0,000 000 000 000 000 000 008 535 75 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 535 75(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 535 75(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 535 75.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 535 75 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 071 5;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 071 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 143;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 143 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 286;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 286 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 572;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 572 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 144;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 288;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 576;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 185 152;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 185 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 370 304;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 370 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 740 608;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 740 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 481 216;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 481 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 962 432;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 962 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 924 864;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 924 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 849 728;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 849 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 699 456;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 699 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 398 912;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 398 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 118 797 824;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 118 797 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 237 595 648;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 237 595 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 475 191 296;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 475 191 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 950 382 592;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 950 382 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 900 765 184;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 900 765 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 801 530 368;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 801 530 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 603 060 736;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 603 060 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 206 121 472;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 206 121 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 412 242 944;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 412 242 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 824 485 888;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 824 485 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 145 648 971 776;
  • 28) 0,000 000 000 001 145 648 971 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 291 297 943 552;
  • 29) 0,000 000 000 002 291 297 943 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 582 595 887 104;
  • 30) 0,000 000 000 004 582 595 887 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 165 191 774 208;
  • 31) 0,000 000 000 009 165 191 774 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 330 383 548 416;
  • 32) 0,000 000 000 018 330 383 548 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 660 767 096 832;
  • 33) 0,000 000 000 036 660 767 096 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 321 534 193 664;
  • 34) 0,000 000 000 073 321 534 193 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 643 068 387 328;
  • 35) 0,000 000 000 146 643 068 387 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 286 136 774 656;
  • 36) 0,000 000 000 293 286 136 774 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 572 273 549 312;
  • 37) 0,000 000 000 586 572 273 549 312 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 144 547 098 624;
  • 38) 0,000 000 001 173 144 547 098 624 × 2 = 0 + 0,000 000 002 346 289 094 197 248;
  • 39) 0,000 000 002 346 289 094 197 248 × 2 = 0 + 0,000 000 004 692 578 188 394 496;
  • 40) 0,000 000 004 692 578 188 394 496 × 2 = 0 + 0,000 000 009 385 156 376 788 992;
  • 41) 0,000 000 009 385 156 376 788 992 × 2 = 0 + 0,000 000 018 770 312 753 577 984;
  • 42) 0,000 000 018 770 312 753 577 984 × 2 = 0 + 0,000 000 037 540 625 507 155 968;
  • 43) 0,000 000 037 540 625 507 155 968 × 2 = 0 + 0,000 000 075 081 251 014 311 936;
  • 44) 0,000 000 075 081 251 014 311 936 × 2 = 0 + 0,000 000 150 162 502 028 623 872;
  • 45) 0,000 000 150 162 502 028 623 872 × 2 = 0 + 0,000 000 300 325 004 057 247 744;
  • 46) 0,000 000 300 325 004 057 247 744 × 2 = 0 + 0,000 000 600 650 008 114 495 488;
  • 47) 0,000 000 600 650 008 114 495 488 × 2 = 0 + 0,000 001 201 300 016 228 990 976;
  • 48) 0,000 001 201 300 016 228 990 976 × 2 = 0 + 0,000 002 402 600 032 457 981 952;
  • 49) 0,000 002 402 600 032 457 981 952 × 2 = 0 + 0,000 004 805 200 064 915 963 904;
  • 50) 0,000 004 805 200 064 915 963 904 × 2 = 0 + 0,000 009 610 400 129 831 927 808;
  • 51) 0,000 009 610 400 129 831 927 808 × 2 = 0 + 0,000 019 220 800 259 663 855 616;
  • 52) 0,000 019 220 800 259 663 855 616 × 2 = 0 + 0,000 038 441 600 519 327 711 232;
  • 53) 0,000 038 441 600 519 327 711 232 × 2 = 0 + 0,000 076 883 201 038 655 422 464;
  • 54) 0,000 076 883 201 038 655 422 464 × 2 = 0 + 0,000 153 766 402 077 310 844 928;
  • 55) 0,000 153 766 402 077 310 844 928 × 2 = 0 + 0,000 307 532 804 154 621 689 856;
  • 56) 0,000 307 532 804 154 621 689 856 × 2 = 0 + 0,000 615 065 608 309 243 379 712;
  • 57) 0,000 615 065 608 309 243 379 712 × 2 = 0 + 0,001 230 131 216 618 486 759 424;
  • 58) 0,001 230 131 216 618 486 759 424 × 2 = 0 + 0,002 460 262 433 236 973 518 848;
  • 59) 0,002 460 262 433 236 973 518 848 × 2 = 0 + 0,004 920 524 866 473 947 037 696;
  • 60) 0,004 920 524 866 473 947 037 696 × 2 = 0 + 0,009 841 049 732 947 894 075 392;
  • 61) 0,009 841 049 732 947 894 075 392 × 2 = 0 + 0,019 682 099 465 895 788 150 784;
  • 62) 0,019 682 099 465 895 788 150 784 × 2 = 0 + 0,039 364 198 931 791 576 301 568;
  • 63) 0,039 364 198 931 791 576 301 568 × 2 = 0 + 0,078 728 397 863 583 152 603 136;
  • 64) 0,078 728 397 863 583 152 603 136 × 2 = 0 + 0,157 456 795 727 166 305 206 272;
  • 65) 0,157 456 795 727 166 305 206 272 × 2 = 0 + 0,314 913 591 454 332 610 412 544;
  • 66) 0,314 913 591 454 332 610 412 544 × 2 = 0 + 0,629 827 182 908 665 220 825 088;
  • 67) 0,629 827 182 908 665 220 825 088 × 2 = 1 + 0,259 654 365 817 330 441 650 176;
  • 68) 0,259 654 365 817 330 441 650 176 × 2 = 0 + 0,519 308 731 634 660 883 300 352;
  • 69) 0,519 308 731 634 660 883 300 352 × 2 = 1 + 0,038 617 463 269 321 766 600 704;
  • 70) 0,038 617 463 269 321 766 600 704 × 2 = 0 + 0,077 234 926 538 643 533 201 408;
  • 71) 0,077 234 926 538 643 533 201 408 × 2 = 0 + 0,154 469 853 077 287 066 402 816;
  • 72) 0,154 469 853 077 287 066 402 816 × 2 = 0 + 0,308 939 706 154 574 132 805 632;
  • 73) 0,308 939 706 154 574 132 805 632 × 2 = 0 + 0,617 879 412 309 148 265 611 264;
  • 74) 0,617 879 412 309 148 265 611 264 × 2 = 1 + 0,235 758 824 618 296 531 222 528;
  • 75) 0,235 758 824 618 296 531 222 528 × 2 = 0 + 0,471 517 649 236 593 062 445 056;
  • 76) 0,471 517 649 236 593 062 445 056 × 2 = 0 + 0,943 035 298 473 186 124 890 112;
  • 77) 0,943 035 298 473 186 124 890 112 × 2 = 1 + 0,886 070 596 946 372 249 780 224;
  • 78) 0,886 070 596 946 372 249 780 224 × 2 = 1 + 0,772 141 193 892 744 499 560 448;
  • 79) 0,772 141 193 892 744 499 560 448 × 2 = 1 + 0,544 282 387 785 488 999 120 896;
  • 80) 0,544 282 387 785 488 999 120 896 × 2 = 1 + 0,088 564 775 570 977 998 241 792;
  • 81) 0,088 564 775 570 977 998 241 792 × 2 = 0 + 0,177 129 551 141 955 996 483 584;
  • 82) 0,177 129 551 141 955 996 483 584 × 2 = 0 + 0,354 259 102 283 911 992 967 168;
  • 83) 0,354 259 102 283 911 992 967 168 × 2 = 0 + 0,708 518 204 567 823 985 934 336;
  • 84) 0,708 518 204 567 823 985 934 336 × 2 = 1 + 0,417 036 409 135 647 971 868 672;
  • 85) 0,417 036 409 135 647 971 868 672 × 2 = 0 + 0,834 072 818 271 295 943 737 344;
  • 86) 0,834 072 818 271 295 943 737 344 × 2 = 1 + 0,668 145 636 542 591 887 474 688;
  • 87) 0,668 145 636 542 591 887 474 688 × 2 = 1 + 0,336 291 273 085 183 774 949 376;
  • 88) 0,336 291 273 085 183 774 949 376 × 2 = 0 + 0,672 582 546 170 367 549 898 752;
  • 89) 0,672 582 546 170 367 549 898 752 × 2 = 1 + 0,345 165 092 340 735 099 797 504;
  • 90) 0,345 165 092 340 735 099 797 504 × 2 = 0 + 0,690 330 184 681 470 199 595 008;
  • 91) 0,690 330 184 681 470 199 595 008 × 2 = 1 + 0,380 660 369 362 940 399 190 016;
  • 92) 0,380 660 369 362 940 399 190 016 × 2 = 0 + 0,761 320 738 725 880 798 380 032;
  • 93) 0,761 320 738 725 880 798 380 032 × 2 = 1 + 0,522 641 477 451 761 596 760 064;
  • 94) 0,522 641 477 451 761 596 760 064 × 2 = 1 + 0,045 282 954 903 523 193 520 128;
  • 95) 0,045 282 954 903 523 193 520 128 × 2 = 0 + 0,090 565 909 807 046 387 040 256;
  • 96) 0,090 565 909 807 046 387 040 256 × 2 = 0 + 0,181 131 819 614 092 774 080 512;
  • 97) 0,181 131 819 614 092 774 080 512 × 2 = 0 + 0,362 263 639 228 185 548 161 024;
  • 98) 0,362 263 639 228 185 548 161 024 × 2 = 0 + 0,724 527 278 456 371 096 322 048;
  • 99) 0,724 527 278 456 371 096 322 048 × 2 = 1 + 0,449 054 556 912 742 192 644 096;
  • 100) 0,449 054 556 912 742 192 644 096 × 2 = 0 + 0,898 109 113 825 484 385 288 192;
  • 101) 0,898 109 113 825 484 385 288 192 × 2 = 1 + 0,796 218 227 650 968 770 576 384;
  • 102) 0,796 218 227 650 968 770 576 384 × 2 = 1 + 0,592 436 455 301 937 541 152 768;
  • 103) 0,592 436 455 301 937 541 152 768 × 2 = 1 + 0,184 872 910 603 875 082 305 536;
  • 104) 0,184 872 910 603 875 082 305 536 × 2 = 0 + 0,369 745 821 207 750 164 611 072;
  • 105) 0,369 745 821 207 750 164 611 072 × 2 = 0 + 0,739 491 642 415 500 329 222 144;
  • 106) 0,739 491 642 415 500 329 222 144 × 2 = 1 + 0,478 983 284 831 000 658 444 288;
  • 107) 0,478 983 284 831 000 658 444 288 × 2 = 0 + 0,957 966 569 662 001 316 888 576;
  • 108) 0,957 966 569 662 001 316 888 576 × 2 = 1 + 0,915 933 139 324 002 633 777 152;
  • 109) 0,915 933 139 324 002 633 777 152 × 2 = 1 + 0,831 866 278 648 005 267 554 304;
  • 110) 0,831 866 278 648 005 267 554 304 × 2 = 1 + 0,663 732 557 296 010 535 108 608;
  • 111) 0,663 732 557 296 010 535 108 608 × 2 = 1 + 0,327 465 114 592 021 070 217 216;
  • 112) 0,327 465 114 592 021 070 217 216 × 2 = 0 + 0,654 930 229 184 042 140 434 432;
  • 113) 0,654 930 229 184 042 140 434 432 × 2 = 1 + 0,309 860 458 368 084 280 868 864;
  • 114) 0,309 860 458 368 084 280 868 864 × 2 = 0 + 0,619 720 916 736 168 561 737 728;
  • 115) 0,619 720 916 736 168 561 737 728 × 2 = 1 + 0,239 441 833 472 337 123 475 456;
  • 116) 0,239 441 833 472 337 123 475 456 × 2 = 0 + 0,478 883 666 944 674 246 950 912;
  • 117) 0,478 883 666 944 674 246 950 912 × 2 = 0 + 0,957 767 333 889 348 493 901 824;
  • 118) 0,957 767 333 889 348 493 901 824 × 2 = 1 + 0,915 534 667 778 696 987 803 648;
  • 119) 0,915 534 667 778 696 987 803 648 × 2 = 1 + 0,831 069 335 557 393 975 607 296;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 535 75(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1111 0001 0110 1010 1100 0010 1110 0101 1110 1010 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 535 75(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1111 0001 0110 1010 1100 0010 1110 0101 1110 1010 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 535 75(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1111 0001 0110 1010 1100 0010 1110 0101 1110 1010 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1111 0001 0110 1010 1100 0010 1110 0101 1110 1010 011(2) × 20 =

1,0100 0010 0111 1000 1011 0101 0110 0001 0111 0010 1111 0101 0011(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0111 1000 1011 0101 0110 0001 0111 0010 1111 0101 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0111 1000 1011 0101 0110 0001 0111 0010 1111 0101 0011 =

0100 0010 0111 1000 1011 0101 0110 0001 0111 0010 1111 0101 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0111 1000 1011 0101 0110 0001 0111 0010 1111 0101 0011


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 535 75 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0111 1000 1011 0101 0110 0001 0111 0010 1111 0101 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 536 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100