0,000 000 000 000 000 000 008 505 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 505(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 505(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 505.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 505 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 01;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 01 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 02;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 02 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 04;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 08;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 16;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 544 32;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 544 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 088 64;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 088 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 177 28;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 177 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 354 56;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 354 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 709 12;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 709 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 418 24;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 418 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 836 48;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 836 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 672 96;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 672 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 345 92;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 345 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 278 691 84;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 278 691 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 557 383 68;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 557 383 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 114 767 36;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 114 767 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 229 534 72;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 229 534 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 459 069 44;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 459 069 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 918 138 88;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 918 138 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 836 277 76;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 836 277 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 672 555 52;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 672 555 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 345 111 04;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 345 111 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 690 222 08;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 690 222 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 285 380 444 16;
  • 26) 0,000 000 000 000 285 380 444 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 570 760 888 32;
  • 27) 0,000 000 000 000 570 760 888 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 141 521 776 64;
  • 28) 0,000 000 000 001 141 521 776 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 283 043 553 28;
  • 29) 0,000 000 000 002 283 043 553 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 566 087 106 56;
  • 30) 0,000 000 000 004 566 087 106 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 132 174 213 12;
  • 31) 0,000 000 000 009 132 174 213 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 264 348 426 24;
  • 32) 0,000 000 000 018 264 348 426 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 528 696 852 48;
  • 33) 0,000 000 000 036 528 696 852 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 057 393 704 96;
  • 34) 0,000 000 000 073 057 393 704 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 114 787 409 92;
  • 35) 0,000 000 000 146 114 787 409 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 229 574 819 84;
  • 36) 0,000 000 000 292 229 574 819 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 584 459 149 639 68;
  • 37) 0,000 000 000 584 459 149 639 68 × 2 = 0 + 0,000 000 001 168 918 299 279 36;
  • 38) 0,000 000 001 168 918 299 279 36 × 2 = 0 + 0,000 000 002 337 836 598 558 72;
  • 39) 0,000 000 002 337 836 598 558 72 × 2 = 0 + 0,000 000 004 675 673 197 117 44;
  • 40) 0,000 000 004 675 673 197 117 44 × 2 = 0 + 0,000 000 009 351 346 394 234 88;
  • 41) 0,000 000 009 351 346 394 234 88 × 2 = 0 + 0,000 000 018 702 692 788 469 76;
  • 42) 0,000 000 018 702 692 788 469 76 × 2 = 0 + 0,000 000 037 405 385 576 939 52;
  • 43) 0,000 000 037 405 385 576 939 52 × 2 = 0 + 0,000 000 074 810 771 153 879 04;
  • 44) 0,000 000 074 810 771 153 879 04 × 2 = 0 + 0,000 000 149 621 542 307 758 08;
  • 45) 0,000 000 149 621 542 307 758 08 × 2 = 0 + 0,000 000 299 243 084 615 516 16;
  • 46) 0,000 000 299 243 084 615 516 16 × 2 = 0 + 0,000 000 598 486 169 231 032 32;
  • 47) 0,000 000 598 486 169 231 032 32 × 2 = 0 + 0,000 001 196 972 338 462 064 64;
  • 48) 0,000 001 196 972 338 462 064 64 × 2 = 0 + 0,000 002 393 944 676 924 129 28;
  • 49) 0,000 002 393 944 676 924 129 28 × 2 = 0 + 0,000 004 787 889 353 848 258 56;
  • 50) 0,000 004 787 889 353 848 258 56 × 2 = 0 + 0,000 009 575 778 707 696 517 12;
  • 51) 0,000 009 575 778 707 696 517 12 × 2 = 0 + 0,000 019 151 557 415 393 034 24;
  • 52) 0,000 019 151 557 415 393 034 24 × 2 = 0 + 0,000 038 303 114 830 786 068 48;
  • 53) 0,000 038 303 114 830 786 068 48 × 2 = 0 + 0,000 076 606 229 661 572 136 96;
  • 54) 0,000 076 606 229 661 572 136 96 × 2 = 0 + 0,000 153 212 459 323 144 273 92;
  • 55) 0,000 153 212 459 323 144 273 92 × 2 = 0 + 0,000 306 424 918 646 288 547 84;
  • 56) 0,000 306 424 918 646 288 547 84 × 2 = 0 + 0,000 612 849 837 292 577 095 68;
  • 57) 0,000 612 849 837 292 577 095 68 × 2 = 0 + 0,001 225 699 674 585 154 191 36;
  • 58) 0,001 225 699 674 585 154 191 36 × 2 = 0 + 0,002 451 399 349 170 308 382 72;
  • 59) 0,002 451 399 349 170 308 382 72 × 2 = 0 + 0,004 902 798 698 340 616 765 44;
  • 60) 0,004 902 798 698 340 616 765 44 × 2 = 0 + 0,009 805 597 396 681 233 530 88;
  • 61) 0,009 805 597 396 681 233 530 88 × 2 = 0 + 0,019 611 194 793 362 467 061 76;
  • 62) 0,019 611 194 793 362 467 061 76 × 2 = 0 + 0,039 222 389 586 724 934 123 52;
  • 63) 0,039 222 389 586 724 934 123 52 × 2 = 0 + 0,078 444 779 173 449 868 247 04;
  • 64) 0,078 444 779 173 449 868 247 04 × 2 = 0 + 0,156 889 558 346 899 736 494 08;
  • 65) 0,156 889 558 346 899 736 494 08 × 2 = 0 + 0,313 779 116 693 799 472 988 16;
  • 66) 0,313 779 116 693 799 472 988 16 × 2 = 0 + 0,627 558 233 387 598 945 976 32;
  • 67) 0,627 558 233 387 598 945 976 32 × 2 = 1 + 0,255 116 466 775 197 891 952 64;
  • 68) 0,255 116 466 775 197 891 952 64 × 2 = 0 + 0,510 232 933 550 395 783 905 28;
  • 69) 0,510 232 933 550 395 783 905 28 × 2 = 1 + 0,020 465 867 100 791 567 810 56;
  • 70) 0,020 465 867 100 791 567 810 56 × 2 = 0 + 0,040 931 734 201 583 135 621 12;
  • 71) 0,040 931 734 201 583 135 621 12 × 2 = 0 + 0,081 863 468 403 166 271 242 24;
  • 72) 0,081 863 468 403 166 271 242 24 × 2 = 0 + 0,163 726 936 806 332 542 484 48;
  • 73) 0,163 726 936 806 332 542 484 48 × 2 = 0 + 0,327 453 873 612 665 084 968 96;
  • 74) 0,327 453 873 612 665 084 968 96 × 2 = 0 + 0,654 907 747 225 330 169 937 92;
  • 75) 0,654 907 747 225 330 169 937 92 × 2 = 1 + 0,309 815 494 450 660 339 875 84;
  • 76) 0,309 815 494 450 660 339 875 84 × 2 = 0 + 0,619 630 988 901 320 679 751 68;
  • 77) 0,619 630 988 901 320 679 751 68 × 2 = 1 + 0,239 261 977 802 641 359 503 36;
  • 78) 0,239 261 977 802 641 359 503 36 × 2 = 0 + 0,478 523 955 605 282 719 006 72;
  • 79) 0,478 523 955 605 282 719 006 72 × 2 = 0 + 0,957 047 911 210 565 438 013 44;
  • 80) 0,957 047 911 210 565 438 013 44 × 2 = 1 + 0,914 095 822 421 130 876 026 88;
  • 81) 0,914 095 822 421 130 876 026 88 × 2 = 1 + 0,828 191 644 842 261 752 053 76;
  • 82) 0,828 191 644 842 261 752 053 76 × 2 = 1 + 0,656 383 289 684 523 504 107 52;
  • 83) 0,656 383 289 684 523 504 107 52 × 2 = 1 + 0,312 766 579 369 047 008 215 04;
  • 84) 0,312 766 579 369 047 008 215 04 × 2 = 0 + 0,625 533 158 738 094 016 430 08;
  • 85) 0,625 533 158 738 094 016 430 08 × 2 = 1 + 0,251 066 317 476 188 032 860 16;
  • 86) 0,251 066 317 476 188 032 860 16 × 2 = 0 + 0,502 132 634 952 376 065 720 32;
  • 87) 0,502 132 634 952 376 065 720 32 × 2 = 1 + 0,004 265 269 904 752 131 440 64;
  • 88) 0,004 265 269 904 752 131 440 64 × 2 = 0 + 0,008 530 539 809 504 262 881 28;
  • 89) 0,008 530 539 809 504 262 881 28 × 2 = 0 + 0,017 061 079 619 008 525 762 56;
  • 90) 0,017 061 079 619 008 525 762 56 × 2 = 0 + 0,034 122 159 238 017 051 525 12;
  • 91) 0,034 122 159 238 017 051 525 12 × 2 = 0 + 0,068 244 318 476 034 103 050 24;
  • 92) 0,068 244 318 476 034 103 050 24 × 2 = 0 + 0,136 488 636 952 068 206 100 48;
  • 93) 0,136 488 636 952 068 206 100 48 × 2 = 0 + 0,272 977 273 904 136 412 200 96;
  • 94) 0,272 977 273 904 136 412 200 96 × 2 = 0 + 0,545 954 547 808 272 824 401 92;
  • 95) 0,545 954 547 808 272 824 401 92 × 2 = 1 + 0,091 909 095 616 545 648 803 84;
  • 96) 0,091 909 095 616 545 648 803 84 × 2 = 0 + 0,183 818 191 233 091 297 607 68;
  • 97) 0,183 818 191 233 091 297 607 68 × 2 = 0 + 0,367 636 382 466 182 595 215 36;
  • 98) 0,367 636 382 466 182 595 215 36 × 2 = 0 + 0,735 272 764 932 365 190 430 72;
  • 99) 0,735 272 764 932 365 190 430 72 × 2 = 1 + 0,470 545 529 864 730 380 861 44;
  • 100) 0,470 545 529 864 730 380 861 44 × 2 = 0 + 0,941 091 059 729 460 761 722 88;
  • 101) 0,941 091 059 729 460 761 722 88 × 2 = 1 + 0,882 182 119 458 921 523 445 76;
  • 102) 0,882 182 119 458 921 523 445 76 × 2 = 1 + 0,764 364 238 917 843 046 891 52;
  • 103) 0,764 364 238 917 843 046 891 52 × 2 = 1 + 0,528 728 477 835 686 093 783 04;
  • 104) 0,528 728 477 835 686 093 783 04 × 2 = 1 + 0,057 456 955 671 372 187 566 08;
  • 105) 0,057 456 955 671 372 187 566 08 × 2 = 0 + 0,114 913 911 342 744 375 132 16;
  • 106) 0,114 913 911 342 744 375 132 16 × 2 = 0 + 0,229 827 822 685 488 750 264 32;
  • 107) 0,229 827 822 685 488 750 264 32 × 2 = 0 + 0,459 655 645 370 977 500 528 64;
  • 108) 0,459 655 645 370 977 500 528 64 × 2 = 0 + 0,919 311 290 741 955 001 057 28;
  • 109) 0,919 311 290 741 955 001 057 28 × 2 = 1 + 0,838 622 581 483 910 002 114 56;
  • 110) 0,838 622 581 483 910 002 114 56 × 2 = 1 + 0,677 245 162 967 820 004 229 12;
  • 111) 0,677 245 162 967 820 004 229 12 × 2 = 1 + 0,354 490 325 935 640 008 458 24;
  • 112) 0,354 490 325 935 640 008 458 24 × 2 = 0 + 0,708 980 651 871 280 016 916 48;
  • 113) 0,708 980 651 871 280 016 916 48 × 2 = 1 + 0,417 961 303 742 560 033 832 96;
  • 114) 0,417 961 303 742 560 033 832 96 × 2 = 0 + 0,835 922 607 485 120 067 665 92;
  • 115) 0,835 922 607 485 120 067 665 92 × 2 = 1 + 0,671 845 214 970 240 135 331 84;
  • 116) 0,671 845 214 970 240 135 331 84 × 2 = 1 + 0,343 690 429 940 480 270 663 68;
  • 117) 0,343 690 429 940 480 270 663 68 × 2 = 0 + 0,687 380 859 880 960 541 327 36;
  • 118) 0,687 380 859 880 960 541 327 36 × 2 = 1 + 0,374 761 719 761 921 082 654 72;
  • 119) 0,374 761 719 761 921 082 654 72 × 2 = 0 + 0,749 523 439 523 842 165 309 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 505(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1001 1110 1010 0000 0010 0010 1111 0000 1110 1011 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 505(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1001 1110 1010 0000 0010 0010 1111 0000 1110 1011 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 505(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1001 1110 1010 0000 0010 0010 1111 0000 1110 1011 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1001 1110 1010 0000 0010 0010 1111 0000 1110 1011 010(2) × 20 =

1,0100 0001 0100 1111 0101 0000 0001 0001 0111 1000 0111 0101 1010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0001 0100 1111 0101 0000 0001 0001 0111 1000 0111 0101 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0001 0100 1111 0101 0000 0001 0001 0111 1000 0111 0101 1010 =

0100 0001 0100 1111 0101 0000 0001 0001 0111 1000 0111 0101 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0001 0100 1111 0101 0000 0001 0001 0111 1000 0111 0101 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 505 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0001 0100 1111 0101 0000 0001 0001 0111 1000 0111 0101 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 601 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100