0,000 000 000 000 000 000 008 543 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 543 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 543 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 543 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 543 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 087;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 087 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 174;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 174 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 348;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 348 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 696;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 392;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 784;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 093 568;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 093 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 187 136;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 187 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 374 272;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 374 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 748 544;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 748 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 497 088;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 497 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 994 176;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 994 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 988 352;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 988 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 976 704;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 976 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 953 408;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 953 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 906 816;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 906 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 119 813 632;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 119 813 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 239 627 264;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 239 627 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 479 254 528;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 479 254 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 958 509 056;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 958 509 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 917 018 112;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 917 018 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 834 036 224;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 834 036 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 668 072 448;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 668 072 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 336 144 896;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 336 144 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 672 289 792;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 672 289 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 573 344 579 584;
  • 27) 0,000 000 000 000 573 344 579 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 146 689 159 168;
  • 28) 0,000 000 000 001 146 689 159 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 293 378 318 336;
  • 29) 0,000 000 000 002 293 378 318 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 586 756 636 672;
  • 30) 0,000 000 000 004 586 756 636 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 173 513 273 344;
  • 31) 0,000 000 000 009 173 513 273 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 347 026 546 688;
  • 32) 0,000 000 000 018 347 026 546 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 694 053 093 376;
  • 33) 0,000 000 000 036 694 053 093 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 388 106 186 752;
  • 34) 0,000 000 000 073 388 106 186 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 776 212 373 504;
  • 35) 0,000 000 000 146 776 212 373 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 552 424 747 008;
  • 36) 0,000 000 000 293 552 424 747 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 104 849 494 016;
  • 37) 0,000 000 000 587 104 849 494 016 × 2 = 0 + 0,000 000 001 174 209 698 988 032;
  • 38) 0,000 000 001 174 209 698 988 032 × 2 = 0 + 0,000 000 002 348 419 397 976 064;
  • 39) 0,000 000 002 348 419 397 976 064 × 2 = 0 + 0,000 000 004 696 838 795 952 128;
  • 40) 0,000 000 004 696 838 795 952 128 × 2 = 0 + 0,000 000 009 393 677 591 904 256;
  • 41) 0,000 000 009 393 677 591 904 256 × 2 = 0 + 0,000 000 018 787 355 183 808 512;
  • 42) 0,000 000 018 787 355 183 808 512 × 2 = 0 + 0,000 000 037 574 710 367 617 024;
  • 43) 0,000 000 037 574 710 367 617 024 × 2 = 0 + 0,000 000 075 149 420 735 234 048;
  • 44) 0,000 000 075 149 420 735 234 048 × 2 = 0 + 0,000 000 150 298 841 470 468 096;
  • 45) 0,000 000 150 298 841 470 468 096 × 2 = 0 + 0,000 000 300 597 682 940 936 192;
  • 46) 0,000 000 300 597 682 940 936 192 × 2 = 0 + 0,000 000 601 195 365 881 872 384;
  • 47) 0,000 000 601 195 365 881 872 384 × 2 = 0 + 0,000 001 202 390 731 763 744 768;
  • 48) 0,000 001 202 390 731 763 744 768 × 2 = 0 + 0,000 002 404 781 463 527 489 536;
  • 49) 0,000 002 404 781 463 527 489 536 × 2 = 0 + 0,000 004 809 562 927 054 979 072;
  • 50) 0,000 004 809 562 927 054 979 072 × 2 = 0 + 0,000 009 619 125 854 109 958 144;
  • 51) 0,000 009 619 125 854 109 958 144 × 2 = 0 + 0,000 019 238 251 708 219 916 288;
  • 52) 0,000 019 238 251 708 219 916 288 × 2 = 0 + 0,000 038 476 503 416 439 832 576;
  • 53) 0,000 038 476 503 416 439 832 576 × 2 = 0 + 0,000 076 953 006 832 879 665 152;
  • 54) 0,000 076 953 006 832 879 665 152 × 2 = 0 + 0,000 153 906 013 665 759 330 304;
  • 55) 0,000 153 906 013 665 759 330 304 × 2 = 0 + 0,000 307 812 027 331 518 660 608;
  • 56) 0,000 307 812 027 331 518 660 608 × 2 = 0 + 0,000 615 624 054 663 037 321 216;
  • 57) 0,000 615 624 054 663 037 321 216 × 2 = 0 + 0,001 231 248 109 326 074 642 432;
  • 58) 0,001 231 248 109 326 074 642 432 × 2 = 0 + 0,002 462 496 218 652 149 284 864;
  • 59) 0,002 462 496 218 652 149 284 864 × 2 = 0 + 0,004 924 992 437 304 298 569 728;
  • 60) 0,004 924 992 437 304 298 569 728 × 2 = 0 + 0,009 849 984 874 608 597 139 456;
  • 61) 0,009 849 984 874 608 597 139 456 × 2 = 0 + 0,019 699 969 749 217 194 278 912;
  • 62) 0,019 699 969 749 217 194 278 912 × 2 = 0 + 0,039 399 939 498 434 388 557 824;
  • 63) 0,039 399 939 498 434 388 557 824 × 2 = 0 + 0,078 799 878 996 868 777 115 648;
  • 64) 0,078 799 878 996 868 777 115 648 × 2 = 0 + 0,157 599 757 993 737 554 231 296;
  • 65) 0,157 599 757 993 737 554 231 296 × 2 = 0 + 0,315 199 515 987 475 108 462 592;
  • 66) 0,315 199 515 987 475 108 462 592 × 2 = 0 + 0,630 399 031 974 950 216 925 184;
  • 67) 0,630 399 031 974 950 216 925 184 × 2 = 1 + 0,260 798 063 949 900 433 850 368;
  • 68) 0,260 798 063 949 900 433 850 368 × 2 = 0 + 0,521 596 127 899 800 867 700 736;
  • 69) 0,521 596 127 899 800 867 700 736 × 2 = 1 + 0,043 192 255 799 601 735 401 472;
  • 70) 0,043 192 255 799 601 735 401 472 × 2 = 0 + 0,086 384 511 599 203 470 802 944;
  • 71) 0,086 384 511 599 203 470 802 944 × 2 = 0 + 0,172 769 023 198 406 941 605 888;
  • 72) 0,172 769 023 198 406 941 605 888 × 2 = 0 + 0,345 538 046 396 813 883 211 776;
  • 73) 0,345 538 046 396 813 883 211 776 × 2 = 0 + 0,691 076 092 793 627 766 423 552;
  • 74) 0,691 076 092 793 627 766 423 552 × 2 = 1 + 0,382 152 185 587 255 532 847 104;
  • 75) 0,382 152 185 587 255 532 847 104 × 2 = 0 + 0,764 304 371 174 511 065 694 208;
  • 76) 0,764 304 371 174 511 065 694 208 × 2 = 1 + 0,528 608 742 349 022 131 388 416;
  • 77) 0,528 608 742 349 022 131 388 416 × 2 = 1 + 0,057 217 484 698 044 262 776 832;
  • 78) 0,057 217 484 698 044 262 776 832 × 2 = 0 + 0,114 434 969 396 088 525 553 664;
  • 79) 0,114 434 969 396 088 525 553 664 × 2 = 0 + 0,228 869 938 792 177 051 107 328;
  • 80) 0,228 869 938 792 177 051 107 328 × 2 = 0 + 0,457 739 877 584 354 102 214 656;
  • 81) 0,457 739 877 584 354 102 214 656 × 2 = 0 + 0,915 479 755 168 708 204 429 312;
  • 82) 0,915 479 755 168 708 204 429 312 × 2 = 1 + 0,830 959 510 337 416 408 858 624;
  • 83) 0,830 959 510 337 416 408 858 624 × 2 = 1 + 0,661 919 020 674 832 817 717 248;
  • 84) 0,661 919 020 674 832 817 717 248 × 2 = 1 + 0,323 838 041 349 665 635 434 496;
  • 85) 0,323 838 041 349 665 635 434 496 × 2 = 0 + 0,647 676 082 699 331 270 868 992;
  • 86) 0,647 676 082 699 331 270 868 992 × 2 = 1 + 0,295 352 165 398 662 541 737 984;
  • 87) 0,295 352 165 398 662 541 737 984 × 2 = 0 + 0,590 704 330 797 325 083 475 968;
  • 88) 0,590 704 330 797 325 083 475 968 × 2 = 1 + 0,181 408 661 594 650 166 951 936;
  • 89) 0,181 408 661 594 650 166 951 936 × 2 = 0 + 0,362 817 323 189 300 333 903 872;
  • 90) 0,362 817 323 189 300 333 903 872 × 2 = 0 + 0,725 634 646 378 600 667 807 744;
  • 91) 0,725 634 646 378 600 667 807 744 × 2 = 1 + 0,451 269 292 757 201 335 615 488;
  • 92) 0,451 269 292 757 201 335 615 488 × 2 = 0 + 0,902 538 585 514 402 671 230 976;
  • 93) 0,902 538 585 514 402 671 230 976 × 2 = 1 + 0,805 077 171 028 805 342 461 952;
  • 94) 0,805 077 171 028 805 342 461 952 × 2 = 1 + 0,610 154 342 057 610 684 923 904;
  • 95) 0,610 154 342 057 610 684 923 904 × 2 = 1 + 0,220 308 684 115 221 369 847 808;
  • 96) 0,220 308 684 115 221 369 847 808 × 2 = 0 + 0,440 617 368 230 442 739 695 616;
  • 97) 0,440 617 368 230 442 739 695 616 × 2 = 0 + 0,881 234 736 460 885 479 391 232;
  • 98) 0,881 234 736 460 885 479 391 232 × 2 = 1 + 0,762 469 472 921 770 958 782 464;
  • 99) 0,762 469 472 921 770 958 782 464 × 2 = 1 + 0,524 938 945 843 541 917 564 928;
  • 100) 0,524 938 945 843 541 917 564 928 × 2 = 1 + 0,049 877 891 687 083 835 129 856;
  • 101) 0,049 877 891 687 083 835 129 856 × 2 = 0 + 0,099 755 783 374 167 670 259 712;
  • 102) 0,099 755 783 374 167 670 259 712 × 2 = 0 + 0,199 511 566 748 335 340 519 424;
  • 103) 0,199 511 566 748 335 340 519 424 × 2 = 0 + 0,399 023 133 496 670 681 038 848;
  • 104) 0,399 023 133 496 670 681 038 848 × 2 = 0 + 0,798 046 266 993 341 362 077 696;
  • 105) 0,798 046 266 993 341 362 077 696 × 2 = 1 + 0,596 092 533 986 682 724 155 392;
  • 106) 0,596 092 533 986 682 724 155 392 × 2 = 1 + 0,192 185 067 973 365 448 310 784;
  • 107) 0,192 185 067 973 365 448 310 784 × 2 = 0 + 0,384 370 135 946 730 896 621 568;
  • 108) 0,384 370 135 946 730 896 621 568 × 2 = 0 + 0,768 740 271 893 461 793 243 136;
  • 109) 0,768 740 271 893 461 793 243 136 × 2 = 1 + 0,537 480 543 786 923 586 486 272;
  • 110) 0,537 480 543 786 923 586 486 272 × 2 = 1 + 0,074 961 087 573 847 172 972 544;
  • 111) 0,074 961 087 573 847 172 972 544 × 2 = 0 + 0,149 922 175 147 694 345 945 088;
  • 112) 0,149 922 175 147 694 345 945 088 × 2 = 0 + 0,299 844 350 295 388 691 890 176;
  • 113) 0,299 844 350 295 388 691 890 176 × 2 = 0 + 0,599 688 700 590 777 383 780 352;
  • 114) 0,599 688 700 590 777 383 780 352 × 2 = 1 + 0,199 377 401 181 554 767 560 704;
  • 115) 0,199 377 401 181 554 767 560 704 × 2 = 0 + 0,398 754 802 363 109 535 121 408;
  • 116) 0,398 754 802 363 109 535 121 408 × 2 = 0 + 0,797 509 604 726 219 070 242 816;
  • 117) 0,797 509 604 726 219 070 242 816 × 2 = 1 + 0,595 019 209 452 438 140 485 632;
  • 118) 0,595 019 209 452 438 140 485 632 × 2 = 1 + 0,190 038 418 904 876 280 971 264;
  • 119) 0,190 038 418 904 876 280 971 264 × 2 = 0 + 0,380 076 837 809 752 561 942 528;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 543 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1000 0111 0101 0010 1110 0111 0000 1100 1100 0100 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 543 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1000 0111 0101 0010 1110 0111 0000 1100 1100 0100 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 543 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1000 0111 0101 0010 1110 0111 0000 1100 1100 0100 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1000 0111 0101 0010 1110 0111 0000 1100 1100 0100 110(2) × 20 =

1,0100 0010 1100 0011 1010 1001 0111 0011 1000 0110 0110 0010 0110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1100 0011 1010 1001 0111 0011 1000 0110 0110 0010 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1100 0011 1010 1001 0111 0011 1000 0110 0110 0010 0110 =

0100 0010 1100 0011 1010 1001 0111 0011 1000 0110 0110 0010 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1100 0011 1010 1001 0111 0011 1000 0110 0110 0010 0110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 543 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1100 0011 1010 1001 0111 0011 1000 0110 0110 0010 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 548 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100