0,000 000 000 000 000 000 008 404 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 404(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 404(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 404.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 404 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 808;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 616;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 232;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 134 464;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 134 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 268 928;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 268 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 537 856;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 537 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 075 712;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 075 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 151 424;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 151 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 302 848;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 302 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 605 696;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 605 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 211 392;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 211 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 422 784;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 422 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 068 845 568;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 068 845 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 137 691 136;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 137 691 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 275 382 272;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 275 382 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 550 764 544;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 550 764 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 101 529 088;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 101 529 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 203 058 176;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 203 058 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 406 116 352;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 406 116 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 812 232 704;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 812 232 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 624 465 408;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 624 465 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 248 930 816;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 248 930 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 497 861 632;
  • 24) 0,000 000 000 000 070 497 861 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 140 995 723 264;
  • 25) 0,000 000 000 000 140 995 723 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 281 991 446 528;
  • 26) 0,000 000 000 000 281 991 446 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 563 982 893 056;
  • 27) 0,000 000 000 000 563 982 893 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 127 965 786 112;
  • 28) 0,000 000 000 001 127 965 786 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 255 931 572 224;
  • 29) 0,000 000 000 002 255 931 572 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 511 863 144 448;
  • 30) 0,000 000 000 004 511 863 144 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 023 726 288 896;
  • 31) 0,000 000 000 009 023 726 288 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 047 452 577 792;
  • 32) 0,000 000 000 018 047 452 577 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 094 905 155 584;
  • 33) 0,000 000 000 036 094 905 155 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 189 810 311 168;
  • 34) 0,000 000 000 072 189 810 311 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 144 379 620 622 336;
  • 35) 0,000 000 000 144 379 620 622 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 288 759 241 244 672;
  • 36) 0,000 000 000 288 759 241 244 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 577 518 482 489 344;
  • 37) 0,000 000 000 577 518 482 489 344 × 2 = 0 + 0,000 000 001 155 036 964 978 688;
  • 38) 0,000 000 001 155 036 964 978 688 × 2 = 0 + 0,000 000 002 310 073 929 957 376;
  • 39) 0,000 000 002 310 073 929 957 376 × 2 = 0 + 0,000 000 004 620 147 859 914 752;
  • 40) 0,000 000 004 620 147 859 914 752 × 2 = 0 + 0,000 000 009 240 295 719 829 504;
  • 41) 0,000 000 009 240 295 719 829 504 × 2 = 0 + 0,000 000 018 480 591 439 659 008;
  • 42) 0,000 000 018 480 591 439 659 008 × 2 = 0 + 0,000 000 036 961 182 879 318 016;
  • 43) 0,000 000 036 961 182 879 318 016 × 2 = 0 + 0,000 000 073 922 365 758 636 032;
  • 44) 0,000 000 073 922 365 758 636 032 × 2 = 0 + 0,000 000 147 844 731 517 272 064;
  • 45) 0,000 000 147 844 731 517 272 064 × 2 = 0 + 0,000 000 295 689 463 034 544 128;
  • 46) 0,000 000 295 689 463 034 544 128 × 2 = 0 + 0,000 000 591 378 926 069 088 256;
  • 47) 0,000 000 591 378 926 069 088 256 × 2 = 0 + 0,000 001 182 757 852 138 176 512;
  • 48) 0,000 001 182 757 852 138 176 512 × 2 = 0 + 0,000 002 365 515 704 276 353 024;
  • 49) 0,000 002 365 515 704 276 353 024 × 2 = 0 + 0,000 004 731 031 408 552 706 048;
  • 50) 0,000 004 731 031 408 552 706 048 × 2 = 0 + 0,000 009 462 062 817 105 412 096;
  • 51) 0,000 009 462 062 817 105 412 096 × 2 = 0 + 0,000 018 924 125 634 210 824 192;
  • 52) 0,000 018 924 125 634 210 824 192 × 2 = 0 + 0,000 037 848 251 268 421 648 384;
  • 53) 0,000 037 848 251 268 421 648 384 × 2 = 0 + 0,000 075 696 502 536 843 296 768;
  • 54) 0,000 075 696 502 536 843 296 768 × 2 = 0 + 0,000 151 393 005 073 686 593 536;
  • 55) 0,000 151 393 005 073 686 593 536 × 2 = 0 + 0,000 302 786 010 147 373 187 072;
  • 56) 0,000 302 786 010 147 373 187 072 × 2 = 0 + 0,000 605 572 020 294 746 374 144;
  • 57) 0,000 605 572 020 294 746 374 144 × 2 = 0 + 0,001 211 144 040 589 492 748 288;
  • 58) 0,001 211 144 040 589 492 748 288 × 2 = 0 + 0,002 422 288 081 178 985 496 576;
  • 59) 0,002 422 288 081 178 985 496 576 × 2 = 0 + 0,004 844 576 162 357 970 993 152;
  • 60) 0,004 844 576 162 357 970 993 152 × 2 = 0 + 0,009 689 152 324 715 941 986 304;
  • 61) 0,009 689 152 324 715 941 986 304 × 2 = 0 + 0,019 378 304 649 431 883 972 608;
  • 62) 0,019 378 304 649 431 883 972 608 × 2 = 0 + 0,038 756 609 298 863 767 945 216;
  • 63) 0,038 756 609 298 863 767 945 216 × 2 = 0 + 0,077 513 218 597 727 535 890 432;
  • 64) 0,077 513 218 597 727 535 890 432 × 2 = 0 + 0,155 026 437 195 455 071 780 864;
  • 65) 0,155 026 437 195 455 071 780 864 × 2 = 0 + 0,310 052 874 390 910 143 561 728;
  • 66) 0,310 052 874 390 910 143 561 728 × 2 = 0 + 0,620 105 748 781 820 287 123 456;
  • 67) 0,620 105 748 781 820 287 123 456 × 2 = 1 + 0,240 211 497 563 640 574 246 912;
  • 68) 0,240 211 497 563 640 574 246 912 × 2 = 0 + 0,480 422 995 127 281 148 493 824;
  • 69) 0,480 422 995 127 281 148 493 824 × 2 = 0 + 0,960 845 990 254 562 296 987 648;
  • 70) 0,960 845 990 254 562 296 987 648 × 2 = 1 + 0,921 691 980 509 124 593 975 296;
  • 71) 0,921 691 980 509 124 593 975 296 × 2 = 1 + 0,843 383 961 018 249 187 950 592;
  • 72) 0,843 383 961 018 249 187 950 592 × 2 = 1 + 0,686 767 922 036 498 375 901 184;
  • 73) 0,686 767 922 036 498 375 901 184 × 2 = 1 + 0,373 535 844 072 996 751 802 368;
  • 74) 0,373 535 844 072 996 751 802 368 × 2 = 0 + 0,747 071 688 145 993 503 604 736;
  • 75) 0,747 071 688 145 993 503 604 736 × 2 = 1 + 0,494 143 376 291 987 007 209 472;
  • 76) 0,494 143 376 291 987 007 209 472 × 2 = 0 + 0,988 286 752 583 974 014 418 944;
  • 77) 0,988 286 752 583 974 014 418 944 × 2 = 1 + 0,976 573 505 167 948 028 837 888;
  • 78) 0,976 573 505 167 948 028 837 888 × 2 = 1 + 0,953 147 010 335 896 057 675 776;
  • 79) 0,953 147 010 335 896 057 675 776 × 2 = 1 + 0,906 294 020 671 792 115 351 552;
  • 80) 0,906 294 020 671 792 115 351 552 × 2 = 1 + 0,812 588 041 343 584 230 703 104;
  • 81) 0,812 588 041 343 584 230 703 104 × 2 = 1 + 0,625 176 082 687 168 461 406 208;
  • 82) 0,625 176 082 687 168 461 406 208 × 2 = 1 + 0,250 352 165 374 336 922 812 416;
  • 83) 0,250 352 165 374 336 922 812 416 × 2 = 0 + 0,500 704 330 748 673 845 624 832;
  • 84) 0,500 704 330 748 673 845 624 832 × 2 = 1 + 0,001 408 661 497 347 691 249 664;
  • 85) 0,001 408 661 497 347 691 249 664 × 2 = 0 + 0,002 817 322 994 695 382 499 328;
  • 86) 0,002 817 322 994 695 382 499 328 × 2 = 0 + 0,005 634 645 989 390 764 998 656;
  • 87) 0,005 634 645 989 390 764 998 656 × 2 = 0 + 0,011 269 291 978 781 529 997 312;
  • 88) 0,011 269 291 978 781 529 997 312 × 2 = 0 + 0,022 538 583 957 563 059 994 624;
  • 89) 0,022 538 583 957 563 059 994 624 × 2 = 0 + 0,045 077 167 915 126 119 989 248;
  • 90) 0,045 077 167 915 126 119 989 248 × 2 = 0 + 0,090 154 335 830 252 239 978 496;
  • 91) 0,090 154 335 830 252 239 978 496 × 2 = 0 + 0,180 308 671 660 504 479 956 992;
  • 92) 0,180 308 671 660 504 479 956 992 × 2 = 0 + 0,360 617 343 321 008 959 913 984;
  • 93) 0,360 617 343 321 008 959 913 984 × 2 = 0 + 0,721 234 686 642 017 919 827 968;
  • 94) 0,721 234 686 642 017 919 827 968 × 2 = 1 + 0,442 469 373 284 035 839 655 936;
  • 95) 0,442 469 373 284 035 839 655 936 × 2 = 0 + 0,884 938 746 568 071 679 311 872;
  • 96) 0,884 938 746 568 071 679 311 872 × 2 = 1 + 0,769 877 493 136 143 358 623 744;
  • 97) 0,769 877 493 136 143 358 623 744 × 2 = 1 + 0,539 754 986 272 286 717 247 488;
  • 98) 0,539 754 986 272 286 717 247 488 × 2 = 1 + 0,079 509 972 544 573 434 494 976;
  • 99) 0,079 509 972 544 573 434 494 976 × 2 = 0 + 0,159 019 945 089 146 868 989 952;
  • 100) 0,159 019 945 089 146 868 989 952 × 2 = 0 + 0,318 039 890 178 293 737 979 904;
  • 101) 0,318 039 890 178 293 737 979 904 × 2 = 0 + 0,636 079 780 356 587 475 959 808;
  • 102) 0,636 079 780 356 587 475 959 808 × 2 = 1 + 0,272 159 560 713 174 951 919 616;
  • 103) 0,272 159 560 713 174 951 919 616 × 2 = 0 + 0,544 319 121 426 349 903 839 232;
  • 104) 0,544 319 121 426 349 903 839 232 × 2 = 1 + 0,088 638 242 852 699 807 678 464;
  • 105) 0,088 638 242 852 699 807 678 464 × 2 = 0 + 0,177 276 485 705 399 615 356 928;
  • 106) 0,177 276 485 705 399 615 356 928 × 2 = 0 + 0,354 552 971 410 799 230 713 856;
  • 107) 0,354 552 971 410 799 230 713 856 × 2 = 0 + 0,709 105 942 821 598 461 427 712;
  • 108) 0,709 105 942 821 598 461 427 712 × 2 = 1 + 0,418 211 885 643 196 922 855 424;
  • 109) 0,418 211 885 643 196 922 855 424 × 2 = 0 + 0,836 423 771 286 393 845 710 848;
  • 110) 0,836 423 771 286 393 845 710 848 × 2 = 1 + 0,672 847 542 572 787 691 421 696;
  • 111) 0,672 847 542 572 787 691 421 696 × 2 = 1 + 0,345 695 085 145 575 382 843 392;
  • 112) 0,345 695 085 145 575 382 843 392 × 2 = 0 + 0,691 390 170 291 150 765 686 784;
  • 113) 0,691 390 170 291 150 765 686 784 × 2 = 1 + 0,382 780 340 582 301 531 373 568;
  • 114) 0,382 780 340 582 301 531 373 568 × 2 = 0 + 0,765 560 681 164 603 062 747 136;
  • 115) 0,765 560 681 164 603 062 747 136 × 2 = 1 + 0,531 121 362 329 206 125 494 272;
  • 116) 0,531 121 362 329 206 125 494 272 × 2 = 1 + 0,062 242 724 658 412 250 988 544;
  • 117) 0,062 242 724 658 412 250 988 544 × 2 = 0 + 0,124 485 449 316 824 501 977 088;
  • 118) 0,124 485 449 316 824 501 977 088 × 2 = 0 + 0,248 970 898 633 649 003 954 176;
  • 119) 0,248 970 898 633 649 003 954 176 × 2 = 0 + 0,497 941 797 267 298 007 908 352;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 404(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1010 1111 1101 0000 0000 0101 1100 0101 0001 0110 1011 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 404(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1010 1111 1101 0000 0000 0101 1100 0101 0001 0110 1011 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 404(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1010 1111 1101 0000 0000 0101 1100 0101 0001 0110 1011 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1010 1111 1101 0000 0000 0101 1100 0101 0001 0110 1011 000(2) × 20 =

1,0011 1101 0111 1110 1000 0000 0010 1110 0010 1000 1011 0101 1000(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1101 0111 1110 1000 0000 0010 1110 0010 1000 1011 0101 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1101 0111 1110 1000 0000 0010 1110 0010 1000 1011 0101 1000 =

0011 1101 0111 1110 1000 0000 0010 1110 0010 1000 1011 0101 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1101 0111 1110 1000 0000 0010 1110 0010 1000 1011 0101 1000


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 404 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1101 0111 1110 1000 0000 0010 1110 0010 1000 1011 0101 1000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 334 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100