0,000 000 000 000 000 000 008 424 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 424(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 424(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 424.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 848;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 696;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 392;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 134 784;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 134 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 269 568;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 269 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 539 136;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 539 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 078 272;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 078 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 156 544;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 156 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 313 088;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 313 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 626 176;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 626 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 252 352;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 252 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 504 704;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 504 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 009 408;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 009 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 018 816;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 018 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 276 037 632;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 276 037 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 552 075 264;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 552 075 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 104 150 528;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 104 150 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 208 301 056;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 208 301 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 416 602 112;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 416 602 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 833 204 224;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 833 204 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 666 408 448;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 666 408 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 332 816 896;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 332 816 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 665 633 792;
  • 24) 0,000 000 000 000 070 665 633 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 141 331 267 584;
  • 25) 0,000 000 000 000 141 331 267 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 282 662 535 168;
  • 26) 0,000 000 000 000 282 662 535 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 565 325 070 336;
  • 27) 0,000 000 000 000 565 325 070 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 130 650 140 672;
  • 28) 0,000 000 000 001 130 650 140 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 261 300 281 344;
  • 29) 0,000 000 000 002 261 300 281 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 522 600 562 688;
  • 30) 0,000 000 000 004 522 600 562 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 045 201 125 376;
  • 31) 0,000 000 000 009 045 201 125 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 090 402 250 752;
  • 32) 0,000 000 000 018 090 402 250 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 180 804 501 504;
  • 33) 0,000 000 000 036 180 804 501 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 361 609 003 008;
  • 34) 0,000 000 000 072 361 609 003 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 144 723 218 006 016;
  • 35) 0,000 000 000 144 723 218 006 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 289 446 436 012 032;
  • 36) 0,000 000 000 289 446 436 012 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 578 892 872 024 064;
  • 37) 0,000 000 000 578 892 872 024 064 × 2 = 0 + 0,000 000 001 157 785 744 048 128;
  • 38) 0,000 000 001 157 785 744 048 128 × 2 = 0 + 0,000 000 002 315 571 488 096 256;
  • 39) 0,000 000 002 315 571 488 096 256 × 2 = 0 + 0,000 000 004 631 142 976 192 512;
  • 40) 0,000 000 004 631 142 976 192 512 × 2 = 0 + 0,000 000 009 262 285 952 385 024;
  • 41) 0,000 000 009 262 285 952 385 024 × 2 = 0 + 0,000 000 018 524 571 904 770 048;
  • 42) 0,000 000 018 524 571 904 770 048 × 2 = 0 + 0,000 000 037 049 143 809 540 096;
  • 43) 0,000 000 037 049 143 809 540 096 × 2 = 0 + 0,000 000 074 098 287 619 080 192;
  • 44) 0,000 000 074 098 287 619 080 192 × 2 = 0 + 0,000 000 148 196 575 238 160 384;
  • 45) 0,000 000 148 196 575 238 160 384 × 2 = 0 + 0,000 000 296 393 150 476 320 768;
  • 46) 0,000 000 296 393 150 476 320 768 × 2 = 0 + 0,000 000 592 786 300 952 641 536;
  • 47) 0,000 000 592 786 300 952 641 536 × 2 = 0 + 0,000 001 185 572 601 905 283 072;
  • 48) 0,000 001 185 572 601 905 283 072 × 2 = 0 + 0,000 002 371 145 203 810 566 144;
  • 49) 0,000 002 371 145 203 810 566 144 × 2 = 0 + 0,000 004 742 290 407 621 132 288;
  • 50) 0,000 004 742 290 407 621 132 288 × 2 = 0 + 0,000 009 484 580 815 242 264 576;
  • 51) 0,000 009 484 580 815 242 264 576 × 2 = 0 + 0,000 018 969 161 630 484 529 152;
  • 52) 0,000 018 969 161 630 484 529 152 × 2 = 0 + 0,000 037 938 323 260 969 058 304;
  • 53) 0,000 037 938 323 260 969 058 304 × 2 = 0 + 0,000 075 876 646 521 938 116 608;
  • 54) 0,000 075 876 646 521 938 116 608 × 2 = 0 + 0,000 151 753 293 043 876 233 216;
  • 55) 0,000 151 753 293 043 876 233 216 × 2 = 0 + 0,000 303 506 586 087 752 466 432;
  • 56) 0,000 303 506 586 087 752 466 432 × 2 = 0 + 0,000 607 013 172 175 504 932 864;
  • 57) 0,000 607 013 172 175 504 932 864 × 2 = 0 + 0,001 214 026 344 351 009 865 728;
  • 58) 0,001 214 026 344 351 009 865 728 × 2 = 0 + 0,002 428 052 688 702 019 731 456;
  • 59) 0,002 428 052 688 702 019 731 456 × 2 = 0 + 0,004 856 105 377 404 039 462 912;
  • 60) 0,004 856 105 377 404 039 462 912 × 2 = 0 + 0,009 712 210 754 808 078 925 824;
  • 61) 0,009 712 210 754 808 078 925 824 × 2 = 0 + 0,019 424 421 509 616 157 851 648;
  • 62) 0,019 424 421 509 616 157 851 648 × 2 = 0 + 0,038 848 843 019 232 315 703 296;
  • 63) 0,038 848 843 019 232 315 703 296 × 2 = 0 + 0,077 697 686 038 464 631 406 592;
  • 64) 0,077 697 686 038 464 631 406 592 × 2 = 0 + 0,155 395 372 076 929 262 813 184;
  • 65) 0,155 395 372 076 929 262 813 184 × 2 = 0 + 0,310 790 744 153 858 525 626 368;
  • 66) 0,310 790 744 153 858 525 626 368 × 2 = 0 + 0,621 581 488 307 717 051 252 736;
  • 67) 0,621 581 488 307 717 051 252 736 × 2 = 1 + 0,243 162 976 615 434 102 505 472;
  • 68) 0,243 162 976 615 434 102 505 472 × 2 = 0 + 0,486 325 953 230 868 205 010 944;
  • 69) 0,486 325 953 230 868 205 010 944 × 2 = 0 + 0,972 651 906 461 736 410 021 888;
  • 70) 0,972 651 906 461 736 410 021 888 × 2 = 1 + 0,945 303 812 923 472 820 043 776;
  • 71) 0,945 303 812 923 472 820 043 776 × 2 = 1 + 0,890 607 625 846 945 640 087 552;
  • 72) 0,890 607 625 846 945 640 087 552 × 2 = 1 + 0,781 215 251 693 891 280 175 104;
  • 73) 0,781 215 251 693 891 280 175 104 × 2 = 1 + 0,562 430 503 387 782 560 350 208;
  • 74) 0,562 430 503 387 782 560 350 208 × 2 = 1 + 0,124 861 006 775 565 120 700 416;
  • 75) 0,124 861 006 775 565 120 700 416 × 2 = 0 + 0,249 722 013 551 130 241 400 832;
  • 76) 0,249 722 013 551 130 241 400 832 × 2 = 0 + 0,499 444 027 102 260 482 801 664;
  • 77) 0,499 444 027 102 260 482 801 664 × 2 = 0 + 0,998 888 054 204 520 965 603 328;
  • 78) 0,998 888 054 204 520 965 603 328 × 2 = 1 + 0,997 776 108 409 041 931 206 656;
  • 79) 0,997 776 108 409 041 931 206 656 × 2 = 1 + 0,995 552 216 818 083 862 413 312;
  • 80) 0,995 552 216 818 083 862 413 312 × 2 = 1 + 0,991 104 433 636 167 724 826 624;
  • 81) 0,991 104 433 636 167 724 826 624 × 2 = 1 + 0,982 208 867 272 335 449 653 248;
  • 82) 0,982 208 867 272 335 449 653 248 × 2 = 1 + 0,964 417 734 544 670 899 306 496;
  • 83) 0,964 417 734 544 670 899 306 496 × 2 = 1 + 0,928 835 469 089 341 798 612 992;
  • 84) 0,928 835 469 089 341 798 612 992 × 2 = 1 + 0,857 670 938 178 683 597 225 984;
  • 85) 0,857 670 938 178 683 597 225 984 × 2 = 1 + 0,715 341 876 357 367 194 451 968;
  • 86) 0,715 341 876 357 367 194 451 968 × 2 = 1 + 0,430 683 752 714 734 388 903 936;
  • 87) 0,430 683 752 714 734 388 903 936 × 2 = 0 + 0,861 367 505 429 468 777 807 872;
  • 88) 0,861 367 505 429 468 777 807 872 × 2 = 1 + 0,722 735 010 858 937 555 615 744;
  • 89) 0,722 735 010 858 937 555 615 744 × 2 = 1 + 0,445 470 021 717 875 111 231 488;
  • 90) 0,445 470 021 717 875 111 231 488 × 2 = 0 + 0,890 940 043 435 750 222 462 976;
  • 91) 0,890 940 043 435 750 222 462 976 × 2 = 1 + 0,781 880 086 871 500 444 925 952;
  • 92) 0,781 880 086 871 500 444 925 952 × 2 = 1 + 0,563 760 173 743 000 889 851 904;
  • 93) 0,563 760 173 743 000 889 851 904 × 2 = 1 + 0,127 520 347 486 001 779 703 808;
  • 94) 0,127 520 347 486 001 779 703 808 × 2 = 0 + 0,255 040 694 972 003 559 407 616;
  • 95) 0,255 040 694 972 003 559 407 616 × 2 = 0 + 0,510 081 389 944 007 118 815 232;
  • 96) 0,510 081 389 944 007 118 815 232 × 2 = 1 + 0,020 162 779 888 014 237 630 464;
  • 97) 0,020 162 779 888 014 237 630 464 × 2 = 0 + 0,040 325 559 776 028 475 260 928;
  • 98) 0,040 325 559 776 028 475 260 928 × 2 = 0 + 0,080 651 119 552 056 950 521 856;
  • 99) 0,080 651 119 552 056 950 521 856 × 2 = 0 + 0,161 302 239 104 113 901 043 712;
  • 100) 0,161 302 239 104 113 901 043 712 × 2 = 0 + 0,322 604 478 208 227 802 087 424;
  • 101) 0,322 604 478 208 227 802 087 424 × 2 = 0 + 0,645 208 956 416 455 604 174 848;
  • 102) 0,645 208 956 416 455 604 174 848 × 2 = 1 + 0,290 417 912 832 911 208 349 696;
  • 103) 0,290 417 912 832 911 208 349 696 × 2 = 0 + 0,580 835 825 665 822 416 699 392;
  • 104) 0,580 835 825 665 822 416 699 392 × 2 = 1 + 0,161 671 651 331 644 833 398 784;
  • 105) 0,161 671 651 331 644 833 398 784 × 2 = 0 + 0,323 343 302 663 289 666 797 568;
  • 106) 0,323 343 302 663 289 666 797 568 × 2 = 0 + 0,646 686 605 326 579 333 595 136;
  • 107) 0,646 686 605 326 579 333 595 136 × 2 = 1 + 0,293 373 210 653 158 667 190 272;
  • 108) 0,293 373 210 653 158 667 190 272 × 2 = 0 + 0,586 746 421 306 317 334 380 544;
  • 109) 0,586 746 421 306 317 334 380 544 × 2 = 1 + 0,173 492 842 612 634 668 761 088;
  • 110) 0,173 492 842 612 634 668 761 088 × 2 = 0 + 0,346 985 685 225 269 337 522 176;
  • 111) 0,346 985 685 225 269 337 522 176 × 2 = 0 + 0,693 971 370 450 538 675 044 352;
  • 112) 0,693 971 370 450 538 675 044 352 × 2 = 1 + 0,387 942 740 901 077 350 088 704;
  • 113) 0,387 942 740 901 077 350 088 704 × 2 = 0 + 0,775 885 481 802 154 700 177 408;
  • 114) 0,775 885 481 802 154 700 177 408 × 2 = 1 + 0,551 770 963 604 309 400 354 816;
  • 115) 0,551 770 963 604 309 400 354 816 × 2 = 1 + 0,103 541 927 208 618 800 709 632;
  • 116) 0,103 541 927 208 618 800 709 632 × 2 = 0 + 0,207 083 854 417 237 601 419 264;
  • 117) 0,207 083 854 417 237 601 419 264 × 2 = 0 + 0,414 167 708 834 475 202 838 528;
  • 118) 0,414 167 708 834 475 202 838 528 × 2 = 0 + 0,828 335 417 668 950 405 677 056;
  • 119) 0,828 335 417 668 950 405 677 056 × 2 = 1 + 0,656 670 835 337 900 811 354 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 424(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1100 0111 1111 1101 1011 1001 0000 0101 0010 1001 0110 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 424(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1100 0111 1111 1101 1011 1001 0000 0101 0010 1001 0110 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 424(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1100 0111 1111 1101 1011 1001 0000 0101 0010 1001 0110 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1100 0111 1111 1101 1011 1001 0000 0101 0010 1001 0110 001(2) × 20 =

1,0011 1110 0011 1111 1110 1101 1100 1000 0010 1001 0100 1011 0001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1110 0011 1111 1110 1101 1100 1000 0010 1001 0100 1011 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1110 0011 1111 1110 1101 1100 1000 0010 1001 0100 1011 0001 =

0011 1110 0011 1111 1110 1101 1100 1000 0010 1001 0100 1011 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1110 0011 1111 1110 1101 1100 1000 0010 1001 0100 1011 0001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 424 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1110 0011 1111 1110 1101 1100 1000 0010 1001 0100 1011 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 456 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100