0,000 000 000 000 000 000 008 47 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 47(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 47(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 47.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 47 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 94;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 94 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 88;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 76;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 52;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 271 04;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 271 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 542 08;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 542 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 084 16;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 084 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 168 32;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 168 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 336 64;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 336 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 673 28;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 673 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 346 56;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 346 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 693 12;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 693 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 386 24;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 386 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 772 48;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 772 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 277 544 96;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 277 544 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 555 089 92;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 555 089 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 110 179 84;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 110 179 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 220 359 68;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 220 359 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 440 719 36;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 440 719 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 881 438 72;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 881 438 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 762 877 44;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 762 877 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 525 754 88;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 525 754 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 051 509 76;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 051 509 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 103 019 52;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 103 019 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 206 039 04;
  • 26) 0,000 000 000 000 284 206 039 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 568 412 078 08;
  • 27) 0,000 000 000 000 568 412 078 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 136 824 156 16;
  • 28) 0,000 000 000 001 136 824 156 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 273 648 312 32;
  • 29) 0,000 000 000 002 273 648 312 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 547 296 624 64;
  • 30) 0,000 000 000 004 547 296 624 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 094 593 249 28;
  • 31) 0,000 000 000 009 094 593 249 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 189 186 498 56;
  • 32) 0,000 000 000 018 189 186 498 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 378 372 997 12;
  • 33) 0,000 000 000 036 378 372 997 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 756 745 994 24;
  • 34) 0,000 000 000 072 756 745 994 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 513 491 988 48;
  • 35) 0,000 000 000 145 513 491 988 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 291 026 983 976 96;
  • 36) 0,000 000 000 291 026 983 976 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 582 053 967 953 92;
  • 37) 0,000 000 000 582 053 967 953 92 × 2 = 0 + 0,000 000 001 164 107 935 907 84;
  • 38) 0,000 000 001 164 107 935 907 84 × 2 = 0 + 0,000 000 002 328 215 871 815 68;
  • 39) 0,000 000 002 328 215 871 815 68 × 2 = 0 + 0,000 000 004 656 431 743 631 36;
  • 40) 0,000 000 004 656 431 743 631 36 × 2 = 0 + 0,000 000 009 312 863 487 262 72;
  • 41) 0,000 000 009 312 863 487 262 72 × 2 = 0 + 0,000 000 018 625 726 974 525 44;
  • 42) 0,000 000 018 625 726 974 525 44 × 2 = 0 + 0,000 000 037 251 453 949 050 88;
  • 43) 0,000 000 037 251 453 949 050 88 × 2 = 0 + 0,000 000 074 502 907 898 101 76;
  • 44) 0,000 000 074 502 907 898 101 76 × 2 = 0 + 0,000 000 149 005 815 796 203 52;
  • 45) 0,000 000 149 005 815 796 203 52 × 2 = 0 + 0,000 000 298 011 631 592 407 04;
  • 46) 0,000 000 298 011 631 592 407 04 × 2 = 0 + 0,000 000 596 023 263 184 814 08;
  • 47) 0,000 000 596 023 263 184 814 08 × 2 = 0 + 0,000 001 192 046 526 369 628 16;
  • 48) 0,000 001 192 046 526 369 628 16 × 2 = 0 + 0,000 002 384 093 052 739 256 32;
  • 49) 0,000 002 384 093 052 739 256 32 × 2 = 0 + 0,000 004 768 186 105 478 512 64;
  • 50) 0,000 004 768 186 105 478 512 64 × 2 = 0 + 0,000 009 536 372 210 957 025 28;
  • 51) 0,000 009 536 372 210 957 025 28 × 2 = 0 + 0,000 019 072 744 421 914 050 56;
  • 52) 0,000 019 072 744 421 914 050 56 × 2 = 0 + 0,000 038 145 488 843 828 101 12;
  • 53) 0,000 038 145 488 843 828 101 12 × 2 = 0 + 0,000 076 290 977 687 656 202 24;
  • 54) 0,000 076 290 977 687 656 202 24 × 2 = 0 + 0,000 152 581 955 375 312 404 48;
  • 55) 0,000 152 581 955 375 312 404 48 × 2 = 0 + 0,000 305 163 910 750 624 808 96;
  • 56) 0,000 305 163 910 750 624 808 96 × 2 = 0 + 0,000 610 327 821 501 249 617 92;
  • 57) 0,000 610 327 821 501 249 617 92 × 2 = 0 + 0,001 220 655 643 002 499 235 84;
  • 58) 0,001 220 655 643 002 499 235 84 × 2 = 0 + 0,002 441 311 286 004 998 471 68;
  • 59) 0,002 441 311 286 004 998 471 68 × 2 = 0 + 0,004 882 622 572 009 996 943 36;
  • 60) 0,004 882 622 572 009 996 943 36 × 2 = 0 + 0,009 765 245 144 019 993 886 72;
  • 61) 0,009 765 245 144 019 993 886 72 × 2 = 0 + 0,019 530 490 288 039 987 773 44;
  • 62) 0,019 530 490 288 039 987 773 44 × 2 = 0 + 0,039 060 980 576 079 975 546 88;
  • 63) 0,039 060 980 576 079 975 546 88 × 2 = 0 + 0,078 121 961 152 159 951 093 76;
  • 64) 0,078 121 961 152 159 951 093 76 × 2 = 0 + 0,156 243 922 304 319 902 187 52;
  • 65) 0,156 243 922 304 319 902 187 52 × 2 = 0 + 0,312 487 844 608 639 804 375 04;
  • 66) 0,312 487 844 608 639 804 375 04 × 2 = 0 + 0,624 975 689 217 279 608 750 08;
  • 67) 0,624 975 689 217 279 608 750 08 × 2 = 1 + 0,249 951 378 434 559 217 500 16;
  • 68) 0,249 951 378 434 559 217 500 16 × 2 = 0 + 0,499 902 756 869 118 435 000 32;
  • 69) 0,499 902 756 869 118 435 000 32 × 2 = 0 + 0,999 805 513 738 236 870 000 64;
  • 70) 0,999 805 513 738 236 870 000 64 × 2 = 1 + 0,999 611 027 476 473 740 001 28;
  • 71) 0,999 611 027 476 473 740 001 28 × 2 = 1 + 0,999 222 054 952 947 480 002 56;
  • 72) 0,999 222 054 952 947 480 002 56 × 2 = 1 + 0,998 444 109 905 894 960 005 12;
  • 73) 0,998 444 109 905 894 960 005 12 × 2 = 1 + 0,996 888 219 811 789 920 010 24;
  • 74) 0,996 888 219 811 789 920 010 24 × 2 = 1 + 0,993 776 439 623 579 840 020 48;
  • 75) 0,993 776 439 623 579 840 020 48 × 2 = 1 + 0,987 552 879 247 159 680 040 96;
  • 76) 0,987 552 879 247 159 680 040 96 × 2 = 1 + 0,975 105 758 494 319 360 081 92;
  • 77) 0,975 105 758 494 319 360 081 92 × 2 = 1 + 0,950 211 516 988 638 720 163 84;
  • 78) 0,950 211 516 988 638 720 163 84 × 2 = 1 + 0,900 423 033 977 277 440 327 68;
  • 79) 0,900 423 033 977 277 440 327 68 × 2 = 1 + 0,800 846 067 954 554 880 655 36;
  • 80) 0,800 846 067 954 554 880 655 36 × 2 = 1 + 0,601 692 135 909 109 761 310 72;
  • 81) 0,601 692 135 909 109 761 310 72 × 2 = 1 + 0,203 384 271 818 219 522 621 44;
  • 82) 0,203 384 271 818 219 522 621 44 × 2 = 0 + 0,406 768 543 636 439 045 242 88;
  • 83) 0,406 768 543 636 439 045 242 88 × 2 = 0 + 0,813 537 087 272 878 090 485 76;
  • 84) 0,813 537 087 272 878 090 485 76 × 2 = 1 + 0,627 074 174 545 756 180 971 52;
  • 85) 0,627 074 174 545 756 180 971 52 × 2 = 1 + 0,254 148 349 091 512 361 943 04;
  • 86) 0,254 148 349 091 512 361 943 04 × 2 = 0 + 0,508 296 698 183 024 723 886 08;
  • 87) 0,508 296 698 183 024 723 886 08 × 2 = 1 + 0,016 593 396 366 049 447 772 16;
  • 88) 0,016 593 396 366 049 447 772 16 × 2 = 0 + 0,033 186 792 732 098 895 544 32;
  • 89) 0,033 186 792 732 098 895 544 32 × 2 = 0 + 0,066 373 585 464 197 791 088 64;
  • 90) 0,066 373 585 464 197 791 088 64 × 2 = 0 + 0,132 747 170 928 395 582 177 28;
  • 91) 0,132 747 170 928 395 582 177 28 × 2 = 0 + 0,265 494 341 856 791 164 354 56;
  • 92) 0,265 494 341 856 791 164 354 56 × 2 = 0 + 0,530 988 683 713 582 328 709 12;
  • 93) 0,530 988 683 713 582 328 709 12 × 2 = 1 + 0,061 977 367 427 164 657 418 24;
  • 94) 0,061 977 367 427 164 657 418 24 × 2 = 0 + 0,123 954 734 854 329 314 836 48;
  • 95) 0,123 954 734 854 329 314 836 48 × 2 = 0 + 0,247 909 469 708 658 629 672 96;
  • 96) 0,247 909 469 708 658 629 672 96 × 2 = 0 + 0,495 818 939 417 317 259 345 92;
  • 97) 0,495 818 939 417 317 259 345 92 × 2 = 0 + 0,991 637 878 834 634 518 691 84;
  • 98) 0,991 637 878 834 634 518 691 84 × 2 = 1 + 0,983 275 757 669 269 037 383 68;
  • 99) 0,983 275 757 669 269 037 383 68 × 2 = 1 + 0,966 551 515 338 538 074 767 36;
  • 100) 0,966 551 515 338 538 074 767 36 × 2 = 1 + 0,933 103 030 677 076 149 534 72;
  • 101) 0,933 103 030 677 076 149 534 72 × 2 = 1 + 0,866 206 061 354 152 299 069 44;
  • 102) 0,866 206 061 354 152 299 069 44 × 2 = 1 + 0,732 412 122 708 304 598 138 88;
  • 103) 0,732 412 122 708 304 598 138 88 × 2 = 1 + 0,464 824 245 416 609 196 277 76;
  • 104) 0,464 824 245 416 609 196 277 76 × 2 = 0 + 0,929 648 490 833 218 392 555 52;
  • 105) 0,929 648 490 833 218 392 555 52 × 2 = 1 + 0,859 296 981 666 436 785 111 04;
  • 106) 0,859 296 981 666 436 785 111 04 × 2 = 1 + 0,718 593 963 332 873 570 222 08;
  • 107) 0,718 593 963 332 873 570 222 08 × 2 = 1 + 0,437 187 926 665 747 140 444 16;
  • 108) 0,437 187 926 665 747 140 444 16 × 2 = 0 + 0,874 375 853 331 494 280 888 32;
  • 109) 0,874 375 853 331 494 280 888 32 × 2 = 1 + 0,748 751 706 662 988 561 776 64;
  • 110) 0,748 751 706 662 988 561 776 64 × 2 = 1 + 0,497 503 413 325 977 123 553 28;
  • 111) 0,497 503 413 325 977 123 553 28 × 2 = 0 + 0,995 006 826 651 954 247 106 56;
  • 112) 0,995 006 826 651 954 247 106 56 × 2 = 1 + 0,990 013 653 303 908 494 213 12;
  • 113) 0,990 013 653 303 908 494 213 12 × 2 = 1 + 0,980 027 306 607 816 988 426 24;
  • 114) 0,980 027 306 607 816 988 426 24 × 2 = 1 + 0,960 054 613 215 633 976 852 48;
  • 115) 0,960 054 613 215 633 976 852 48 × 2 = 1 + 0,920 109 226 431 267 953 704 96;
  • 116) 0,920 109 226 431 267 953 704 96 × 2 = 1 + 0,840 218 452 862 535 907 409 92;
  • 117) 0,840 218 452 862 535 907 409 92 × 2 = 1 + 0,680 436 905 725 071 814 819 84;
  • 118) 0,680 436 905 725 071 814 819 84 × 2 = 1 + 0,360 873 811 450 143 629 639 68;
  • 119) 0,360 873 811 450 143 629 639 68 × 2 = 0 + 0,721 747 622 900 287 259 279 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 47(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1001 1010 0000 1000 0111 1110 1110 1101 1111 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 47(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1001 1010 0000 1000 0111 1110 1110 1101 1111 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 47(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1001 1010 0000 1000 0111 1110 1110 1101 1111 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1001 1010 0000 1000 0111 1110 1110 1101 1111 110(2) × 20 =

1,0011 1111 1111 1100 1101 0000 0100 0011 1111 0111 0110 1111 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1111 1100 1101 0000 0100 0011 1111 0111 0110 1111 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1111 1100 1101 0000 0100 0011 1111 0111 0110 1111 1110 =

0011 1111 1111 1100 1101 0000 0100 0011 1111 0111 0110 1111 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1111 1100 1101 0000 0100 0011 1111 0111 0110 1111 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 47 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1111 1111 1100 1101 0000 0100 0011 1111 0111 0110 1111 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 007 95 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100