0,000 000 000 000 000 000 008 485 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 485(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 485(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 485.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 485 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 97;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 97 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 94;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 94 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 88;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 76;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 271 52;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 271 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 543 04;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 543 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 086 08;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 086 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 172 16;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 172 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 344 32;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 344 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 688 64;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 688 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 377 28;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 377 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 754 56;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 754 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 509 12;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 509 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 018 24;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 018 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 278 036 48;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 278 036 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 556 072 96;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 556 072 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 112 145 92;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 112 145 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 224 291 84;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 224 291 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 448 583 68;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 448 583 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 897 167 36;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 897 167 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 794 334 72;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 794 334 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 588 669 44;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 588 669 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 177 338 88;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 177 338 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 354 677 76;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 354 677 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 709 355 52;
  • 26) 0,000 000 000 000 284 709 355 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 569 418 711 04;
  • 27) 0,000 000 000 000 569 418 711 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 138 837 422 08;
  • 28) 0,000 000 000 001 138 837 422 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 277 674 844 16;
  • 29) 0,000 000 000 002 277 674 844 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 555 349 688 32;
  • 30) 0,000 000 000 004 555 349 688 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 110 699 376 64;
  • 31) 0,000 000 000 009 110 699 376 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 221 398 753 28;
  • 32) 0,000 000 000 018 221 398 753 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 442 797 506 56;
  • 33) 0,000 000 000 036 442 797 506 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 885 595 013 12;
  • 34) 0,000 000 000 072 885 595 013 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 771 190 026 24;
  • 35) 0,000 000 000 145 771 190 026 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 291 542 380 052 48;
  • 36) 0,000 000 000 291 542 380 052 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 583 084 760 104 96;
  • 37) 0,000 000 000 583 084 760 104 96 × 2 = 0 + 0,000 000 001 166 169 520 209 92;
  • 38) 0,000 000 001 166 169 520 209 92 × 2 = 0 + 0,000 000 002 332 339 040 419 84;
  • 39) 0,000 000 002 332 339 040 419 84 × 2 = 0 + 0,000 000 004 664 678 080 839 68;
  • 40) 0,000 000 004 664 678 080 839 68 × 2 = 0 + 0,000 000 009 329 356 161 679 36;
  • 41) 0,000 000 009 329 356 161 679 36 × 2 = 0 + 0,000 000 018 658 712 323 358 72;
  • 42) 0,000 000 018 658 712 323 358 72 × 2 = 0 + 0,000 000 037 317 424 646 717 44;
  • 43) 0,000 000 037 317 424 646 717 44 × 2 = 0 + 0,000 000 074 634 849 293 434 88;
  • 44) 0,000 000 074 634 849 293 434 88 × 2 = 0 + 0,000 000 149 269 698 586 869 76;
  • 45) 0,000 000 149 269 698 586 869 76 × 2 = 0 + 0,000 000 298 539 397 173 739 52;
  • 46) 0,000 000 298 539 397 173 739 52 × 2 = 0 + 0,000 000 597 078 794 347 479 04;
  • 47) 0,000 000 597 078 794 347 479 04 × 2 = 0 + 0,000 001 194 157 588 694 958 08;
  • 48) 0,000 001 194 157 588 694 958 08 × 2 = 0 + 0,000 002 388 315 177 389 916 16;
  • 49) 0,000 002 388 315 177 389 916 16 × 2 = 0 + 0,000 004 776 630 354 779 832 32;
  • 50) 0,000 004 776 630 354 779 832 32 × 2 = 0 + 0,000 009 553 260 709 559 664 64;
  • 51) 0,000 009 553 260 709 559 664 64 × 2 = 0 + 0,000 019 106 521 419 119 329 28;
  • 52) 0,000 019 106 521 419 119 329 28 × 2 = 0 + 0,000 038 213 042 838 238 658 56;
  • 53) 0,000 038 213 042 838 238 658 56 × 2 = 0 + 0,000 076 426 085 676 477 317 12;
  • 54) 0,000 076 426 085 676 477 317 12 × 2 = 0 + 0,000 152 852 171 352 954 634 24;
  • 55) 0,000 152 852 171 352 954 634 24 × 2 = 0 + 0,000 305 704 342 705 909 268 48;
  • 56) 0,000 305 704 342 705 909 268 48 × 2 = 0 + 0,000 611 408 685 411 818 536 96;
  • 57) 0,000 611 408 685 411 818 536 96 × 2 = 0 + 0,001 222 817 370 823 637 073 92;
  • 58) 0,001 222 817 370 823 637 073 92 × 2 = 0 + 0,002 445 634 741 647 274 147 84;
  • 59) 0,002 445 634 741 647 274 147 84 × 2 = 0 + 0,004 891 269 483 294 548 295 68;
  • 60) 0,004 891 269 483 294 548 295 68 × 2 = 0 + 0,009 782 538 966 589 096 591 36;
  • 61) 0,009 782 538 966 589 096 591 36 × 2 = 0 + 0,019 565 077 933 178 193 182 72;
  • 62) 0,019 565 077 933 178 193 182 72 × 2 = 0 + 0,039 130 155 866 356 386 365 44;
  • 63) 0,039 130 155 866 356 386 365 44 × 2 = 0 + 0,078 260 311 732 712 772 730 88;
  • 64) 0,078 260 311 732 712 772 730 88 × 2 = 0 + 0,156 520 623 465 425 545 461 76;
  • 65) 0,156 520 623 465 425 545 461 76 × 2 = 0 + 0,313 041 246 930 851 090 923 52;
  • 66) 0,313 041 246 930 851 090 923 52 × 2 = 0 + 0,626 082 493 861 702 181 847 04;
  • 67) 0,626 082 493 861 702 181 847 04 × 2 = 1 + 0,252 164 987 723 404 363 694 08;
  • 68) 0,252 164 987 723 404 363 694 08 × 2 = 0 + 0,504 329 975 446 808 727 388 16;
  • 69) 0,504 329 975 446 808 727 388 16 × 2 = 1 + 0,008 659 950 893 617 454 776 32;
  • 70) 0,008 659 950 893 617 454 776 32 × 2 = 0 + 0,017 319 901 787 234 909 552 64;
  • 71) 0,017 319 901 787 234 909 552 64 × 2 = 0 + 0,034 639 803 574 469 819 105 28;
  • 72) 0,034 639 803 574 469 819 105 28 × 2 = 0 + 0,069 279 607 148 939 638 210 56;
  • 73) 0,069 279 607 148 939 638 210 56 × 2 = 0 + 0,138 559 214 297 879 276 421 12;
  • 74) 0,138 559 214 297 879 276 421 12 × 2 = 0 + 0,277 118 428 595 758 552 842 24;
  • 75) 0,277 118 428 595 758 552 842 24 × 2 = 0 + 0,554 236 857 191 517 105 684 48;
  • 76) 0,554 236 857 191 517 105 684 48 × 2 = 1 + 0,108 473 714 383 034 211 368 96;
  • 77) 0,108 473 714 383 034 211 368 96 × 2 = 0 + 0,216 947 428 766 068 422 737 92;
  • 78) 0,216 947 428 766 068 422 737 92 × 2 = 0 + 0,433 894 857 532 136 845 475 84;
  • 79) 0,433 894 857 532 136 845 475 84 × 2 = 0 + 0,867 789 715 064 273 690 951 68;
  • 80) 0,867 789 715 064 273 690 951 68 × 2 = 1 + 0,735 579 430 128 547 381 903 36;
  • 81) 0,735 579 430 128 547 381 903 36 × 2 = 1 + 0,471 158 860 257 094 763 806 72;
  • 82) 0,471 158 860 257 094 763 806 72 × 2 = 0 + 0,942 317 720 514 189 527 613 44;
  • 83) 0,942 317 720 514 189 527 613 44 × 2 = 1 + 0,884 635 441 028 379 055 226 88;
  • 84) 0,884 635 441 028 379 055 226 88 × 2 = 1 + 0,769 270 882 056 758 110 453 76;
  • 85) 0,769 270 882 056 758 110 453 76 × 2 = 1 + 0,538 541 764 113 516 220 907 52;
  • 86) 0,538 541 764 113 516 220 907 52 × 2 = 1 + 0,077 083 528 227 032 441 815 04;
  • 87) 0,077 083 528 227 032 441 815 04 × 2 = 0 + 0,154 167 056 454 064 883 630 08;
  • 88) 0,154 167 056 454 064 883 630 08 × 2 = 0 + 0,308 334 112 908 129 767 260 16;
  • 89) 0,308 334 112 908 129 767 260 16 × 2 = 0 + 0,616 668 225 816 259 534 520 32;
  • 90) 0,616 668 225 816 259 534 520 32 × 2 = 1 + 0,233 336 451 632 519 069 040 64;
  • 91) 0,233 336 451 632 519 069 040 64 × 2 = 0 + 0,466 672 903 265 038 138 081 28;
  • 92) 0,466 672 903 265 038 138 081 28 × 2 = 0 + 0,933 345 806 530 076 276 162 56;
  • 93) 0,933 345 806 530 076 276 162 56 × 2 = 1 + 0,866 691 613 060 152 552 325 12;
  • 94) 0,866 691 613 060 152 552 325 12 × 2 = 1 + 0,733 383 226 120 305 104 650 24;
  • 95) 0,733 383 226 120 305 104 650 24 × 2 = 1 + 0,466 766 452 240 610 209 300 48;
  • 96) 0,466 766 452 240 610 209 300 48 × 2 = 0 + 0,933 532 904 481 220 418 600 96;
  • 97) 0,933 532 904 481 220 418 600 96 × 2 = 1 + 0,867 065 808 962 440 837 201 92;
  • 98) 0,867 065 808 962 440 837 201 92 × 2 = 1 + 0,734 131 617 924 881 674 403 84;
  • 99) 0,734 131 617 924 881 674 403 84 × 2 = 1 + 0,468 263 235 849 763 348 807 68;
  • 100) 0,468 263 235 849 763 348 807 68 × 2 = 0 + 0,936 526 471 699 526 697 615 36;
  • 101) 0,936 526 471 699 526 697 615 36 × 2 = 1 + 0,873 052 943 399 053 395 230 72;
  • 102) 0,873 052 943 399 053 395 230 72 × 2 = 1 + 0,746 105 886 798 106 790 461 44;
  • 103) 0,746 105 886 798 106 790 461 44 × 2 = 1 + 0,492 211 773 596 213 580 922 88;
  • 104) 0,492 211 773 596 213 580 922 88 × 2 = 0 + 0,984 423 547 192 427 161 845 76;
  • 105) 0,984 423 547 192 427 161 845 76 × 2 = 1 + 0,968 847 094 384 854 323 691 52;
  • 106) 0,968 847 094 384 854 323 691 52 × 2 = 1 + 0,937 694 188 769 708 647 383 04;
  • 107) 0,937 694 188 769 708 647 383 04 × 2 = 1 + 0,875 388 377 539 417 294 766 08;
  • 108) 0,875 388 377 539 417 294 766 08 × 2 = 1 + 0,750 776 755 078 834 589 532 16;
  • 109) 0,750 776 755 078 834 589 532 16 × 2 = 1 + 0,501 553 510 157 669 179 064 32;
  • 110) 0,501 553 510 157 669 179 064 32 × 2 = 1 + 0,003 107 020 315 338 358 128 64;
  • 111) 0,003 107 020 315 338 358 128 64 × 2 = 0 + 0,006 214 040 630 676 716 257 28;
  • 112) 0,006 214 040 630 676 716 257 28 × 2 = 0 + 0,012 428 081 261 353 432 514 56;
  • 113) 0,012 428 081 261 353 432 514 56 × 2 = 0 + 0,024 856 162 522 706 865 029 12;
  • 114) 0,024 856 162 522 706 865 029 12 × 2 = 0 + 0,049 712 325 045 413 730 058 24;
  • 115) 0,049 712 325 045 413 730 058 24 × 2 = 0 + 0,099 424 650 090 827 460 116 48;
  • 116) 0,099 424 650 090 827 460 116 48 × 2 = 0 + 0,198 849 300 181 654 920 232 96;
  • 117) 0,198 849 300 181 654 920 232 96 × 2 = 0 + 0,397 698 600 363 309 840 465 92;
  • 118) 0,397 698 600 363 309 840 465 92 × 2 = 0 + 0,795 397 200 726 619 680 931 84;
  • 119) 0,795 397 200 726 619 680 931 84 × 2 = 1 + 0,590 794 401 453 239 361 863 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 485(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0001 1011 1100 0100 1110 1110 1110 1111 1100 0000 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 485(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0001 1011 1100 0100 1110 1110 1110 1111 1100 0000 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 485(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0001 1011 1100 0100 1110 1110 1110 1111 1100 0000 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0001 1011 1100 0100 1110 1110 1110 1111 1100 0000 001(2) × 20 =

1,0100 0000 1000 1101 1110 0010 0111 0111 0111 0111 1110 0000 0001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 1000 1101 1110 0010 0111 0111 0111 0111 1110 0000 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 1000 1101 1110 0010 0111 0111 0111 0111 1110 0000 0001 =

0100 0000 1000 1101 1110 0010 0111 0111 0111 0111 1110 0000 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 1000 1101 1110 0010 0111 0111 0111 0111 1110 0000 0001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 485 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0000 1000 1101 1110 0010 0111 0111 0111 0111 1110 0000 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 576 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100