076 824 420 576 443 498 496 × 2 = 1 + 0,476 865 126 153 648 841 152 886 996 992;
  • 93) 0,476 865 126 153 648 841 152 886 996 992 × 2 = 0 + 0,953 730 252 307 297 682 305 773 993 984;
  • 94) 0,953 730 252 307 297 682 305 773 993 984 × 2 = 1 + 0,907 460 504 614 595 364 611 547 987 968;
  • 95) 0,907 460 504 614 595 364 611 547 987 968 × 2 = 1 + 0,814 921 009 229 190 729 223 095 975 936;
  • 96) 0,814 921 009 229 190 729 223 095 975 936 × 2 = 1 + 0,629 842 018 458 381 458 446 191 951 872;
  • 97) 0,629 842 018 458 381 458 446 191 951 872 × 2 = 1 + 0,259 684 036 916 762 916 892 383 903 744;
  • 98) 0,259 684 036 916 762 916 892 383 903 744 × 2 = 0 + 0,519 368 073 833 525 833 784 767 807 488;
  • 99) 0,519 368 073 833 525 833 784 767 807 488 × 2 = 1 + 0,038 736 147 667 051 667 569 535 614 976;
  • 100) 0,038 736 147 667 051 667 569 535 614 976 × 2 = 0 + 0,077 472 295 334 103 335 139 071 229 952;
  • 101) 0,077 472 295 334 103 335 139 071 229 952 × 2 = 0 + 0,154 944 590 668 206 670 278 142 459 904;
  • 102) 0,154 944 590 668 206 670 278 142 459 904 × 2 = 0 + 0,309 889 181 336 413 340 556 284 919 808;
  • 103) 0,309 889 181 336 413 340 556 284 919 808 × 2 = 0 + 0,619 778 362 672 826 681 112 569 839 616;
  • 104) 0,619 778 362 672 826 681 112 569 839 616 × 2 = 1 + 0,239 556 725 345 653 362 225 139 679 232;
  • 105) 0,239 556 725 345 653 362 225 139 679 232 × 2 = 0 + 0,479 113 450 691 306 724 450 279 358 464;
  • 106) 0,479 113 450 691 306 724 450 279 358 464 × 2 = 0 + 0,958 226 901 382 613 448 900 558 716 928;
  • 107) 0,958 226 901 382 613 448 900 558 716 928 × 2 = 1 + 0,916 453 802 765 226 897 801 117 433 856;
  • 108) 0,916 453 802 765 226 897 801 117 433 856 × 2 = 1 + 0,832 907 605 530 453 795 602 234 867 712;
  • 109) 0,832 907 605 530 453 795 602 234 867 712 × 2 = 1 + 0,665 815 211 060 907 591 204 469 735 424;
  • 110) 0,665 815 211 060 907 591 204 469 735 424 × 2 = 1 + 0,331 630 422 121 815 182 408 939 470 848;
  • 111) 0,331 630 422 121 815 182 408 939 470 848 × 2 = 0 + 0,663 260 844 243 630 364 817 878 941 696;
  • 112) 0,663 260 844 243 630 364 817 878 941 696 × 2 = 1 + 0,326 521 688 487 260 729 635 757 883 392;
  • 113) 0,326 521 688 487 260 729 635 757 883 392 × 2 = 0 + 0,653 043 376 974 521 459 271 515 766 784;
  • 114) 0,653 043 376 974 521 459 271 515 766 784 × 2 = 1 + 0,306 086 753 949 042 918 543 031 533 568;
  • 115) 0,306 086 753 949 042 918 543 031 533 568 × 2 = 0 + 0,612 173 507 898 085 837 086 063 067 136;
  • 116) 0,612 173 507 898 085 837 086 063 067 136 × 2 = 1 + 0,224 347 015 796 171 674 172 126 134 272;
  • 117) 0,224 347 015 796 171 674 172 126 134 272 × 2 = 0 + 0,448 694 031 592 343 348 344 252 268 544;
  • 118) 0,448 694 031 592 343 348 344 252 268 544 × 2 = 0 + 0,897 388 063 184 686 696 688 504 537 088;
  • 119) 0,897 388 063 184 686 696 688 504 537 088 × 2 = 1 + 0,794 776 126 369 373 393 377 009 074 176;
  • 120) 0,794 776 126 369 373 393 377 009 074 176 × 2 = 1 + 0,589 552 252 738 746 786 754 018 148 352;
  • 121) 0,589 552 252 738 746 786 754 018 148 352 × 2 = 1 + 0,179 104 505 477 493 573 508 036 296 704;
  • 122) 0,179 104 505 477 493 573 508 036 296 704 × 2 = 0 + 0,358 209 010 954 987 147 016 072 593 408;
  • 123) 0,358 209 010 954 987 147 016 072 593 408 × 2 = 0 + 0,716 418 021 909 974 294 032 145 186 816;
  • 124) 0,716 418 021 909 974 294 032 145 186 816 × 2 = 1 + 0,432 836 043 819 948 588 064 290 373 632;
  • 125) 0,432 836 043 819 948 588 064 290 373 632 × 2 = 0 + 0,865 672 087 639 897 176 128 580 747 264;
  • 126) 0,865 672 087 639 897 176 128 580 747 264 × 2 = 1 + 0,731 344 175 279 794 352 257 161 494 528;
  • 127) 0,731 344 175 279 794 352 257 161 494 528 × 2 = 1 + 0,462 688 350 559 588 704 514 322 989 056;
  • 128) 0,462 688 350 559 588 704 514 322 989 056 × 2 = 0 + 0,925 376 701 119 177 409 028 645 978 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 76 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110(2) × 20 =

1,0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110(2) × 2-76


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -76

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-76 + 2(11-1) - 1 =

(-76 + 1 023)(10) =

947(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 947 : 2 = 473 + 1;
  • 473 : 2 = 236 + 1;
  • 236 : 2 = 118 + 0;
  • 118 : 2 = 59 + 0;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

947(10) =

011 1011 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110 =

0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 0011

Mantisă (52 biți) =
0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 702 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 0011 - 0000 1011 0000 1111 0111 1010 0001 0011 1101 0101 0011 1001 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 661 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100