0,000 000 000 000 000 000 008 525 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 525(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 525(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 525.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 525 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 05;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 05 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 1;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 1 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 2;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 4;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 8;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 6;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 091 2;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 091 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 182 4;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 182 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 364 8;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 364 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 729 6;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 729 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 459 2;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 459 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 918 4;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 918 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 836 8;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 836 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 673 6;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 673 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 347 2;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 347 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 694 4;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 694 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 388 8;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 388 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 234 777 6;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 234 777 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 469 555 2;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 469 555 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 939 110 4;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 939 110 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 878 220 8;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 878 220 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 756 441 6;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 756 441 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 512 883 2;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 512 883 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 025 766 4;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 025 766 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 051 532 8;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 051 532 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 103 065 6;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 103 065 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 144 206 131 2;
  • 28) 0,000 000 000 001 144 206 131 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 288 412 262 4;
  • 29) 0,000 000 000 002 288 412 262 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 576 824 524 8;
  • 30) 0,000 000 000 004 576 824 524 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 153 649 049 6;
  • 31) 0,000 000 000 009 153 649 049 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 307 298 099 2;
  • 32) 0,000 000 000 018 307 298 099 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 614 596 198 4;
  • 33) 0,000 000 000 036 614 596 198 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 229 192 396 8;
  • 34) 0,000 000 000 073 229 192 396 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 458 384 793 6;
  • 35) 0,000 000 000 146 458 384 793 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 916 769 587 2;
  • 36) 0,000 000 000 292 916 769 587 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 833 539 174 4;
  • 37) 0,000 000 000 585 833 539 174 4 × 2 = 0 + 0,000 000 001 171 667 078 348 8;
  • 38) 0,000 000 001 171 667 078 348 8 × 2 = 0 + 0,000 000 002 343 334 156 697 6;
  • 39) 0,000 000 002 343 334 156 697 6 × 2 = 0 + 0,000 000 004 686 668 313 395 2;
  • 40) 0,000 000 004 686 668 313 395 2 × 2 = 0 + 0,000 000 009 373 336 626 790 4;
  • 41) 0,000 000 009 373 336 626 790 4 × 2 = 0 + 0,000 000 018 746 673 253 580 8;
  • 42) 0,000 000 018 746 673 253 580 8 × 2 = 0 + 0,000 000 037 493 346 507 161 6;
  • 43) 0,000 000 037 493 346 507 161 6 × 2 = 0 + 0,000 000 074 986 693 014 323 2;
  • 44) 0,000 000 074 986 693 014 323 2 × 2 = 0 + 0,000 000 149 973 386 028 646 4;
  • 45) 0,000 000 149 973 386 028 646 4 × 2 = 0 + 0,000 000 299 946 772 057 292 8;
  • 46) 0,000 000 299 946 772 057 292 8 × 2 = 0 + 0,000 000 599 893 544 114 585 6;
  • 47) 0,000 000 599 893 544 114 585 6 × 2 = 0 + 0,000 001 199 787 088 229 171 2;
  • 48) 0,000 001 199 787 088 229 171 2 × 2 = 0 + 0,000 002 399 574 176 458 342 4;
  • 49) 0,000 002 399 574 176 458 342 4 × 2 = 0 + 0,000 004 799 148 352 916 684 8;
  • 50) 0,000 004 799 148 352 916 684 8 × 2 = 0 + 0,000 009 598 296 705 833 369 6;
  • 51) 0,000 009 598 296 705 833 369 6 × 2 = 0 + 0,000 019 196 593 411 666 739 2;
  • 52) 0,000 019 196 593 411 666 739 2 × 2 = 0 + 0,000 038 393 186 823 333 478 4;
  • 53) 0,000 038 393 186 823 333 478 4 × 2 = 0 + 0,000 076 786 373 646 666 956 8;
  • 54) 0,000 076 786 373 646 666 956 8 × 2 = 0 + 0,000 153 572 747 293 333 913 6;
  • 55) 0,000 153 572 747 293 333 913 6 × 2 = 0 + 0,000 307 145 494 586 667 827 2;
  • 56) 0,000 307 145 494 586 667 827 2 × 2 = 0 + 0,000 614 290 989 173 335 654 4;
  • 57) 0,000 614 290 989 173 335 654 4 × 2 = 0 + 0,001 228 581 978 346 671 308 8;
  • 58) 0,001 228 581 978 346 671 308 8 × 2 = 0 + 0,002 457 163 956 693 342 617 6;
  • 59) 0,002 457 163 956 693 342 617 6 × 2 = 0 + 0,004 914 327 913 386 685 235 2;
  • 60) 0,004 914 327 913 386 685 235 2 × 2 = 0 + 0,009 828 655 826 773 370 470 4;
  • 61) 0,009 828 655 826 773 370 470 4 × 2 = 0 + 0,019 657 311 653 546 740 940 8;
  • 62) 0,019 657 311 653 546 740 940 8 × 2 = 0 + 0,039 314 623 307 093 481 881 6;
  • 63) 0,039 314 623 307 093 481 881 6 × 2 = 0 + 0,078 629 246 614 186 963 763 2;
  • 64) 0,078 629 246 614 186 963 763 2 × 2 = 0 + 0,157 258 493 228 373 927 526 4;
  • 65) 0,157 258 493 228 373 927 526 4 × 2 = 0 + 0,314 516 986 456 747 855 052 8;
  • 66) 0,314 516 986 456 747 855 052 8 × 2 = 0 + 0,629 033 972 913 495 710 105 6;
  • 67) 0,629 033 972 913 495 710 105 6 × 2 = 1 + 0,258 067 945 826 991 420 211 2;
  • 68) 0,258 067 945 826 991 420 211 2 × 2 = 0 + 0,516 135 891 653 982 840 422 4;
  • 69) 0,516 135 891 653 982 840 422 4 × 2 = 1 + 0,032 271 783 307 965 680 844 8;
  • 70) 0,032 271 783 307 965 680 844 8 × 2 = 0 + 0,064 543 566 615 931 361 689 6;
  • 71) 0,064 543 566 615 931 361 689 6 × 2 = 0 + 0,129 087 133 231 862 723 379 2;
  • 72) 0,129 087 133 231 862 723 379 2 × 2 = 0 + 0,258 174 266 463 725 446 758 4;
  • 73) 0,258 174 266 463 725 446 758 4 × 2 = 0 + 0,516 348 532 927 450 893 516 8;
  • 74) 0,516 348 532 927 450 893 516 8 × 2 = 1 + 0,032 697 065 854 901 787 033 6;
  • 75) 0,032 697 065 854 901 787 033 6 × 2 = 0 + 0,065 394 131 709 803 574 067 2;
  • 76) 0,065 394 131 709 803 574 067 2 × 2 = 0 + 0,130 788 263 419 607 148 134 4;
  • 77) 0,130 788 263 419 607 148 134 4 × 2 = 0 + 0,261 576 526 839 214 296 268 8;
  • 78) 0,261 576 526 839 214 296 268 8 × 2 = 0 + 0,523 153 053 678 428 592 537 6;
  • 79) 0,523 153 053 678 428 592 537 6 × 2 = 1 + 0,046 306 107 356 857 185 075 2;
  • 80) 0,046 306 107 356 857 185 075 2 × 2 = 0 + 0,092 612 214 713 714 370 150 4;
  • 81) 0,092 612 214 713 714 370 150 4 × 2 = 0 + 0,185 224 429 427 428 740 300 8;
  • 82) 0,185 224 429 427 428 740 300 8 × 2 = 0 + 0,370 448 858 854 857 480 601 6;
  • 83) 0,370 448 858 854 857 480 601 6 × 2 = 0 + 0,740 897 717 709 714 961 203 2;
  • 84) 0,740 897 717 709 714 961 203 2 × 2 = 1 + 0,481 795 435 419 429 922 406 4;
  • 85) 0,481 795 435 419 429 922 406 4 × 2 = 0 + 0,963 590 870 838 859 844 812 8;
  • 86) 0,963 590 870 838 859 844 812 8 × 2 = 1 + 0,927 181 741 677 719 689 625 6;
  • 87) 0,927 181 741 677 719 689 625 6 × 2 = 1 + 0,854 363 483 355 439 379 251 2;
  • 88) 0,854 363 483 355 439 379 251 2 × 2 = 1 + 0,708 726 966 710 878 758 502 4;
  • 89) 0,708 726 966 710 878 758 502 4 × 2 = 1 + 0,417 453 933 421 757 517 004 8;
  • 90) 0,417 453 933 421 757 517 004 8 × 2 = 0 + 0,834 907 866 843 515 034 009 6;
  • 91) 0,834 907 866 843 515 034 009 6 × 2 = 1 + 0,669 815 733 687 030 068 019 2;
  • 92) 0,669 815 733 687 030 068 019 2 × 2 = 1 + 0,339 631 467 374 060 136 038 4;
  • 93) 0,339 631 467 374 060 136 038 4 × 2 = 0 + 0,679 262 934 748 120 272 076 8;
  • 94) 0,679 262 934 748 120 272 076 8 × 2 = 1 + 0,358 525 869 496 240 544 153 6;
  • 95) 0,358 525 869 496 240 544 153 6 × 2 = 0 + 0,717 051 738 992 481 088 307 2;
  • 96) 0,717 051 738 992 481 088 307 2 × 2 = 1 + 0,434 103 477 984 962 176 614 4;
  • 97) 0,434 103 477 984 962 176 614 4 × 2 = 0 + 0,868 206 955 969 924 353 228 8;
  • 98) 0,868 206 955 969 924 353 228 8 × 2 = 1 + 0,736 413 911 939 848 706 457 6;
  • 99) 0,736 413 911 939 848 706 457 6 × 2 = 1 + 0,472 827 823 879 697 412 915 2;
  • 100) 0,472 827 823 879 697 412 915 2 × 2 = 0 + 0,945 655 647 759 394 825 830 4;
  • 101) 0,945 655 647 759 394 825 830 4 × 2 = 1 + 0,891 311 295 518 789 651 660 8;
  • 102) 0,891 311 295 518 789 651 660 8 × 2 = 1 + 0,782 622 591 037 579 303 321 6;
  • 103) 0,782 622 591 037 579 303 321 6 × 2 = 1 + 0,565 245 182 075 158 606 643 2;
  • 104) 0,565 245 182 075 158 606 643 2 × 2 = 1 + 0,130 490 364 150 317 213 286 4;
  • 105) 0,130 490 364 150 317 213 286 4 × 2 = 0 + 0,260 980 728 300 634 426 572 8;
  • 106) 0,260 980 728 300 634 426 572 8 × 2 = 0 + 0,521 961 456 601 268 853 145 6;
  • 107) 0,521 961 456 601 268 853 145 6 × 2 = 1 + 0,043 922 913 202 537 706 291 2;
  • 108) 0,043 922 913 202 537 706 291 2 × 2 = 0 + 0,087 845 826 405 075 412 582 4;
  • 109) 0,087 845 826 405 075 412 582 4 × 2 = 0 + 0,175 691 652 810 150 825 164 8;
  • 110) 0,175 691 652 810 150 825 164 8 × 2 = 0 + 0,351 383 305 620 301 650 329 6;
  • 111) 0,351 383 305 620 301 650 329 6 × 2 = 0 + 0,702 766 611 240 603 300 659 2;
  • 112) 0,702 766 611 240 603 300 659 2 × 2 = 1 + 0,405 533 222 481 206 601 318 4;
  • 113) 0,405 533 222 481 206 601 318 4 × 2 = 0 + 0,811 066 444 962 413 202 636 8;
  • 114) 0,811 066 444 962 413 202 636 8 × 2 = 1 + 0,622 132 889 924 826 405 273 6;
  • 115) 0,622 132 889 924 826 405 273 6 × 2 = 1 + 0,244 265 779 849 652 810 547 2;
  • 116) 0,244 265 779 849 652 810 547 2 × 2 = 0 + 0,488 531 559 699 305 621 094 4;
  • 117) 0,488 531 559 699 305 621 094 4 × 2 = 0 + 0,977 063 119 398 611 242 188 8;
  • 118) 0,977 063 119 398 611 242 188 8 × 2 = 1 + 0,954 126 238 797 222 484 377 6;
  • 119) 0,954 126 238 797 222 484 377 6 × 2 = 1 + 0,908 252 477 594 444 968 755 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 525(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 0001 0111 1011 0101 0110 1111 0010 0001 0110 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 525(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 0001 0111 1011 0101 0110 1111 0010 0001 0110 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 525(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 0001 0111 1011 0101 0110 1111 0010 0001 0110 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 0001 0111 1011 0101 0110 1111 0010 0001 0110 011(2) × 20 =

1,0100 0010 0001 0000 1011 1101 1010 1011 0111 1001 0000 1011 0011(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0001 0000 1011 1101 1010 1011 0111 1001 0000 1011 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0001 0000 1011 1101 1010 1011 0111 1001 0000 1011 0011 =

0100 0010 0001 0000 1011 1101 1010 1011 0111 1001 0000 1011 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0001 0000 1011 1101 1010 1011 0111 1001 0000 1011 0011


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 525 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0001 0000 1011 1101 1010 1011 0111 1001 0000 1011 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 456 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100