0,000 000 000 000 000 000 008 549 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 549(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 549(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 549.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 549 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 098;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 098 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 196;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 196 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 392;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 784;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 568;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 547 136;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 547 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 094 272;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 094 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 188 544;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 188 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 377 088;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 377 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 754 176;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 754 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 508 352;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 508 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 016 704;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 016 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 033 408;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 033 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 066 816;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 066 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 133 632;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 133 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 560 267 264;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 560 267 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 120 534 528;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 120 534 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 241 069 056;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 241 069 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 482 138 112;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 482 138 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 964 276 224;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 964 276 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 928 552 448;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 928 552 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 857 104 896;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 857 104 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 714 209 792;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 714 209 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 428 419 584;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 428 419 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 856 839 168;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 856 839 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 573 713 678 336;
  • 27) 0,000 000 000 000 573 713 678 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 147 427 356 672;
  • 28) 0,000 000 000 001 147 427 356 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 294 854 713 344;
  • 29) 0,000 000 000 002 294 854 713 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 589 709 426 688;
  • 30) 0,000 000 000 004 589 709 426 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 179 418 853 376;
  • 31) 0,000 000 000 009 179 418 853 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 358 837 706 752;
  • 32) 0,000 000 000 018 358 837 706 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 717 675 413 504;
  • 33) 0,000 000 000 036 717 675 413 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 435 350 827 008;
  • 34) 0,000 000 000 073 435 350 827 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 870 701 654 016;
  • 35) 0,000 000 000 146 870 701 654 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 741 403 308 032;
  • 36) 0,000 000 000 293 741 403 308 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 482 806 616 064;
  • 37) 0,000 000 000 587 482 806 616 064 × 2 = 0 + 0,000 000 001 174 965 613 232 128;
  • 38) 0,000 000 001 174 965 613 232 128 × 2 = 0 + 0,000 000 002 349 931 226 464 256;
  • 39) 0,000 000 002 349 931 226 464 256 × 2 = 0 + 0,000 000 004 699 862 452 928 512;
  • 40) 0,000 000 004 699 862 452 928 512 × 2 = 0 + 0,000 000 009 399 724 905 857 024;
  • 41) 0,000 000 009 399 724 905 857 024 × 2 = 0 + 0,000 000 018 799 449 811 714 048;
  • 42) 0,000 000 018 799 449 811 714 048 × 2 = 0 + 0,000 000 037 598 899 623 428 096;
  • 43) 0,000 000 037 598 899 623 428 096 × 2 = 0 + 0,000 000 075 197 799 246 856 192;
  • 44) 0,000 000 075 197 799 246 856 192 × 2 = 0 + 0,000 000 150 395 598 493 712 384;
  • 45) 0,000 000 150 395 598 493 712 384 × 2 = 0 + 0,000 000 300 791 196 987 424 768;
  • 46) 0,000 000 300 791 196 987 424 768 × 2 = 0 + 0,000 000 601 582 393 974 849 536;
  • 47) 0,000 000 601 582 393 974 849 536 × 2 = 0 + 0,000 001 203 164 787 949 699 072;
  • 48) 0,000 001 203 164 787 949 699 072 × 2 = 0 + 0,000 002 406 329 575 899 398 144;
  • 49) 0,000 002 406 329 575 899 398 144 × 2 = 0 + 0,000 004 812 659 151 798 796 288;
  • 50) 0,000 004 812 659 151 798 796 288 × 2 = 0 + 0,000 009 625 318 303 597 592 576;
  • 51) 0,000 009 625 318 303 597 592 576 × 2 = 0 + 0,000 019 250 636 607 195 185 152;
  • 52) 0,000 019 250 636 607 195 185 152 × 2 = 0 + 0,000 038 501 273 214 390 370 304;
  • 53) 0,000 038 501 273 214 390 370 304 × 2 = 0 + 0,000 077 002 546 428 780 740 608;
  • 54) 0,000 077 002 546 428 780 740 608 × 2 = 0 + 0,000 154 005 092 857 561 481 216;
  • 55) 0,000 154 005 092 857 561 481 216 × 2 = 0 + 0,000 308 010 185 715 122 962 432;
  • 56) 0,000 308 010 185 715 122 962 432 × 2 = 0 + 0,000 616 020 371 430 245 924 864;
  • 57) 0,000 616 020 371 430 245 924 864 × 2 = 0 + 0,001 232 040 742 860 491 849 728;
  • 58) 0,001 232 040 742 860 491 849 728 × 2 = 0 + 0,002 464 081 485 720 983 699 456;
  • 59) 0,002 464 081 485 720 983 699 456 × 2 = 0 + 0,004 928 162 971 441 967 398 912;
  • 60) 0,004 928 162 971 441 967 398 912 × 2 = 0 + 0,009 856 325 942 883 934 797 824;
  • 61) 0,009 856 325 942 883 934 797 824 × 2 = 0 + 0,019 712 651 885 767 869 595 648;
  • 62) 0,019 712 651 885 767 869 595 648 × 2 = 0 + 0,039 425 303 771 535 739 191 296;
  • 63) 0,039 425 303 771 535 739 191 296 × 2 = 0 + 0,078 850 607 543 071 478 382 592;
  • 64) 0,078 850 607 543 071 478 382 592 × 2 = 0 + 0,157 701 215 086 142 956 765 184;
  • 65) 0,157 701 215 086 142 956 765 184 × 2 = 0 + 0,315 402 430 172 285 913 530 368;
  • 66) 0,315 402 430 172 285 913 530 368 × 2 = 0 + 0,630 804 860 344 571 827 060 736;
  • 67) 0,630 804 860 344 571 827 060 736 × 2 = 1 + 0,261 609 720 689 143 654 121 472;
  • 68) 0,261 609 720 689 143 654 121 472 × 2 = 0 + 0,523 219 441 378 287 308 242 944;
  • 69) 0,523 219 441 378 287 308 242 944 × 2 = 1 + 0,046 438 882 756 574 616 485 888;
  • 70) 0,046 438 882 756 574 616 485 888 × 2 = 0 + 0,092 877 765 513 149 232 971 776;
  • 71) 0,092 877 765 513 149 232 971 776 × 2 = 0 + 0,185 755 531 026 298 465 943 552;
  • 72) 0,185 755 531 026 298 465 943 552 × 2 = 0 + 0,371 511 062 052 596 931 887 104;
  • 73) 0,371 511 062 052 596 931 887 104 × 2 = 0 + 0,743 022 124 105 193 863 774 208;
  • 74) 0,743 022 124 105 193 863 774 208 × 2 = 1 + 0,486 044 248 210 387 727 548 416;
  • 75) 0,486 044 248 210 387 727 548 416 × 2 = 0 + 0,972 088 496 420 775 455 096 832;
  • 76) 0,972 088 496 420 775 455 096 832 × 2 = 1 + 0,944 176 992 841 550 910 193 664;
  • 77) 0,944 176 992 841 550 910 193 664 × 2 = 1 + 0,888 353 985 683 101 820 387 328;
  • 78) 0,888 353 985 683 101 820 387 328 × 2 = 1 + 0,776 707 971 366 203 640 774 656;
  • 79) 0,776 707 971 366 203 640 774 656 × 2 = 1 + 0,553 415 942 732 407 281 549 312;
  • 80) 0,553 415 942 732 407 281 549 312 × 2 = 1 + 0,106 831 885 464 814 563 098 624;
  • 81) 0,106 831 885 464 814 563 098 624 × 2 = 0 + 0,213 663 770 929 629 126 197 248;
  • 82) 0,213 663 770 929 629 126 197 248 × 2 = 0 + 0,427 327 541 859 258 252 394 496;
  • 83) 0,427 327 541 859 258 252 394 496 × 2 = 0 + 0,854 655 083 718 516 504 788 992;
  • 84) 0,854 655 083 718 516 504 788 992 × 2 = 1 + 0,709 310 167 437 033 009 577 984;
  • 85) 0,709 310 167 437 033 009 577 984 × 2 = 1 + 0,418 620 334 874 066 019 155 968;
  • 86) 0,418 620 334 874 066 019 155 968 × 2 = 0 + 0,837 240 669 748 132 038 311 936;
  • 87) 0,837 240 669 748 132 038 311 936 × 2 = 1 + 0,674 481 339 496 264 076 623 872;
  • 88) 0,674 481 339 496 264 076 623 872 × 2 = 1 + 0,348 962 678 992 528 153 247 744;
  • 89) 0,348 962 678 992 528 153 247 744 × 2 = 0 + 0,697 925 357 985 056 306 495 488;
  • 90) 0,697 925 357 985 056 306 495 488 × 2 = 1 + 0,395 850 715 970 112 612 990 976;
  • 91) 0,395 850 715 970 112 612 990 976 × 2 = 0 + 0,791 701 431 940 225 225 981 952;
  • 92) 0,791 701 431 940 225 225 981 952 × 2 = 1 + 0,583 402 863 880 450 451 963 904;
  • 93) 0,583 402 863 880 450 451 963 904 × 2 = 1 + 0,166 805 727 760 900 903 927 808;
  • 94) 0,166 805 727 760 900 903 927 808 × 2 = 0 + 0,333 611 455 521 801 807 855 616;
  • 95) 0,333 611 455 521 801 807 855 616 × 2 = 0 + 0,667 222 911 043 603 615 711 232;
  • 96) 0,667 222 911 043 603 615 711 232 × 2 = 1 + 0,334 445 822 087 207 231 422 464;
  • 97) 0,334 445 822 087 207 231 422 464 × 2 = 0 + 0,668 891 644 174 414 462 844 928;
  • 98) 0,668 891 644 174 414 462 844 928 × 2 = 1 + 0,337 783 288 348 828 925 689 856;
  • 99) 0,337 783 288 348 828 925 689 856 × 2 = 0 + 0,675 566 576 697 657 851 379 712;
  • 100) 0,675 566 576 697 657 851 379 712 × 2 = 1 + 0,351 133 153 395 315 702 759 424;
  • 101) 0,351 133 153 395 315 702 759 424 × 2 = 0 + 0,702 266 306 790 631 405 518 848;
  • 102) 0,702 266 306 790 631 405 518 848 × 2 = 1 + 0,404 532 613 581 262 811 037 696;
  • 103) 0,404 532 613 581 262 811 037 696 × 2 = 0 + 0,809 065 227 162 525 622 075 392;
  • 104) 0,809 065 227 162 525 622 075 392 × 2 = 1 + 0,618 130 454 325 051 244 150 784;
  • 105) 0,618 130 454 325 051 244 150 784 × 2 = 1 + 0,236 260 908 650 102 488 301 568;
  • 106) 0,236 260 908 650 102 488 301 568 × 2 = 0 + 0,472 521 817 300 204 976 603 136;
  • 107) 0,472 521 817 300 204 976 603 136 × 2 = 0 + 0,945 043 634 600 409 953 206 272;
  • 108) 0,945 043 634 600 409 953 206 272 × 2 = 1 + 0,890 087 269 200 819 906 412 544;
  • 109) 0,890 087 269 200 819 906 412 544 × 2 = 1 + 0,780 174 538 401 639 812 825 088;
  • 110) 0,780 174 538 401 639 812 825 088 × 2 = 1 + 0,560 349 076 803 279 625 650 176;
  • 111) 0,560 349 076 803 279 625 650 176 × 2 = 1 + 0,120 698 153 606 559 251 300 352;
  • 112) 0,120 698 153 606 559 251 300 352 × 2 = 0 + 0,241 396 307 213 118 502 600 704;
  • 113) 0,241 396 307 213 118 502 600 704 × 2 = 0 + 0,482 792 614 426 237 005 201 408;
  • 114) 0,482 792 614 426 237 005 201 408 × 2 = 0 + 0,965 585 228 852 474 010 402 816;
  • 115) 0,965 585 228 852 474 010 402 816 × 2 = 1 + 0,931 170 457 704 948 020 805 632;
  • 116) 0,931 170 457 704 948 020 805 632 × 2 = 1 + 0,862 340 915 409 896 041 611 264;
  • 117) 0,862 340 915 409 896 041 611 264 × 2 = 1 + 0,724 681 830 819 792 083 222 528;
  • 118) 0,724 681 830 819 792 083 222 528 × 2 = 1 + 0,449 363 661 639 584 166 445 056;
  • 119) 0,449 363 661 639 584 166 445 056 × 2 = 0 + 0,898 727 323 279 168 332 890 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 549(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1111 0001 1011 0101 1001 0101 0101 1001 1110 0011 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 549(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1111 0001 1011 0101 1001 0101 0101 1001 1110 0011 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 549(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1111 0001 1011 0101 1001 0101 0101 1001 1110 0011 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1111 0001 1011 0101 1001 0101 0101 1001 1110 0011 110(2) × 20 =

1,0100 0010 1111 1000 1101 1010 1100 1010 1010 1100 1111 0001 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1111 1000 1101 1010 1100 1010 1010 1100 1111 0001 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1111 1000 1101 1010 1100 1010 1010 1100 1111 0001 1110 =

0100 0010 1111 1000 1101 1010 1100 1010 1010 1100 1111 0001 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1111 1000 1101 1010 1100 1010 1010 1100 1111 0001 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 549 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1111 1000 1101 1010 1100 1010 1010 1100 1111 0001 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100