0,000 000 000 000 000 000 008 432 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 432(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 432(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 432.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 864;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 728;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 456;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 134 912;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 134 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 269 824;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 269 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 539 648;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 539 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 079 296;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 079 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 158 592;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 158 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 317 184;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 317 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 634 368;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 634 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 268 736;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 268 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 537 472;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 537 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 074 944;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 074 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 149 888;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 149 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 276 299 776;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 276 299 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 552 599 552;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 552 599 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 105 199 104;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 105 199 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 210 398 208;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 210 398 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 420 796 416;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 420 796 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 841 592 832;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 841 592 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 683 185 664;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 683 185 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 366 371 328;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 366 371 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 732 742 656;
  • 24) 0,000 000 000 000 070 732 742 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 141 465 485 312;
  • 25) 0,000 000 000 000 141 465 485 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 282 930 970 624;
  • 26) 0,000 000 000 000 282 930 970 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 565 861 941 248;
  • 27) 0,000 000 000 000 565 861 941 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 131 723 882 496;
  • 28) 0,000 000 000 001 131 723 882 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 263 447 764 992;
  • 29) 0,000 000 000 002 263 447 764 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 526 895 529 984;
  • 30) 0,000 000 000 004 526 895 529 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 053 791 059 968;
  • 31) 0,000 000 000 009 053 791 059 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 107 582 119 936;
  • 32) 0,000 000 000 018 107 582 119 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 215 164 239 872;
  • 33) 0,000 000 000 036 215 164 239 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 430 328 479 744;
  • 34) 0,000 000 000 072 430 328 479 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 144 860 656 959 488;
  • 35) 0,000 000 000 144 860 656 959 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 289 721 313 918 976;
  • 36) 0,000 000 000 289 721 313 918 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 579 442 627 837 952;
  • 37) 0,000 000 000 579 442 627 837 952 × 2 = 0 + 0,000 000 001 158 885 255 675 904;
  • 38) 0,000 000 001 158 885 255 675 904 × 2 = 0 + 0,000 000 002 317 770 511 351 808;
  • 39) 0,000 000 002 317 770 511 351 808 × 2 = 0 + 0,000 000 004 635 541 022 703 616;
  • 40) 0,000 000 004 635 541 022 703 616 × 2 = 0 + 0,000 000 009 271 082 045 407 232;
  • 41) 0,000 000 009 271 082 045 407 232 × 2 = 0 + 0,000 000 018 542 164 090 814 464;
  • 42) 0,000 000 018 542 164 090 814 464 × 2 = 0 + 0,000 000 037 084 328 181 628 928;
  • 43) 0,000 000 037 084 328 181 628 928 × 2 = 0 + 0,000 000 074 168 656 363 257 856;
  • 44) 0,000 000 074 168 656 363 257 856 × 2 = 0 + 0,000 000 148 337 312 726 515 712;
  • 45) 0,000 000 148 337 312 726 515 712 × 2 = 0 + 0,000 000 296 674 625 453 031 424;
  • 46) 0,000 000 296 674 625 453 031 424 × 2 = 0 + 0,000 000 593 349 250 906 062 848;
  • 47) 0,000 000 593 349 250 906 062 848 × 2 = 0 + 0,000 001 186 698 501 812 125 696;
  • 48) 0,000 001 186 698 501 812 125 696 × 2 = 0 + 0,000 002 373 397 003 624 251 392;
  • 49) 0,000 002 373 397 003 624 251 392 × 2 = 0 + 0,000 004 746 794 007 248 502 784;
  • 50) 0,000 004 746 794 007 248 502 784 × 2 = 0 + 0,000 009 493 588 014 497 005 568;
  • 51) 0,000 009 493 588 014 497 005 568 × 2 = 0 + 0,000 018 987 176 028 994 011 136;
  • 52) 0,000 018 987 176 028 994 011 136 × 2 = 0 + 0,000 037 974 352 057 988 022 272;
  • 53) 0,000 037 974 352 057 988 022 272 × 2 = 0 + 0,000 075 948 704 115 976 044 544;
  • 54) 0,000 075 948 704 115 976 044 544 × 2 = 0 + 0,000 151 897 408 231 952 089 088;
  • 55) 0,000 151 897 408 231 952 089 088 × 2 = 0 + 0,000 303 794 816 463 904 178 176;
  • 56) 0,000 303 794 816 463 904 178 176 × 2 = 0 + 0,000 607 589 632 927 808 356 352;
  • 57) 0,000 607 589 632 927 808 356 352 × 2 = 0 + 0,001 215 179 265 855 616 712 704;
  • 58) 0,001 215 179 265 855 616 712 704 × 2 = 0 + 0,002 430 358 531 711 233 425 408;
  • 59) 0,002 430 358 531 711 233 425 408 × 2 = 0 + 0,004 860 717 063 422 466 850 816;
  • 60) 0,004 860 717 063 422 466 850 816 × 2 = 0 + 0,009 721 434 126 844 933 701 632;
  • 61) 0,009 721 434 126 844 933 701 632 × 2 = 0 + 0,019 442 868 253 689 867 403 264;
  • 62) 0,019 442 868 253 689 867 403 264 × 2 = 0 + 0,038 885 736 507 379 734 806 528;
  • 63) 0,038 885 736 507 379 734 806 528 × 2 = 0 + 0,077 771 473 014 759 469 613 056;
  • 64) 0,077 771 473 014 759 469 613 056 × 2 = 0 + 0,155 542 946 029 518 939 226 112;
  • 65) 0,155 542 946 029 518 939 226 112 × 2 = 0 + 0,311 085 892 059 037 878 452 224;
  • 66) 0,311 085 892 059 037 878 452 224 × 2 = 0 + 0,622 171 784 118 075 756 904 448;
  • 67) 0,622 171 784 118 075 756 904 448 × 2 = 1 + 0,244 343 568 236 151 513 808 896;
  • 68) 0,244 343 568 236 151 513 808 896 × 2 = 0 + 0,488 687 136 472 303 027 617 792;
  • 69) 0,488 687 136 472 303 027 617 792 × 2 = 0 + 0,977 374 272 944 606 055 235 584;
  • 70) 0,977 374 272 944 606 055 235 584 × 2 = 1 + 0,954 748 545 889 212 110 471 168;
  • 71) 0,954 748 545 889 212 110 471 168 × 2 = 1 + 0,909 497 091 778 424 220 942 336;
  • 72) 0,909 497 091 778 424 220 942 336 × 2 = 1 + 0,818 994 183 556 848 441 884 672;
  • 73) 0,818 994 183 556 848 441 884 672 × 2 = 1 + 0,637 988 367 113 696 883 769 344;
  • 74) 0,637 988 367 113 696 883 769 344 × 2 = 1 + 0,275 976 734 227 393 767 538 688;
  • 75) 0,275 976 734 227 393 767 538 688 × 2 = 0 + 0,551 953 468 454 787 535 077 376;
  • 76) 0,551 953 468 454 787 535 077 376 × 2 = 1 + 0,103 906 936 909 575 070 154 752;
  • 77) 0,103 906 936 909 575 070 154 752 × 2 = 0 + 0,207 813 873 819 150 140 309 504;
  • 78) 0,207 813 873 819 150 140 309 504 × 2 = 0 + 0,415 627 747 638 300 280 619 008;
  • 79) 0,415 627 747 638 300 280 619 008 × 2 = 0 + 0,831 255 495 276 600 561 238 016;
  • 80) 0,831 255 495 276 600 561 238 016 × 2 = 1 + 0,662 510 990 553 201 122 476 032;
  • 81) 0,662 510 990 553 201 122 476 032 × 2 = 1 + 0,325 021 981 106 402 244 952 064;
  • 82) 0,325 021 981 106 402 244 952 064 × 2 = 0 + 0,650 043 962 212 804 489 904 128;
  • 83) 0,650 043 962 212 804 489 904 128 × 2 = 1 + 0,300 087 924 425 608 979 808 256;
  • 84) 0,300 087 924 425 608 979 808 256 × 2 = 0 + 0,600 175 848 851 217 959 616 512;
  • 85) 0,600 175 848 851 217 959 616 512 × 2 = 1 + 0,200 351 697 702 435 919 233 024;
  • 86) 0,200 351 697 702 435 919 233 024 × 2 = 0 + 0,400 703 395 404 871 838 466 048;
  • 87) 0,400 703 395 404 871 838 466 048 × 2 = 0 + 0,801 406 790 809 743 676 932 096;
  • 88) 0,801 406 790 809 743 676 932 096 × 2 = 1 + 0,602 813 581 619 487 353 864 192;
  • 89) 0,602 813 581 619 487 353 864 192 × 2 = 1 + 0,205 627 163 238 974 707 728 384;
  • 90) 0,205 627 163 238 974 707 728 384 × 2 = 0 + 0,411 254 326 477 949 415 456 768;
  • 91) 0,411 254 326 477 949 415 456 768 × 2 = 0 + 0,822 508 652 955 898 830 913 536;
  • 92) 0,822 508 652 955 898 830 913 536 × 2 = 1 + 0,645 017 305 911 797 661 827 072;
  • 93) 0,645 017 305 911 797 661 827 072 × 2 = 1 + 0,290 034 611 823 595 323 654 144;
  • 94) 0,290 034 611 823 595 323 654 144 × 2 = 0 + 0,580 069 223 647 190 647 308 288;
  • 95) 0,580 069 223 647 190 647 308 288 × 2 = 1 + 0,160 138 447 294 381 294 616 576;
  • 96) 0,160 138 447 294 381 294 616 576 × 2 = 0 + 0,320 276 894 588 762 589 233 152;
  • 97) 0,320 276 894 588 762 589 233 152 × 2 = 0 + 0,640 553 789 177 525 178 466 304;
  • 98) 0,640 553 789 177 525 178 466 304 × 2 = 1 + 0,281 107 578 355 050 356 932 608;
  • 99) 0,281 107 578 355 050 356 932 608 × 2 = 0 + 0,562 215 156 710 100 713 865 216;
  • 100) 0,562 215 156 710 100 713 865 216 × 2 = 1 + 0,124 430 313 420 201 427 730 432;
  • 101) 0,124 430 313 420 201 427 730 432 × 2 = 0 + 0,248 860 626 840 402 855 460 864;
  • 102) 0,248 860 626 840 402 855 460 864 × 2 = 0 + 0,497 721 253 680 805 710 921 728;
  • 103) 0,497 721 253 680 805 710 921 728 × 2 = 0 + 0,995 442 507 361 611 421 843 456;
  • 104) 0,995 442 507 361 611 421 843 456 × 2 = 1 + 0,990 885 014 723 222 843 686 912;
  • 105) 0,990 885 014 723 222 843 686 912 × 2 = 1 + 0,981 770 029 446 445 687 373 824;
  • 106) 0,981 770 029 446 445 687 373 824 × 2 = 1 + 0,963 540 058 892 891 374 747 648;
  • 107) 0,963 540 058 892 891 374 747 648 × 2 = 1 + 0,927 080 117 785 782 749 495 296;
  • 108) 0,927 080 117 785 782 749 495 296 × 2 = 1 + 0,854 160 235 571 565 498 990 592;
  • 109) 0,854 160 235 571 565 498 990 592 × 2 = 1 + 0,708 320 471 143 130 997 981 184;
  • 110) 0,708 320 471 143 130 997 981 184 × 2 = 1 + 0,416 640 942 286 261 995 962 368;
  • 111) 0,416 640 942 286 261 995 962 368 × 2 = 0 + 0,833 281 884 572 523 991 924 736;
  • 112) 0,833 281 884 572 523 991 924 736 × 2 = 1 + 0,666 563 769 145 047 983 849 472;
  • 113) 0,666 563 769 145 047 983 849 472 × 2 = 1 + 0,333 127 538 290 095 967 698 944;
  • 114) 0,333 127 538 290 095 967 698 944 × 2 = 0 + 0,666 255 076 580 191 935 397 888;
  • 115) 0,666 255 076 580 191 935 397 888 × 2 = 1 + 0,332 510 153 160 383 870 795 776;
  • 116) 0,332 510 153 160 383 870 795 776 × 2 = 0 + 0,665 020 306 320 767 741 591 552;
  • 117) 0,665 020 306 320 767 741 591 552 × 2 = 1 + 0,330 040 612 641 535 483 183 104;
  • 118) 0,330 040 612 641 535 483 183 104 × 2 = 0 + 0,660 081 225 283 070 966 366 208;
  • 119) 0,660 081 225 283 070 966 366 208 × 2 = 1 + 0,320 162 450 566 141 932 732 416;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 432(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 0001 1010 1001 1001 1010 0101 0001 1111 1101 1010 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 432(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 0001 1010 1001 1001 1010 0101 0001 1111 1101 1010 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 432(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 0001 1010 1001 1001 1010 0101 0001 1111 1101 1010 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 0001 1010 1001 1001 1010 0101 0001 1111 1101 1010 101(2) × 20 =

1,0011 1110 1000 1101 0100 1100 1101 0010 1000 1111 1110 1101 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1110 1000 1101 0100 1100 1101 0010 1000 1111 1110 1101 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1110 1000 1101 0100 1100 1101 0010 1000 1111 1110 1101 0101 =

0011 1110 1000 1101 0100 1100 1101 0010 1000 1111 1110 1101 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1110 1000 1101 0100 1100 1101 0010 1000 1111 1110 1101 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 432 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1110 1000 1101 0100 1100 1101 0010 1000 1111 1110 1101 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 334 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100