0,000 000 000 000 000 000 008 45 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 45(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 45(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 45.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 45 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 9;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 9 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 8;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 6;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 2;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 270 4;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 270 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 540 8;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 540 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 081 6;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 081 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 163 2;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 163 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 326 4;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 326 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 652 8;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 652 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 305 6;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 305 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 611 2;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 611 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 222 4;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 222 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 444 8;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 444 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 276 889 6;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 276 889 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 553 779 2;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 553 779 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 107 558 4;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 107 558 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 215 116 8;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 215 116 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 430 233 6;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 430 233 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 860 467 2;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 860 467 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 720 934 4;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 720 934 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 441 868 8;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 441 868 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 883 737 6;
  • 24) 0,000 000 000 000 070 883 737 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 141 767 475 2;
  • 25) 0,000 000 000 000 141 767 475 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 283 534 950 4;
  • 26) 0,000 000 000 000 283 534 950 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 567 069 900 8;
  • 27) 0,000 000 000 000 567 069 900 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 134 139 801 6;
  • 28) 0,000 000 000 001 134 139 801 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 268 279 603 2;
  • 29) 0,000 000 000 002 268 279 603 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 536 559 206 4;
  • 30) 0,000 000 000 004 536 559 206 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 073 118 412 8;
  • 31) 0,000 000 000 009 073 118 412 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 146 236 825 6;
  • 32) 0,000 000 000 018 146 236 825 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 292 473 651 2;
  • 33) 0,000 000 000 036 292 473 651 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 584 947 302 4;
  • 34) 0,000 000 000 072 584 947 302 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 169 894 604 8;
  • 35) 0,000 000 000 145 169 894 604 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 290 339 789 209 6;
  • 36) 0,000 000 000 290 339 789 209 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 580 679 578 419 2;
  • 37) 0,000 000 000 580 679 578 419 2 × 2 = 0 + 0,000 000 001 161 359 156 838 4;
  • 38) 0,000 000 001 161 359 156 838 4 × 2 = 0 + 0,000 000 002 322 718 313 676 8;
  • 39) 0,000 000 002 322 718 313 676 8 × 2 = 0 + 0,000 000 004 645 436 627 353 6;
  • 40) 0,000 000 004 645 436 627 353 6 × 2 = 0 + 0,000 000 009 290 873 254 707 2;
  • 41) 0,000 000 009 290 873 254 707 2 × 2 = 0 + 0,000 000 018 581 746 509 414 4;
  • 42) 0,000 000 018 581 746 509 414 4 × 2 = 0 + 0,000 000 037 163 493 018 828 8;
  • 43) 0,000 000 037 163 493 018 828 8 × 2 = 0 + 0,000 000 074 326 986 037 657 6;
  • 44) 0,000 000 074 326 986 037 657 6 × 2 = 0 + 0,000 000 148 653 972 075 315 2;
  • 45) 0,000 000 148 653 972 075 315 2 × 2 = 0 + 0,000 000 297 307 944 150 630 4;
  • 46) 0,000 000 297 307 944 150 630 4 × 2 = 0 + 0,000 000 594 615 888 301 260 8;
  • 47) 0,000 000 594 615 888 301 260 8 × 2 = 0 + 0,000 001 189 231 776 602 521 6;
  • 48) 0,000 001 189 231 776 602 521 6 × 2 = 0 + 0,000 002 378 463 553 205 043 2;
  • 49) 0,000 002 378 463 553 205 043 2 × 2 = 0 + 0,000 004 756 927 106 410 086 4;
  • 50) 0,000 004 756 927 106 410 086 4 × 2 = 0 + 0,000 009 513 854 212 820 172 8;
  • 51) 0,000 009 513 854 212 820 172 8 × 2 = 0 + 0,000 019 027 708 425 640 345 6;
  • 52) 0,000 019 027 708 425 640 345 6 × 2 = 0 + 0,000 038 055 416 851 280 691 2;
  • 53) 0,000 038 055 416 851 280 691 2 × 2 = 0 + 0,000 076 110 833 702 561 382 4;
  • 54) 0,000 076 110 833 702 561 382 4 × 2 = 0 + 0,000 152 221 667 405 122 764 8;
  • 55) 0,000 152 221 667 405 122 764 8 × 2 = 0 + 0,000 304 443 334 810 245 529 6;
  • 56) 0,000 304 443 334 810 245 529 6 × 2 = 0 + 0,000 608 886 669 620 491 059 2;
  • 57) 0,000 608 886 669 620 491 059 2 × 2 = 0 + 0,001 217 773 339 240 982 118 4;
  • 58) 0,001 217 773 339 240 982 118 4 × 2 = 0 + 0,002 435 546 678 481 964 236 8;
  • 59) 0,002 435 546 678 481 964 236 8 × 2 = 0 + 0,004 871 093 356 963 928 473 6;
  • 60) 0,004 871 093 356 963 928 473 6 × 2 = 0 + 0,009 742 186 713 927 856 947 2;
  • 61) 0,009 742 186 713 927 856 947 2 × 2 = 0 + 0,019 484 373 427 855 713 894 4;
  • 62) 0,019 484 373 427 855 713 894 4 × 2 = 0 + 0,038 968 746 855 711 427 788 8;
  • 63) 0,038 968 746 855 711 427 788 8 × 2 = 0 + 0,077 937 493 711 422 855 577 6;
  • 64) 0,077 937 493 711 422 855 577 6 × 2 = 0 + 0,155 874 987 422 845 711 155 2;
  • 65) 0,155 874 987 422 845 711 155 2 × 2 = 0 + 0,311 749 974 845 691 422 310 4;
  • 66) 0,311 749 974 845 691 422 310 4 × 2 = 0 + 0,623 499 949 691 382 844 620 8;
  • 67) 0,623 499 949 691 382 844 620 8 × 2 = 1 + 0,246 999 899 382 765 689 241 6;
  • 68) 0,246 999 899 382 765 689 241 6 × 2 = 0 + 0,493 999 798 765 531 378 483 2;
  • 69) 0,493 999 798 765 531 378 483 2 × 2 = 0 + 0,987 999 597 531 062 756 966 4;
  • 70) 0,987 999 597 531 062 756 966 4 × 2 = 1 + 0,975 999 195 062 125 513 932 8;
  • 71) 0,975 999 195 062 125 513 932 8 × 2 = 1 + 0,951 998 390 124 251 027 865 6;
  • 72) 0,951 998 390 124 251 027 865 6 × 2 = 1 + 0,903 996 780 248 502 055 731 2;
  • 73) 0,903 996 780 248 502 055 731 2 × 2 = 1 + 0,807 993 560 497 004 111 462 4;
  • 74) 0,807 993 560 497 004 111 462 4 × 2 = 1 + 0,615 987 120 994 008 222 924 8;
  • 75) 0,615 987 120 994 008 222 924 8 × 2 = 1 + 0,231 974 241 988 016 445 849 6;
  • 76) 0,231 974 241 988 016 445 849 6 × 2 = 0 + 0,463 948 483 976 032 891 699 2;
  • 77) 0,463 948 483 976 032 891 699 2 × 2 = 0 + 0,927 896 967 952 065 783 398 4;
  • 78) 0,927 896 967 952 065 783 398 4 × 2 = 1 + 0,855 793 935 904 131 566 796 8;
  • 79) 0,855 793 935 904 131 566 796 8 × 2 = 1 + 0,711 587 871 808 263 133 593 6;
  • 80) 0,711 587 871 808 263 133 593 6 × 2 = 1 + 0,423 175 743 616 526 267 187 2;
  • 81) 0,423 175 743 616 526 267 187 2 × 2 = 0 + 0,846 351 487 233 052 534 374 4;
  • 82) 0,846 351 487 233 052 534 374 4 × 2 = 1 + 0,692 702 974 466 105 068 748 8;
  • 83) 0,692 702 974 466 105 068 748 8 × 2 = 1 + 0,385 405 948 932 210 137 497 6;
  • 84) 0,385 405 948 932 210 137 497 6 × 2 = 0 + 0,770 811 897 864 420 274 995 2;
  • 85) 0,770 811 897 864 420 274 995 2 × 2 = 1 + 0,541 623 795 728 840 549 990 4;
  • 86) 0,541 623 795 728 840 549 990 4 × 2 = 1 + 0,083 247 591 457 681 099 980 8;
  • 87) 0,083 247 591 457 681 099 980 8 × 2 = 0 + 0,166 495 182 915 362 199 961 6;
  • 88) 0,166 495 182 915 362 199 961 6 × 2 = 0 + 0,332 990 365 830 724 399 923 2;
  • 89) 0,332 990 365 830 724 399 923 2 × 2 = 0 + 0,665 980 731 661 448 799 846 4;
  • 90) 0,665 980 731 661 448 799 846 4 × 2 = 1 + 0,331 961 463 322 897 599 692 8;
  • 91) 0,331 961 463 322 897 599 692 8 × 2 = 0 + 0,663 922 926 645 795 199 385 6;
  • 92) 0,663 922 926 645 795 199 385 6 × 2 = 1 + 0,327 845 853 291 590 398 771 2;
  • 93) 0,327 845 853 291 590 398 771 2 × 2 = 0 + 0,655 691 706 583 180 797 542 4;
  • 94) 0,655 691 706 583 180 797 542 4 × 2 = 1 + 0,311 383 413 166 361 595 084 8;
  • 95) 0,311 383 413 166 361 595 084 8 × 2 = 0 + 0,622 766 826 332 723 190 169 6;
  • 96) 0,622 766 826 332 723 190 169 6 × 2 = 1 + 0,245 533 652 665 446 380 339 2;
  • 97) 0,245 533 652 665 446 380 339 2 × 2 = 0 + 0,491 067 305 330 892 760 678 4;
  • 98) 0,491 067 305 330 892 760 678 4 × 2 = 0 + 0,982 134 610 661 785 521 356 8;
  • 99) 0,982 134 610 661 785 521 356 8 × 2 = 1 + 0,964 269 221 323 571 042 713 6;
  • 100) 0,964 269 221 323 571 042 713 6 × 2 = 1 + 0,928 538 442 647 142 085 427 2;
  • 101) 0,928 538 442 647 142 085 427 2 × 2 = 1 + 0,857 076 885 294 284 170 854 4;
  • 102) 0,857 076 885 294 284 170 854 4 × 2 = 1 + 0,714 153 770 588 568 341 708 8;
  • 103) 0,714 153 770 588 568 341 708 8 × 2 = 1 + 0,428 307 541 177 136 683 417 6;
  • 104) 0,428 307 541 177 136 683 417 6 × 2 = 0 + 0,856 615 082 354 273 366 835 2;
  • 105) 0,856 615 082 354 273 366 835 2 × 2 = 1 + 0,713 230 164 708 546 733 670 4;
  • 106) 0,713 230 164 708 546 733 670 4 × 2 = 1 + 0,426 460 329 417 093 467 340 8;
  • 107) 0,426 460 329 417 093 467 340 8 × 2 = 0 + 0,852 920 658 834 186 934 681 6;
  • 108) 0,852 920 658 834 186 934 681 6 × 2 = 1 + 0,705 841 317 668 373 869 363 2;
  • 109) 0,705 841 317 668 373 869 363 2 × 2 = 1 + 0,411 682 635 336 747 738 726 4;
  • 110) 0,411 682 635 336 747 738 726 4 × 2 = 0 + 0,823 365 270 673 495 477 452 8;
  • 111) 0,823 365 270 673 495 477 452 8 × 2 = 1 + 0,646 730 541 346 990 954 905 6;
  • 112) 0,646 730 541 346 990 954 905 6 × 2 = 1 + 0,293 461 082 693 981 909 811 2;
  • 113) 0,293 461 082 693 981 909 811 2 × 2 = 0 + 0,586 922 165 387 963 819 622 4;
  • 114) 0,586 922 165 387 963 819 622 4 × 2 = 1 + 0,173 844 330 775 927 639 244 8;
  • 115) 0,173 844 330 775 927 639 244 8 × 2 = 0 + 0,347 688 661 551 855 278 489 6;
  • 116) 0,347 688 661 551 855 278 489 6 × 2 = 0 + 0,695 377 323 103 710 556 979 2;
  • 117) 0,695 377 323 103 710 556 979 2 × 2 = 1 + 0,390 754 646 207 421 113 958 4;
  • 118) 0,390 754 646 207 421 113 958 4 × 2 = 0 + 0,781 509 292 414 842 227 916 8;
  • 119) 0,781 509 292 414 842 227 916 8 × 2 = 1 + 0,563 018 584 829 684 455 833 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 45(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1110 0111 0110 1100 0101 0101 0011 1110 1101 1011 0100 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 45(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1110 0111 0110 1100 0101 0101 0011 1110 1101 1011 0100 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 45(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1110 0111 0110 1100 0101 0101 0011 1110 1101 1011 0100 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1110 0111 0110 1100 0101 0101 0011 1110 1101 1011 0100 101(2) × 20 =

1,0011 1111 0011 1011 0110 0010 1010 1001 1111 0110 1101 1010 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 0011 1011 0110 0010 1010 1001 1111 0110 1101 1010 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 0011 1011 0110 0010 1010 1001 1111 0110 1101 1010 0101 =

0011 1111 0011 1011 0110 0010 1010 1001 1111 0110 1101 1010 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 0011 1011 0110 0010 1010 1001 1111 0110 1101 1010 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 45 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1111 0011 1011 0110 0010 1010 1001 1111 0110 1101 1010 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 36 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100