0,000 000 000 000 000 000 008 464 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 464(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 464(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 464.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 928;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 856;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 712;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 424;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 270 848;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 270 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 541 696;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 541 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 083 392;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 083 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 166 784;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 166 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 333 568;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 333 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 667 136;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 667 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 334 272;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 334 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 668 544;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 668 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 337 088;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 337 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 674 176;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 674 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 277 348 352;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 277 348 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 554 696 704;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 554 696 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 109 393 408;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 109 393 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 218 786 816;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 218 786 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 437 573 632;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 437 573 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 875 147 264;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 875 147 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 750 294 528;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 750 294 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 500 589 056;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 500 589 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 001 178 112;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 001 178 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 002 356 224;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 002 356 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 004 712 448;
  • 26) 0,000 000 000 000 284 004 712 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 568 009 424 896;
  • 27) 0,000 000 000 000 568 009 424 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 136 018 849 792;
  • 28) 0,000 000 000 001 136 018 849 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 272 037 699 584;
  • 29) 0,000 000 000 002 272 037 699 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 544 075 399 168;
  • 30) 0,000 000 000 004 544 075 399 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 088 150 798 336;
  • 31) 0,000 000 000 009 088 150 798 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 176 301 596 672;
  • 32) 0,000 000 000 018 176 301 596 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 352 603 193 344;
  • 33) 0,000 000 000 036 352 603 193 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 705 206 386 688;
  • 34) 0,000 000 000 072 705 206 386 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 410 412 773 376;
  • 35) 0,000 000 000 145 410 412 773 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 290 820 825 546 752;
  • 36) 0,000 000 000 290 820 825 546 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 581 641 651 093 504;
  • 37) 0,000 000 000 581 641 651 093 504 × 2 = 0 + 0,000 000 001 163 283 302 187 008;
  • 38) 0,000 000 001 163 283 302 187 008 × 2 = 0 + 0,000 000 002 326 566 604 374 016;
  • 39) 0,000 000 002 326 566 604 374 016 × 2 = 0 + 0,000 000 004 653 133 208 748 032;
  • 40) 0,000 000 004 653 133 208 748 032 × 2 = 0 + 0,000 000 009 306 266 417 496 064;
  • 41) 0,000 000 009 306 266 417 496 064 × 2 = 0 + 0,000 000 018 612 532 834 992 128;
  • 42) 0,000 000 018 612 532 834 992 128 × 2 = 0 + 0,000 000 037 225 065 669 984 256;
  • 43) 0,000 000 037 225 065 669 984 256 × 2 = 0 + 0,000 000 074 450 131 339 968 512;
  • 44) 0,000 000 074 450 131 339 968 512 × 2 = 0 + 0,000 000 148 900 262 679 937 024;
  • 45) 0,000 000 148 900 262 679 937 024 × 2 = 0 + 0,000 000 297 800 525 359 874 048;
  • 46) 0,000 000 297 800 525 359 874 048 × 2 = 0 + 0,000 000 595 601 050 719 748 096;
  • 47) 0,000 000 595 601 050 719 748 096 × 2 = 0 + 0,000 001 191 202 101 439 496 192;
  • 48) 0,000 001 191 202 101 439 496 192 × 2 = 0 + 0,000 002 382 404 202 878 992 384;
  • 49) 0,000 002 382 404 202 878 992 384 × 2 = 0 + 0,000 004 764 808 405 757 984 768;
  • 50) 0,000 004 764 808 405 757 984 768 × 2 = 0 + 0,000 009 529 616 811 515 969 536;
  • 51) 0,000 009 529 616 811 515 969 536 × 2 = 0 + 0,000 019 059 233 623 031 939 072;
  • 52) 0,000 019 059 233 623 031 939 072 × 2 = 0 + 0,000 038 118 467 246 063 878 144;
  • 53) 0,000 038 118 467 246 063 878 144 × 2 = 0 + 0,000 076 236 934 492 127 756 288;
  • 54) 0,000 076 236 934 492 127 756 288 × 2 = 0 + 0,000 152 473 868 984 255 512 576;
  • 55) 0,000 152 473 868 984 255 512 576 × 2 = 0 + 0,000 304 947 737 968 511 025 152;
  • 56) 0,000 304 947 737 968 511 025 152 × 2 = 0 + 0,000 609 895 475 937 022 050 304;
  • 57) 0,000 609 895 475 937 022 050 304 × 2 = 0 + 0,001 219 790 951 874 044 100 608;
  • 58) 0,001 219 790 951 874 044 100 608 × 2 = 0 + 0,002 439 581 903 748 088 201 216;
  • 59) 0,002 439 581 903 748 088 201 216 × 2 = 0 + 0,004 879 163 807 496 176 402 432;
  • 60) 0,004 879 163 807 496 176 402 432 × 2 = 0 + 0,009 758 327 614 992 352 804 864;
  • 61) 0,009 758 327 614 992 352 804 864 × 2 = 0 + 0,019 516 655 229 984 705 609 728;
  • 62) 0,019 516 655 229 984 705 609 728 × 2 = 0 + 0,039 033 310 459 969 411 219 456;
  • 63) 0,039 033 310 459 969 411 219 456 × 2 = 0 + 0,078 066 620 919 938 822 438 912;
  • 64) 0,078 066 620 919 938 822 438 912 × 2 = 0 + 0,156 133 241 839 877 644 877 824;
  • 65) 0,156 133 241 839 877 644 877 824 × 2 = 0 + 0,312 266 483 679 755 289 755 648;
  • 66) 0,312 266 483 679 755 289 755 648 × 2 = 0 + 0,624 532 967 359 510 579 511 296;
  • 67) 0,624 532 967 359 510 579 511 296 × 2 = 1 + 0,249 065 934 719 021 159 022 592;
  • 68) 0,249 065 934 719 021 159 022 592 × 2 = 0 + 0,498 131 869 438 042 318 045 184;
  • 69) 0,498 131 869 438 042 318 045 184 × 2 = 0 + 0,996 263 738 876 084 636 090 368;
  • 70) 0,996 263 738 876 084 636 090 368 × 2 = 1 + 0,992 527 477 752 169 272 180 736;
  • 71) 0,992 527 477 752 169 272 180 736 × 2 = 1 + 0,985 054 955 504 338 544 361 472;
  • 72) 0,985 054 955 504 338 544 361 472 × 2 = 1 + 0,970 109 911 008 677 088 722 944;
  • 73) 0,970 109 911 008 677 088 722 944 × 2 = 1 + 0,940 219 822 017 354 177 445 888;
  • 74) 0,940 219 822 017 354 177 445 888 × 2 = 1 + 0,880 439 644 034 708 354 891 776;
  • 75) 0,880 439 644 034 708 354 891 776 × 2 = 1 + 0,760 879 288 069 416 709 783 552;
  • 76) 0,760 879 288 069 416 709 783 552 × 2 = 1 + 0,521 758 576 138 833 419 567 104;
  • 77) 0,521 758 576 138 833 419 567 104 × 2 = 1 + 0,043 517 152 277 666 839 134 208;
  • 78) 0,043 517 152 277 666 839 134 208 × 2 = 0 + 0,087 034 304 555 333 678 268 416;
  • 79) 0,087 034 304 555 333 678 268 416 × 2 = 0 + 0,174 068 609 110 667 356 536 832;
  • 80) 0,174 068 609 110 667 356 536 832 × 2 = 0 + 0,348 137 218 221 334 713 073 664;
  • 81) 0,348 137 218 221 334 713 073 664 × 2 = 0 + 0,696 274 436 442 669 426 147 328;
  • 82) 0,696 274 436 442 669 426 147 328 × 2 = 1 + 0,392 548 872 885 338 852 294 656;
  • 83) 0,392 548 872 885 338 852 294 656 × 2 = 0 + 0,785 097 745 770 677 704 589 312;
  • 84) 0,785 097 745 770 677 704 589 312 × 2 = 1 + 0,570 195 491 541 355 409 178 624;
  • 85) 0,570 195 491 541 355 409 178 624 × 2 = 1 + 0,140 390 983 082 710 818 357 248;
  • 86) 0,140 390 983 082 710 818 357 248 × 2 = 0 + 0,280 781 966 165 421 636 714 496;
  • 87) 0,280 781 966 165 421 636 714 496 × 2 = 0 + 0,561 563 932 330 843 273 428 992;
  • 88) 0,561 563 932 330 843 273 428 992 × 2 = 1 + 0,123 127 864 661 686 546 857 984;
  • 89) 0,123 127 864 661 686 546 857 984 × 2 = 0 + 0,246 255 729 323 373 093 715 968;
  • 90) 0,246 255 729 323 373 093 715 968 × 2 = 0 + 0,492 511 458 646 746 187 431 936;
  • 91) 0,492 511 458 646 746 187 431 936 × 2 = 0 + 0,985 022 917 293 492 374 863 872;
  • 92) 0,985 022 917 293 492 374 863 872 × 2 = 1 + 0,970 045 834 586 984 749 727 744;
  • 93) 0,970 045 834 586 984 749 727 744 × 2 = 1 + 0,940 091 669 173 969 499 455 488;
  • 94) 0,940 091 669 173 969 499 455 488 × 2 = 1 + 0,880 183 338 347 938 998 910 976;
  • 95) 0,880 183 338 347 938 998 910 976 × 2 = 1 + 0,760 366 676 695 877 997 821 952;
  • 96) 0,760 366 676 695 877 997 821 952 × 2 = 1 + 0,520 733 353 391 755 995 643 904;
  • 97) 0,520 733 353 391 755 995 643 904 × 2 = 1 + 0,041 466 706 783 511 991 287 808;
  • 98) 0,041 466 706 783 511 991 287 808 × 2 = 0 + 0,082 933 413 567 023 982 575 616;
  • 99) 0,082 933 413 567 023 982 575 616 × 2 = 0 + 0,165 866 827 134 047 965 151 232;
  • 100) 0,165 866 827 134 047 965 151 232 × 2 = 0 + 0,331 733 654 268 095 930 302 464;
  • 101) 0,331 733 654 268 095 930 302 464 × 2 = 0 + 0,663 467 308 536 191 860 604 928;
  • 102) 0,663 467 308 536 191 860 604 928 × 2 = 1 + 0,326 934 617 072 383 721 209 856;
  • 103) 0,326 934 617 072 383 721 209 856 × 2 = 0 + 0,653 869 234 144 767 442 419 712;
  • 104) 0,653 869 234 144 767 442 419 712 × 2 = 1 + 0,307 738 468 289 534 884 839 424;
  • 105) 0,307 738 468 289 534 884 839 424 × 2 = 0 + 0,615 476 936 579 069 769 678 848;
  • 106) 0,615 476 936 579 069 769 678 848 × 2 = 1 + 0,230 953 873 158 139 539 357 696;
  • 107) 0,230 953 873 158 139 539 357 696 × 2 = 0 + 0,461 907 746 316 279 078 715 392;
  • 108) 0,461 907 746 316 279 078 715 392 × 2 = 0 + 0,923 815 492 632 558 157 430 784;
  • 109) 0,923 815 492 632 558 157 430 784 × 2 = 1 + 0,847 630 985 265 116 314 861 568;
  • 110) 0,847 630 985 265 116 314 861 568 × 2 = 1 + 0,695 261 970 530 232 629 723 136;
  • 111) 0,695 261 970 530 232 629 723 136 × 2 = 1 + 0,390 523 941 060 465 259 446 272;
  • 112) 0,390 523 941 060 465 259 446 272 × 2 = 0 + 0,781 047 882 120 930 518 892 544;
  • 113) 0,781 047 882 120 930 518 892 544 × 2 = 1 + 0,562 095 764 241 861 037 785 088;
  • 114) 0,562 095 764 241 861 037 785 088 × 2 = 1 + 0,124 191 528 483 722 075 570 176;
  • 115) 0,124 191 528 483 722 075 570 176 × 2 = 0 + 0,248 383 056 967 444 151 140 352;
  • 116) 0,248 383 056 967 444 151 140 352 × 2 = 0 + 0,496 766 113 934 888 302 280 704;
  • 117) 0,496 766 113 934 888 302 280 704 × 2 = 0 + 0,993 532 227 869 776 604 561 408;
  • 118) 0,993 532 227 869 776 604 561 408 × 2 = 1 + 0,987 064 455 739 553 209 122 816;
  • 119) 0,987 064 455 739 553 209 122 816 × 2 = 1 + 0,974 128 911 479 106 418 245 632;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 464(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1000 0101 1001 0001 1111 1000 0101 0100 1110 1100 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 464(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1000 0101 1001 0001 1111 1000 0101 0100 1110 1100 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 464(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1000 0101 1001 0001 1111 1000 0101 0100 1110 1100 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1000 0101 1001 0001 1111 1000 0101 0100 1110 1100 011(2) × 20 =

1,0011 1111 1100 0010 1100 1000 1111 1100 0010 1010 0111 0110 0011(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1100 0010 1100 1000 1111 1100 0010 1010 0111 0110 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1100 0010 1100 1000 1111 1100 0010 1010 0111 0110 0011 =

0011 1111 1100 0010 1100 1000 1111 1100 0010 1010 0111 0110 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1100 0010 1100 1000 1111 1100 0010 1010 0111 0110 0011


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 464 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1111 1100 0010 1100 1000 1111 1100 0010 1010 0111 0110 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 522 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100