0,000 000 000 000 000 000 008 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 1 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 2;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 032 4;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 032 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 064 8;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 064 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 129 6;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 129 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 259 2;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 259 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 518 4;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 518 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 036 8;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 036 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 073 6;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 073 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 147 2;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 147 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 294 4;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 294 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 016 588 8;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 016 588 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 033 177 6;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 033 177 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 066 355 2;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 066 355 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 132 710 4;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 132 710 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 265 420 8;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 265 420 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 530 841 6;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 530 841 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 061 683 2;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 061 683 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 123 366 4;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 123 366 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 246 732 8;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 246 732 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 493 465 6;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 493 465 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 016 986 931 2;
  • 22) 0,000 000 000 000 016 986 931 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 033 973 862 4;
  • 23) 0,000 000 000 000 033 973 862 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 067 947 724 8;
  • 24) 0,000 000 000 000 067 947 724 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 135 895 449 6;
  • 25) 0,000 000 000 000 135 895 449 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 271 790 899 2;
  • 26) 0,000 000 000 000 271 790 899 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 543 581 798 4;
  • 27) 0,000 000 000 000 543 581 798 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 087 163 596 8;
  • 28) 0,000 000 000 001 087 163 596 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 174 327 193 6;
  • 29) 0,000 000 000 002 174 327 193 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 348 654 387 2;
  • 30) 0,000 000 000 004 348 654 387 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 008 697 308 774 4;
  • 31) 0,000 000 000 008 697 308 774 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 017 394 617 548 8;
  • 32) 0,000 000 000 017 394 617 548 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 034 789 235 097 6;
  • 33) 0,000 000 000 034 789 235 097 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 069 578 470 195 2;
  • 34) 0,000 000 000 069 578 470 195 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 139 156 940 390 4;
  • 35) 0,000 000 000 139 156 940 390 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 278 313 880 780 8;
  • 36) 0,000 000 000 278 313 880 780 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 556 627 761 561 6;
  • 37) 0,000 000 000 556 627 761 561 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 113 255 523 123 2;
  • 38) 0,000 000 001 113 255 523 123 2 × 2 = 0 + 0,000 000 002 226 511 046 246 4;
  • 39) 0,000 000 002 226 511 046 246 4 × 2 = 0 + 0,000 000 004 453 022 092 492 8;
  • 40) 0,000 000 004 453 022 092 492 8 × 2 = 0 + 0,000 000 008 906 044 184 985 6;
  • 41) 0,000 000 008 906 044 184 985 6 × 2 = 0 + 0,000 000 017 812 088 369 971 2;
  • 42) 0,000 000 017 812 088 369 971 2 × 2 = 0 + 0,000 000 035 624 176 739 942 4;
  • 43) 0,000 000 035 624 176 739 942 4 × 2 = 0 + 0,000 000 071 248 353 479 884 8;
  • 44) 0,000 000 071 248 353 479 884 8 × 2 = 0 + 0,000 000 142 496 706 959 769 6;
  • 45) 0,000 000 142 496 706 959 769 6 × 2 = 0 + 0,000 000 284 993 413 919 539 2;
  • 46) 0,000 000 284 993 413 919 539 2 × 2 = 0 + 0,000 000 569 986 827 839 078 4;
  • 47) 0,000 000 569 986 827 839 078 4 × 2 = 0 + 0,000 001 139 973 655 678 156 8;
  • 48) 0,000 001 139 973 655 678 156 8 × 2 = 0 + 0,000 002 279 947 311 356 313 6;
  • 49) 0,000 002 279 947 311 356 313 6 × 2 = 0 + 0,000 004 559 894 622 712 627 2;
  • 50) 0,000 004 559 894 622 712 627 2 × 2 = 0 + 0,000 009 119 789 245 425 254 4;
  • 51) 0,000 009 119 789 245 425 254 4 × 2 = 0 + 0,000 018 239 578 490 850 508 8;
  • 52) 0,000 018 239 578 490 850 508 8 × 2 = 0 + 0,000 036 479 156 981 701 017 6;
  • 53) 0,000 036 479 156 981 701 017 6 × 2 = 0 + 0,000 072 958 313 963 402 035 2;
  • 54) 0,000 072 958 313 963 402 035 2 × 2 = 0 + 0,000 145 916 627 926 804 070 4;
  • 55) 0,000 145 916 627 926 804 070 4 × 2 = 0 + 0,000 291 833 255 853 608 140 8;
  • 56) 0,000 291 833 255 853 608 140 8 × 2 = 0 + 0,000 583 666 511 707 216 281 6;
  • 57) 0,000 583 666 511 707 216 281 6 × 2 = 0 + 0,001 167 333 023 414 432 563 2;
  • 58) 0,001 167 333 023 414 432 563 2 × 2 = 0 + 0,002 334 666 046 828 865 126 4;
  • 59) 0,002 334 666 046 828 865 126 4 × 2 = 0 + 0,004 669 332 093 657 730 252 8;
  • 60) 0,004 669 332 093 657 730 252 8 × 2 = 0 + 0,009 338 664 187 315 460 505 6;
  • 61) 0,009 338 664 187 315 460 505 6 × 2 = 0 + 0,018 677 328 374 630 921 011 2;
  • 62) 0,018 677 328 374 630 921 011 2 × 2 = 0 + 0,037 354 656 749 261 842 022 4;
  • 63) 0,037 354 656 749 261 842 022 4 × 2 = 0 + 0,074 709 313 498 523 684 044 8;
  • 64) 0,074 709 313 498 523 684 044 8 × 2 = 0 + 0,149 418 626 997 047 368 089 6;
  • 65) 0,149 418 626 997 047 368 089 6 × 2 = 0 + 0,298 837 253 994 094 736 179 2;
  • 66) 0,298 837 253 994 094 736 179 2 × 2 = 0 + 0,597 674 507 988 189 472 358 4;
  • 67) 0,597 674 507 988 189 472 358 4 × 2 = 1 + 0,195 349 015 976 378 944 716 8;
  • 68) 0,195 349 015 976 378 944 716 8 × 2 = 0 + 0,390 698 031 952 757 889 433 6;
  • 69) 0,390 698 031 952 757 889 433 6 × 2 = 0 + 0,781 396 063 905 515 778 867 2;
  • 70) 0,781 396 063 905 515 778 867 2 × 2 = 1 + 0,562 792 127 811 031 557 734 4;
  • 71) 0,562 792 127 811 031 557 734 4 × 2 = 1 + 0,125 584 255 622 063 115 468 8;
  • 72) 0,125 584 255 622 063 115 468 8 × 2 = 0 + 0,251 168 511 244 126 230 937 6;
  • 73) 0,251 168 511 244 126 230 937 6 × 2 = 0 + 0,502 337 022 488 252 461 875 2;
  • 74) 0,502 337 022 488 252 461 875 2 × 2 = 1 + 0,004 674 044 976 504 923 750 4;
  • 75) 0,004 674 044 976 504 923 750 4 × 2 = 0 + 0,009 348 089 953 009 847 500 8;
  • 76) 0,009 348 089 953 009 847 500 8 × 2 = 0 + 0,018 696 179 906 019 695 001 6;
  • 77) 0,018 696 179 906 019 695 001 6 × 2 = 0 + 0,037 392 359 812 039 390 003 2;
  • 78) 0,037 392 359 812 039 390 003 2 × 2 = 0 + 0,074 784 719 624 078 780 006 4;
  • 79) 0,074 784 719 624 078 780 006 4 × 2 = 0 + 0,149 569 439 248 157 560 012 8;
  • 80) 0,149 569 439 248 157 560 012 8 × 2 = 0 + 0,299 138 878 496 315 120 025 6;
  • 81) 0,299 138 878 496 315 120 025 6 × 2 = 0 + 0,598 277 756 992 630 240 051 2;
  • 82) 0,598 277 756 992 630 240 051 2 × 2 = 1 + 0,196 555 513 985 260 480 102 4;
  • 83) 0,196 555 513 985 260 480 102 4 × 2 = 0 + 0,393 111 027 970 520 960 204 8;
  • 84) 0,393 111 027 970 520 960 204 8 × 2 = 0 + 0,786 222 055 941 041 920 409 6;
  • 85) 0,786 222 055 941 041 920 409 6 × 2 = 1 + 0,572 444 111 882 083 840 819 2;
  • 86) 0,572 444 111 882 083 840 819 2 × 2 = 1 + 0,144 888 223 764 167 681 638 4;
  • 87) 0,144 888 223 764 167 681 638 4 × 2 = 0 + 0,289 776 447 528 335 363 276 8;
  • 88) 0,289 776 447 528 335 363 276 8 × 2 = 0 + 0,579 552 895 056 670 726 553 6;
  • 89) 0,579 552 895 056 670 726 553 6 × 2 = 1 + 0,159 105 790 113 341 453 107 2;
  • 90) 0,159 105 790 113 341 453 107 2 × 2 = 0 + 0,318 211 580 226 682 906 214 4;
  • 91) 0,318 211 580 226 682 906 214 4 × 2 = 0 + 0,636 423 160 453 365 812 428 8;
  • 92) 0,636 423 160 453 365 812 428 8 × 2 = 1 + 0,272 846 320 906 731 624 857 6;
  • 93) 0,272 846 320 906 731 624 857 6 × 2 = 0 + 0,545 692 641 813 463 249 715 2;
  • 94) 0,545 692 641 813 463 249 715 2 × 2 = 1 + 0,091 385 283 626 926 499 430 4;
  • 95) 0,091 385 283 626 926 499 430 4 × 2 = 0 + 0,182 770 567 253 852 998 860 8;
  • 96) 0,182 770 567 253 852 998 860 8 × 2 = 0 + 0,365 541 134 507 705 997 721 6;
  • 97) 0,365 541 134 507 705 997 721 6 × 2 = 0 + 0,731 082 269 015 411 995 443 2;
  • 98) 0,731 082 269 015 411 995 443 2 × 2 = 1 + 0,462 164 538 030 823 990 886 4;
  • 99) 0,462 164 538 030 823 990 886 4 × 2 = 0 + 0,924 329 076 061 647 981 772 8;
  • 100) 0,924 329 076 061 647 981 772 8 × 2 = 1 + 0,848 658 152 123 295 963 545 6;
  • 101) 0,848 658 152 123 295 963 545 6 × 2 = 1 + 0,697 316 304 246 591 927 091 2;
  • 102) 0,697 316 304 246 591 927 091 2 × 2 = 1 + 0,394 632 608 493 183 854 182 4;
  • 103) 0,394 632 608 493 183 854 182 4 × 2 = 0 + 0,789 265 216 986 367 708 364 8;
  • 104) 0,789 265 216 986 367 708 364 8 × 2 = 1 + 0,578 530 433 972 735 416 729 6;
  • 105) 0,578 530 433 972 735 416 729 6 × 2 = 1 + 0,157 060 867 945 470 833 459 2;
  • 106) 0,157 060 867 945 470 833 459 2 × 2 = 0 + 0,314 121 735 890 941 666 918 4;
  • 107) 0,314 121 735 890 941 666 918 4 × 2 = 0 + 0,628 243 471 781 883 333 836 8;
  • 108) 0,628 243 471 781 883 333 836 8 × 2 = 1 + 0,256 486 943 563 766 667 673 6;
  • 109) 0,256 486 943 563 766 667 673 6 × 2 = 0 + 0,512 973 887 127 533 335 347 2;
  • 110) 0,512 973 887 127 533 335 347 2 × 2 = 1 + 0,025 947 774 255 066 670 694 4;
  • 111) 0,025 947 774 255 066 670 694 4 × 2 = 0 + 0,051 895 548 510 133 341 388 8;
  • 112) 0,051 895 548 510 133 341 388 8 × 2 = 0 + 0,103 791 097 020 266 682 777 6;
  • 113) 0,103 791 097 020 266 682 777 6 × 2 = 0 + 0,207 582 194 040 533 365 555 2;
  • 114) 0,207 582 194 040 533 365 555 2 × 2 = 0 + 0,415 164 388 081 066 731 110 4;
  • 115) 0,415 164 388 081 066 731 110 4 × 2 = 0 + 0,830 328 776 162 133 462 220 8;
  • 116) 0,830 328 776 162 133 462 220 8 × 2 = 1 + 0,660 657 552 324 266 924 441 6;
  • 117) 0,660 657 552 324 266 924 441 6 × 2 = 1 + 0,321 315 104 648 533 848 883 2;
  • 118) 0,321 315 104 648 533 848 883 2 × 2 = 0 + 0,642 630 209 297 067 697 766 4;
  • 119) 0,642 630 209 297 067 697 766 4 × 2 = 1 + 0,285 260 418 594 135 395 532 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 0100 0000 0100 1100 1001 0100 0101 1101 1001 0100 0001 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 0100 0000 0100 1100 1001 0100 0101 1101 1001 0100 0001 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 0100 0000 0100 1100 1001 0100 0101 1101 1001 0100 0001 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 0100 0000 0100 1100 1001 0100 0101 1101 1001 0100 0001 101(2) × 20 =

1,0011 0010 0000 0010 0110 0100 1010 0010 1110 1100 1010 0000 1101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0010 0000 0010 0110 0100 1010 0010 1110 1100 1010 0000 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0010 0000 0010 0110 0100 1010 0010 1110 1100 1010 0000 1101 =

0011 0010 0000 0010 0110 0100 1010 0010 1110 1100 1010 0000 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 0010 0000 0010 0110 0100 1010 0010 1110 1100 1010 0000 1101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 0010 0000 0010 0110 0100 1010 0010 1110 1100 1010 0000 1101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 012 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100