0,000 000 000 000 000 000 007 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 007 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 007 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 007 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 007 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 015 2;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 015 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 030 4;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 030 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 060 8;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 060 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 121 6;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 121 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 243 2;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 243 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 486 4;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 486 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 972 8;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 000 972 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 945 6;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 001 945 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 003 891 2;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 003 891 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 007 782 4;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 007 782 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 015 564 8;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 015 564 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 031 129 6;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 031 129 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 062 259 2;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 062 259 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 124 518 4;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 124 518 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 249 036 8;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 249 036 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 498 073 6;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 498 073 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 996 147 2;
  • 18) 0,000 000 000 000 000 996 147 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 992 294 4;
  • 19) 0,000 000 000 000 001 992 294 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 984 588 8;
  • 20) 0,000 000 000 000 003 984 588 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 007 969 177 6;
  • 21) 0,000 000 000 000 007 969 177 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 015 938 355 2;
  • 22) 0,000 000 000 000 015 938 355 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 031 876 710 4;
  • 23) 0,000 000 000 000 031 876 710 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 063 753 420 8;
  • 24) 0,000 000 000 000 063 753 420 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 127 506 841 6;
  • 25) 0,000 000 000 000 127 506 841 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 255 013 683 2;
  • 26) 0,000 000 000 000 255 013 683 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 510 027 366 4;
  • 27) 0,000 000 000 000 510 027 366 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 020 054 732 8;
  • 28) 0,000 000 000 001 020 054 732 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 040 109 465 6;
  • 29) 0,000 000 000 002 040 109 465 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 080 218 931 2;
  • 30) 0,000 000 000 004 080 218 931 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 008 160 437 862 4;
  • 31) 0,000 000 000 008 160 437 862 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 016 320 875 724 8;
  • 32) 0,000 000 000 016 320 875 724 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 032 641 751 449 6;
  • 33) 0,000 000 000 032 641 751 449 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 065 283 502 899 2;
  • 34) 0,000 000 000 065 283 502 899 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 130 567 005 798 4;
  • 35) 0,000 000 000 130 567 005 798 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 261 134 011 596 8;
  • 36) 0,000 000 000 261 134 011 596 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 522 268 023 193 6;
  • 37) 0,000 000 000 522 268 023 193 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 044 536 046 387 2;
  • 38) 0,000 000 001 044 536 046 387 2 × 2 = 0 + 0,000 000 002 089 072 092 774 4;
  • 39) 0,000 000 002 089 072 092 774 4 × 2 = 0 + 0,000 000 004 178 144 185 548 8;
  • 40) 0,000 000 004 178 144 185 548 8 × 2 = 0 + 0,000 000 008 356 288 371 097 6;
  • 41) 0,000 000 008 356 288 371 097 6 × 2 = 0 + 0,000 000 016 712 576 742 195 2;
  • 42) 0,000 000 016 712 576 742 195 2 × 2 = 0 + 0,000 000 033 425 153 484 390 4;
  • 43) 0,000 000 033 425 153 484 390 4 × 2 = 0 + 0,000 000 066 850 306 968 780 8;
  • 44) 0,000 000 066 850 306 968 780 8 × 2 = 0 + 0,000 000 133 700 613 937 561 6;
  • 45) 0,000 000 133 700 613 937 561 6 × 2 = 0 + 0,000 000 267 401 227 875 123 2;
  • 46) 0,000 000 267 401 227 875 123 2 × 2 = 0 + 0,000 000 534 802 455 750 246 4;
  • 47) 0,000 000 534 802 455 750 246 4 × 2 = 0 + 0,000 001 069 604 911 500 492 8;
  • 48) 0,000 001 069 604 911 500 492 8 × 2 = 0 + 0,000 002 139 209 823 000 985 6;
  • 49) 0,000 002 139 209 823 000 985 6 × 2 = 0 + 0,000 004 278 419 646 001 971 2;
  • 50) 0,000 004 278 419 646 001 971 2 × 2 = 0 + 0,000 008 556 839 292 003 942 4;
  • 51) 0,000 008 556 839 292 003 942 4 × 2 = 0 + 0,000 017 113 678 584 007 884 8;
  • 52) 0,000 017 113 678 584 007 884 8 × 2 = 0 + 0,000 034 227 357 168 015 769 6;
  • 53) 0,000 034 227 357 168 015 769 6 × 2 = 0 + 0,000 068 454 714 336 031 539 2;
  • 54) 0,000 068 454 714 336 031 539 2 × 2 = 0 + 0,000 136 909 428 672 063 078 4;
  • 55) 0,000 136 909 428 672 063 078 4 × 2 = 0 + 0,000 273 818 857 344 126 156 8;
  • 56) 0,000 273 818 857 344 126 156 8 × 2 = 0 + 0,000 547 637 714 688 252 313 6;
  • 57) 0,000 547 637 714 688 252 313 6 × 2 = 0 + 0,001 095 275 429 376 504 627 2;
  • 58) 0,001 095 275 429 376 504 627 2 × 2 = 0 + 0,002 190 550 858 753 009 254 4;
  • 59) 0,002 190 550 858 753 009 254 4 × 2 = 0 + 0,004 381 101 717 506 018 508 8;
  • 60) 0,004 381 101 717 506 018 508 8 × 2 = 0 + 0,008 762 203 435 012 037 017 6;
  • 61) 0,008 762 203 435 012 037 017 6 × 2 = 0 + 0,017 524 406 870 024 074 035 2;
  • 62) 0,017 524 406 870 024 074 035 2 × 2 = 0 + 0,035 048 813 740 048 148 070 4;
  • 63) 0,035 048 813 740 048 148 070 4 × 2 = 0 + 0,070 097 627 480 096 296 140 8;
  • 64) 0,070 097 627 480 096 296 140 8 × 2 = 0 + 0,140 195 254 960 192 592 281 6;
  • 65) 0,140 195 254 960 192 592 281 6 × 2 = 0 + 0,280 390 509 920 385 184 563 2;
  • 66) 0,280 390 509 920 385 184 563 2 × 2 = 0 + 0,560 781 019 840 770 369 126 4;
  • 67) 0,560 781 019 840 770 369 126 4 × 2 = 1 + 0,121 562 039 681 540 738 252 8;
  • 68) 0,121 562 039 681 540 738 252 8 × 2 = 0 + 0,243 124 079 363 081 476 505 6;
  • 69) 0,243 124 079 363 081 476 505 6 × 2 = 0 + 0,486 248 158 726 162 953 011 2;
  • 70) 0,486 248 158 726 162 953 011 2 × 2 = 0 + 0,972 496 317 452 325 906 022 4;
  • 71) 0,972 496 317 452 325 906 022 4 × 2 = 1 + 0,944 992 634 904 651 812 044 8;
  • 72) 0,944 992 634 904 651 812 044 8 × 2 = 1 + 0,889 985 269 809 303 624 089 6;
  • 73) 0,889 985 269 809 303 624 089 6 × 2 = 1 + 0,779 970 539 618 607 248 179 2;
  • 74) 0,779 970 539 618 607 248 179 2 × 2 = 1 + 0,559 941 079 237 214 496 358 4;
  • 75) 0,559 941 079 237 214 496 358 4 × 2 = 1 + 0,119 882 158 474 428 992 716 8;
  • 76) 0,119 882 158 474 428 992 716 8 × 2 = 0 + 0,239 764 316 948 857 985 433 6;
  • 77) 0,239 764 316 948 857 985 433 6 × 2 = 0 + 0,479 528 633 897 715 970 867 2;
  • 78) 0,479 528 633 897 715 970 867 2 × 2 = 0 + 0,959 057 267 795 431 941 734 4;
  • 79) 0,959 057 267 795 431 941 734 4 × 2 = 1 + 0,918 114 535 590 863 883 468 8;
  • 80) 0,918 114 535 590 863 883 468 8 × 2 = 1 + 0,836 229 071 181 727 766 937 6;
  • 81) 0,836 229 071 181 727 766 937 6 × 2 = 1 + 0,672 458 142 363 455 533 875 2;
  • 82) 0,672 458 142 363 455 533 875 2 × 2 = 1 + 0,344 916 284 726 911 067 750 4;
  • 83) 0,344 916 284 726 911 067 750 4 × 2 = 0 + 0,689 832 569 453 822 135 500 8;
  • 84) 0,689 832 569 453 822 135 500 8 × 2 = 1 + 0,379 665 138 907 644 271 001 6;
  • 85) 0,379 665 138 907 644 271 001 6 × 2 = 0 + 0,759 330 277 815 288 542 003 2;
  • 86) 0,759 330 277 815 288 542 003 2 × 2 = 1 + 0,518 660 555 630 577 084 006 4;
  • 87) 0,518 660 555 630 577 084 006 4 × 2 = 1 + 0,037 321 111 261 154 168 012 8;
  • 88) 0,037 321 111 261 154 168 012 8 × 2 = 0 + 0,074 642 222 522 308 336 025 6;
  • 89) 0,074 642 222 522 308 336 025 6 × 2 = 0 + 0,149 284 445 044 616 672 051 2;
  • 90) 0,149 284 445 044 616 672 051 2 × 2 = 0 + 0,298 568 890 089 233 344 102 4;
  • 91) 0,298 568 890 089 233 344 102 4 × 2 = 0 + 0,597 137 780 178 466 688 204 8;
  • 92) 0,597 137 780 178 466 688 204 8 × 2 = 1 + 0,194 275 560 356 933 376 409 6;
  • 93) 0,194 275 560 356 933 376 409 6 × 2 = 0 + 0,388 551 120 713 866 752 819 2;
  • 94) 0,388 551 120 713 866 752 819 2 × 2 = 0 + 0,777 102 241 427 733 505 638 4;
  • 95) 0,777 102 241 427 733 505 638 4 × 2 = 1 + 0,554 204 482 855 467 011 276 8;
  • 96) 0,554 204 482 855 467 011 276 8 × 2 = 1 + 0,108 408 965 710 934 022 553 6;
  • 97) 0,108 408 965 710 934 022 553 6 × 2 = 0 + 0,216 817 931 421 868 045 107 2;
  • 98) 0,216 817 931 421 868 045 107 2 × 2 = 0 + 0,433 635 862 843 736 090 214 4;
  • 99) 0,433 635 862 843 736 090 214 4 × 2 = 0 + 0,867 271 725 687 472 180 428 8;
  • 100) 0,867 271 725 687 472 180 428 8 × 2 = 1 + 0,734 543 451 374 944 360 857 6;
  • 101) 0,734 543 451 374 944 360 857 6 × 2 = 1 + 0,469 086 902 749 888 721 715 2;
  • 102) 0,469 086 902 749 888 721 715 2 × 2 = 0 + 0,938 173 805 499 777 443 430 4;
  • 103) 0,938 173 805 499 777 443 430 4 × 2 = 1 + 0,876 347 610 999 554 886 860 8;
  • 104) 0,876 347 610 999 554 886 860 8 × 2 = 1 + 0,752 695 221 999 109 773 721 6;
  • 105) 0,752 695 221 999 109 773 721 6 × 2 = 1 + 0,505 390 443 998 219 547 443 2;
  • 106) 0,505 390 443 998 219 547 443 2 × 2 = 1 + 0,010 780 887 996 439 094 886 4;
  • 107) 0,010 780 887 996 439 094 886 4 × 2 = 0 + 0,021 561 775 992 878 189 772 8;
  • 108) 0,021 561 775 992 878 189 772 8 × 2 = 0 + 0,043 123 551 985 756 379 545 6;
  • 109) 0,043 123 551 985 756 379 545 6 × 2 = 0 + 0,086 247 103 971 512 759 091 2;
  • 110) 0,086 247 103 971 512 759 091 2 × 2 = 0 + 0,172 494 207 943 025 518 182 4;
  • 111) 0,172 494 207 943 025 518 182 4 × 2 = 0 + 0,344 988 415 886 051 036 364 8;
  • 112) 0,344 988 415 886 051 036 364 8 × 2 = 0 + 0,689 976 831 772 102 072 729 6;
  • 113) 0,689 976 831 772 102 072 729 6 × 2 = 1 + 0,379 953 663 544 204 145 459 2;
  • 114) 0,379 953 663 544 204 145 459 2 × 2 = 0 + 0,759 907 327 088 408 290 918 4;
  • 115) 0,759 907 327 088 408 290 918 4 × 2 = 1 + 0,519 814 654 176 816 581 836 8;
  • 116) 0,519 814 654 176 816 581 836 8 × 2 = 1 + 0,039 629 308 353 633 163 673 6;
  • 117) 0,039 629 308 353 633 163 673 6 × 2 = 0 + 0,079 258 616 707 266 327 347 2;
  • 118) 0,079 258 616 707 266 327 347 2 × 2 = 0 + 0,158 517 233 414 532 654 694 4;
  • 119) 0,158 517 233 414 532 654 694 4 × 2 = 0 + 0,317 034 466 829 065 309 388 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 007 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0011 1110 0011 1101 0110 0001 0011 0001 1011 1100 0000 1011 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 007 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0011 1110 0011 1101 0110 0001 0011 0001 1011 1100 0000 1011 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 007 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0011 1110 0011 1101 0110 0001 0011 0001 1011 1100 0000 1011 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0011 1110 0011 1101 0110 0001 0011 0001 1011 1100 0000 1011 000(2) × 20 =

1,0001 1111 0001 1110 1011 0000 1001 1000 1101 1110 0000 0101 1000(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 0001 1110 1011 0000 1001 1000 1101 1110 0000 0101 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 0001 1110 1011 0000 1001 1000 1101 1110 0000 0101 1000 =

0001 1111 0001 1110 1011 0000 1001 1000 1101 1110 0000 0101 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 0001 1110 1011 0000 1001 1000 1101 1110 0000 0101 1000


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 007 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0001 1111 0001 1110 1011 0000 1001 1000 1101 1110 0000 0101 1000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 002 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100