0,000 000 000 000 000 000 008 537 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 537(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 537(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 537.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 537 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 074;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 074 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 148;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 148 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 296;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 592;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 184;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 368;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 736;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 185 472;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 185 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 370 944;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 370 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 741 888;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 741 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 483 776;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 483 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 967 552;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 967 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 935 104;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 935 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 870 208;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 870 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 740 416;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 740 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 480 832;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 480 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 118 961 664;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 118 961 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 237 923 328;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 237 923 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 475 846 656;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 475 846 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 951 693 312;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 951 693 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 903 386 624;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 903 386 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 806 773 248;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 806 773 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 613 546 496;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 613 546 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 227 092 992;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 227 092 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 454 185 984;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 454 185 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 908 371 968;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 908 371 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 145 816 743 936;
  • 28) 0,000 000 000 001 145 816 743 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 291 633 487 872;
  • 29) 0,000 000 000 002 291 633 487 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 583 266 975 744;
  • 30) 0,000 000 000 004 583 266 975 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 166 533 951 488;
  • 31) 0,000 000 000 009 166 533 951 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 333 067 902 976;
  • 32) 0,000 000 000 018 333 067 902 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 666 135 805 952;
  • 33) 0,000 000 000 036 666 135 805 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 332 271 611 904;
  • 34) 0,000 000 000 073 332 271 611 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 664 543 223 808;
  • 35) 0,000 000 000 146 664 543 223 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 329 086 447 616;
  • 36) 0,000 000 000 293 329 086 447 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 658 172 895 232;
  • 37) 0,000 000 000 586 658 172 895 232 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 316 345 790 464;
  • 38) 0,000 000 001 173 316 345 790 464 × 2 = 0 + 0,000 000 002 346 632 691 580 928;
  • 39) 0,000 000 002 346 632 691 580 928 × 2 = 0 + 0,000 000 004 693 265 383 161 856;
  • 40) 0,000 000 004 693 265 383 161 856 × 2 = 0 + 0,000 000 009 386 530 766 323 712;
  • 41) 0,000 000 009 386 530 766 323 712 × 2 = 0 + 0,000 000 018 773 061 532 647 424;
  • 42) 0,000 000 018 773 061 532 647 424 × 2 = 0 + 0,000 000 037 546 123 065 294 848;
  • 43) 0,000 000 037 546 123 065 294 848 × 2 = 0 + 0,000 000 075 092 246 130 589 696;
  • 44) 0,000 000 075 092 246 130 589 696 × 2 = 0 + 0,000 000 150 184 492 261 179 392;
  • 45) 0,000 000 150 184 492 261 179 392 × 2 = 0 + 0,000 000 300 368 984 522 358 784;
  • 46) 0,000 000 300 368 984 522 358 784 × 2 = 0 + 0,000 000 600 737 969 044 717 568;
  • 47) 0,000 000 600 737 969 044 717 568 × 2 = 0 + 0,000 001 201 475 938 089 435 136;
  • 48) 0,000 001 201 475 938 089 435 136 × 2 = 0 + 0,000 002 402 951 876 178 870 272;
  • 49) 0,000 002 402 951 876 178 870 272 × 2 = 0 + 0,000 004 805 903 752 357 740 544;
  • 50) 0,000 004 805 903 752 357 740 544 × 2 = 0 + 0,000 009 611 807 504 715 481 088;
  • 51) 0,000 009 611 807 504 715 481 088 × 2 = 0 + 0,000 019 223 615 009 430 962 176;
  • 52) 0,000 019 223 615 009 430 962 176 × 2 = 0 + 0,000 038 447 230 018 861 924 352;
  • 53) 0,000 038 447 230 018 861 924 352 × 2 = 0 + 0,000 076 894 460 037 723 848 704;
  • 54) 0,000 076 894 460 037 723 848 704 × 2 = 0 + 0,000 153 788 920 075 447 697 408;
  • 55) 0,000 153 788 920 075 447 697 408 × 2 = 0 + 0,000 307 577 840 150 895 394 816;
  • 56) 0,000 307 577 840 150 895 394 816 × 2 = 0 + 0,000 615 155 680 301 790 789 632;
  • 57) 0,000 615 155 680 301 790 789 632 × 2 = 0 + 0,001 230 311 360 603 581 579 264;
  • 58) 0,001 230 311 360 603 581 579 264 × 2 = 0 + 0,002 460 622 721 207 163 158 528;
  • 59) 0,002 460 622 721 207 163 158 528 × 2 = 0 + 0,004 921 245 442 414 326 317 056;
  • 60) 0,004 921 245 442 414 326 317 056 × 2 = 0 + 0,009 842 490 884 828 652 634 112;
  • 61) 0,009 842 490 884 828 652 634 112 × 2 = 0 + 0,019 684 981 769 657 305 268 224;
  • 62) 0,019 684 981 769 657 305 268 224 × 2 = 0 + 0,039 369 963 539 314 610 536 448;
  • 63) 0,039 369 963 539 314 610 536 448 × 2 = 0 + 0,078 739 927 078 629 221 072 896;
  • 64) 0,078 739 927 078 629 221 072 896 × 2 = 0 + 0,157 479 854 157 258 442 145 792;
  • 65) 0,157 479 854 157 258 442 145 792 × 2 = 0 + 0,314 959 708 314 516 884 291 584;
  • 66) 0,314 959 708 314 516 884 291 584 × 2 = 0 + 0,629 919 416 629 033 768 583 168;
  • 67) 0,629 919 416 629 033 768 583 168 × 2 = 1 + 0,259 838 833 258 067 537 166 336;
  • 68) 0,259 838 833 258 067 537 166 336 × 2 = 0 + 0,519 677 666 516 135 074 332 672;
  • 69) 0,519 677 666 516 135 074 332 672 × 2 = 1 + 0,039 355 333 032 270 148 665 344;
  • 70) 0,039 355 333 032 270 148 665 344 × 2 = 0 + 0,078 710 666 064 540 297 330 688;
  • 71) 0,078 710 666 064 540 297 330 688 × 2 = 0 + 0,157 421 332 129 080 594 661 376;
  • 72) 0,157 421 332 129 080 594 661 376 × 2 = 0 + 0,314 842 664 258 161 189 322 752;
  • 73) 0,314 842 664 258 161 189 322 752 × 2 = 0 + 0,629 685 328 516 322 378 645 504;
  • 74) 0,629 685 328 516 322 378 645 504 × 2 = 1 + 0,259 370 657 032 644 757 291 008;
  • 75) 0,259 370 657 032 644 757 291 008 × 2 = 0 + 0,518 741 314 065 289 514 582 016;
  • 76) 0,518 741 314 065 289 514 582 016 × 2 = 1 + 0,037 482 628 130 579 029 164 032;
  • 77) 0,037 482 628 130 579 029 164 032 × 2 = 0 + 0,074 965 256 261 158 058 328 064;
  • 78) 0,074 965 256 261 158 058 328 064 × 2 = 0 + 0,149 930 512 522 316 116 656 128;
  • 79) 0,149 930 512 522 316 116 656 128 × 2 = 0 + 0,299 861 025 044 632 233 312 256;
  • 80) 0,299 861 025 044 632 233 312 256 × 2 = 0 + 0,599 722 050 089 264 466 624 512;
  • 81) 0,599 722 050 089 264 466 624 512 × 2 = 1 + 0,199 444 100 178 528 933 249 024;
  • 82) 0,199 444 100 178 528 933 249 024 × 2 = 0 + 0,398 888 200 357 057 866 498 048;
  • 83) 0,398 888 200 357 057 866 498 048 × 2 = 0 + 0,797 776 400 714 115 732 996 096;
  • 84) 0,797 776 400 714 115 732 996 096 × 2 = 1 + 0,595 552 801 428 231 465 992 192;
  • 85) 0,595 552 801 428 231 465 992 192 × 2 = 1 + 0,191 105 602 856 462 931 984 384;
  • 86) 0,191 105 602 856 462 931 984 384 × 2 = 0 + 0,382 211 205 712 925 863 968 768;
  • 87) 0,382 211 205 712 925 863 968 768 × 2 = 0 + 0,764 422 411 425 851 727 937 536;
  • 88) 0,764 422 411 425 851 727 937 536 × 2 = 1 + 0,528 844 822 851 703 455 875 072;
  • 89) 0,528 844 822 851 703 455 875 072 × 2 = 1 + 0,057 689 645 703 406 911 750 144;
  • 90) 0,057 689 645 703 406 911 750 144 × 2 = 0 + 0,115 379 291 406 813 823 500 288;
  • 91) 0,115 379 291 406 813 823 500 288 × 2 = 0 + 0,230 758 582 813 627 647 000 576;
  • 92) 0,230 758 582 813 627 647 000 576 × 2 = 0 + 0,461 517 165 627 255 294 001 152;
  • 93) 0,461 517 165 627 255 294 001 152 × 2 = 0 + 0,923 034 331 254 510 588 002 304;
  • 94) 0,923 034 331 254 510 588 002 304 × 2 = 1 + 0,846 068 662 509 021 176 004 608;
  • 95) 0,846 068 662 509 021 176 004 608 × 2 = 1 + 0,692 137 325 018 042 352 009 216;
  • 96) 0,692 137 325 018 042 352 009 216 × 2 = 1 + 0,384 274 650 036 084 704 018 432;
  • 97) 0,384 274 650 036 084 704 018 432 × 2 = 0 + 0,768 549 300 072 169 408 036 864;
  • 98) 0,768 549 300 072 169 408 036 864 × 2 = 1 + 0,537 098 600 144 338 816 073 728;
  • 99) 0,537 098 600 144 338 816 073 728 × 2 = 1 + 0,074 197 200 288 677 632 147 456;
  • 100) 0,074 197 200 288 677 632 147 456 × 2 = 0 + 0,148 394 400 577 355 264 294 912;
  • 101) 0,148 394 400 577 355 264 294 912 × 2 = 0 + 0,296 788 801 154 710 528 589 824;
  • 102) 0,296 788 801 154 710 528 589 824 × 2 = 0 + 0,593 577 602 309 421 057 179 648;
  • 103) 0,593 577 602 309 421 057 179 648 × 2 = 1 + 0,187 155 204 618 842 114 359 296;
  • 104) 0,187 155 204 618 842 114 359 296 × 2 = 0 + 0,374 310 409 237 684 228 718 592;
  • 105) 0,374 310 409 237 684 228 718 592 × 2 = 0 + 0,748 620 818 475 368 457 437 184;
  • 106) 0,748 620 818 475 368 457 437 184 × 2 = 1 + 0,497 241 636 950 736 914 874 368;
  • 107) 0,497 241 636 950 736 914 874 368 × 2 = 0 + 0,994 483 273 901 473 829 748 736;
  • 108) 0,994 483 273 901 473 829 748 736 × 2 = 1 + 0,988 966 547 802 947 659 497 472;
  • 109) 0,988 966 547 802 947 659 497 472 × 2 = 1 + 0,977 933 095 605 895 318 994 944;
  • 110) 0,977 933 095 605 895 318 994 944 × 2 = 1 + 0,955 866 191 211 790 637 989 888;
  • 111) 0,955 866 191 211 790 637 989 888 × 2 = 1 + 0,911 732 382 423 581 275 979 776;
  • 112) 0,911 732 382 423 581 275 979 776 × 2 = 1 + 0,823 464 764 847 162 551 959 552;
  • 113) 0,823 464 764 847 162 551 959 552 × 2 = 1 + 0,646 929 529 694 325 103 919 104;
  • 114) 0,646 929 529 694 325 103 919 104 × 2 = 1 + 0,293 859 059 388 650 207 838 208;
  • 115) 0,293 859 059 388 650 207 838 208 × 2 = 0 + 0,587 718 118 777 300 415 676 416;
  • 116) 0,587 718 118 777 300 415 676 416 × 2 = 1 + 0,175 436 237 554 600 831 352 832;
  • 117) 0,175 436 237 554 600 831 352 832 × 2 = 0 + 0,350 872 475 109 201 662 705 664;
  • 118) 0,350 872 475 109 201 662 705 664 × 2 = 0 + 0,701 744 950 218 403 325 411 328;
  • 119) 0,701 744 950 218 403 325 411 328 × 2 = 1 + 0,403 489 900 436 806 650 822 656;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 537(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0000 1001 1001 1000 0111 0110 0010 0101 1111 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 537(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0000 1001 1001 1000 0111 0110 0010 0101 1111 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 537(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0000 1001 1001 1000 0111 0110 0010 0101 1111 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0000 1001 1001 1000 0111 0110 0010 0101 1111 1101 001(2) × 20 =

1,0100 0010 1000 0100 1100 1100 0011 1011 0001 0010 1111 1110 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1000 0100 1100 1100 0011 1011 0001 0010 1111 1110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1000 0100 1100 1100 0011 1011 0001 0010 1111 1110 1001 =

0100 0010 1000 0100 1100 1100 0011 1011 0001 0010 1111 1110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1000 0100 1100 1100 0011 1011 0001 0010 1111 1110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 537 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1000 0100 1100 1100 0011 1011 0001 0010 1111 1110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 478 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100