0,000 000 000 000 000 000 008 554 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 554(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 554(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 554.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 554 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 108;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 108 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 216;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 432;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 864;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 728;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 547 456;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 547 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 094 912;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 094 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 189 824;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 189 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 379 648;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 379 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 759 296;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 759 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 518 592;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 518 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 037 184;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 037 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 074 368;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 074 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 148 736;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 148 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 297 472;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 297 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 560 594 944;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 560 594 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 121 189 888;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 121 189 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 242 379 776;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 242 379 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 484 759 552;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 484 759 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 969 519 104;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 969 519 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 939 038 208;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 939 038 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 878 076 416;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 878 076 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 756 152 832;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 756 152 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 512 305 664;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 512 305 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 287 024 611 328;
  • 26) 0,000 000 000 000 287 024 611 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 574 049 222 656;
  • 27) 0,000 000 000 000 574 049 222 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 148 098 445 312;
  • 28) 0,000 000 000 001 148 098 445 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 296 196 890 624;
  • 29) 0,000 000 000 002 296 196 890 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 592 393 781 248;
  • 30) 0,000 000 000 004 592 393 781 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 184 787 562 496;
  • 31) 0,000 000 000 009 184 787 562 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 369 575 124 992;
  • 32) 0,000 000 000 018 369 575 124 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 739 150 249 984;
  • 33) 0,000 000 000 036 739 150 249 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 478 300 499 968;
  • 34) 0,000 000 000 073 478 300 499 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 956 600 999 936;
  • 35) 0,000 000 000 146 956 600 999 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 913 201 999 872;
  • 36) 0,000 000 000 293 913 201 999 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 826 403 999 744;
  • 37) 0,000 000 000 587 826 403 999 744 × 2 = 0 + 0,000 000 001 175 652 807 999 488;
  • 38) 0,000 000 001 175 652 807 999 488 × 2 = 0 + 0,000 000 002 351 305 615 998 976;
  • 39) 0,000 000 002 351 305 615 998 976 × 2 = 0 + 0,000 000 004 702 611 231 997 952;
  • 40) 0,000 000 004 702 611 231 997 952 × 2 = 0 + 0,000 000 009 405 222 463 995 904;
  • 41) 0,000 000 009 405 222 463 995 904 × 2 = 0 + 0,000 000 018 810 444 927 991 808;
  • 42) 0,000 000 018 810 444 927 991 808 × 2 = 0 + 0,000 000 037 620 889 855 983 616;
  • 43) 0,000 000 037 620 889 855 983 616 × 2 = 0 + 0,000 000 075 241 779 711 967 232;
  • 44) 0,000 000 075 241 779 711 967 232 × 2 = 0 + 0,000 000 150 483 559 423 934 464;
  • 45) 0,000 000 150 483 559 423 934 464 × 2 = 0 + 0,000 000 300 967 118 847 868 928;
  • 46) 0,000 000 300 967 118 847 868 928 × 2 = 0 + 0,000 000 601 934 237 695 737 856;
  • 47) 0,000 000 601 934 237 695 737 856 × 2 = 0 + 0,000 001 203 868 475 391 475 712;
  • 48) 0,000 001 203 868 475 391 475 712 × 2 = 0 + 0,000 002 407 736 950 782 951 424;
  • 49) 0,000 002 407 736 950 782 951 424 × 2 = 0 + 0,000 004 815 473 901 565 902 848;
  • 50) 0,000 004 815 473 901 565 902 848 × 2 = 0 + 0,000 009 630 947 803 131 805 696;
  • 51) 0,000 009 630 947 803 131 805 696 × 2 = 0 + 0,000 019 261 895 606 263 611 392;
  • 52) 0,000 019 261 895 606 263 611 392 × 2 = 0 + 0,000 038 523 791 212 527 222 784;
  • 53) 0,000 038 523 791 212 527 222 784 × 2 = 0 + 0,000 077 047 582 425 054 445 568;
  • 54) 0,000 077 047 582 425 054 445 568 × 2 = 0 + 0,000 154 095 164 850 108 891 136;
  • 55) 0,000 154 095 164 850 108 891 136 × 2 = 0 + 0,000 308 190 329 700 217 782 272;
  • 56) 0,000 308 190 329 700 217 782 272 × 2 = 0 + 0,000 616 380 659 400 435 564 544;
  • 57) 0,000 616 380 659 400 435 564 544 × 2 = 0 + 0,001 232 761 318 800 871 129 088;
  • 58) 0,001 232 761 318 800 871 129 088 × 2 = 0 + 0,002 465 522 637 601 742 258 176;
  • 59) 0,002 465 522 637 601 742 258 176 × 2 = 0 + 0,004 931 045 275 203 484 516 352;
  • 60) 0,004 931 045 275 203 484 516 352 × 2 = 0 + 0,009 862 090 550 406 969 032 704;
  • 61) 0,009 862 090 550 406 969 032 704 × 2 = 0 + 0,019 724 181 100 813 938 065 408;
  • 62) 0,019 724 181 100 813 938 065 408 × 2 = 0 + 0,039 448 362 201 627 876 130 816;
  • 63) 0,039 448 362 201 627 876 130 816 × 2 = 0 + 0,078 896 724 403 255 752 261 632;
  • 64) 0,078 896 724 403 255 752 261 632 × 2 = 0 + 0,157 793 448 806 511 504 523 264;
  • 65) 0,157 793 448 806 511 504 523 264 × 2 = 0 + 0,315 586 897 613 023 009 046 528;
  • 66) 0,315 586 897 613 023 009 046 528 × 2 = 0 + 0,631 173 795 226 046 018 093 056;
  • 67) 0,631 173 795 226 046 018 093 056 × 2 = 1 + 0,262 347 590 452 092 036 186 112;
  • 68) 0,262 347 590 452 092 036 186 112 × 2 = 0 + 0,524 695 180 904 184 072 372 224;
  • 69) 0,524 695 180 904 184 072 372 224 × 2 = 1 + 0,049 390 361 808 368 144 744 448;
  • 70) 0,049 390 361 808 368 144 744 448 × 2 = 0 + 0,098 780 723 616 736 289 488 896;
  • 71) 0,098 780 723 616 736 289 488 896 × 2 = 0 + 0,197 561 447 233 472 578 977 792;
  • 72) 0,197 561 447 233 472 578 977 792 × 2 = 0 + 0,395 122 894 466 945 157 955 584;
  • 73) 0,395 122 894 466 945 157 955 584 × 2 = 0 + 0,790 245 788 933 890 315 911 168;
  • 74) 0,790 245 788 933 890 315 911 168 × 2 = 1 + 0,580 491 577 867 780 631 822 336;
  • 75) 0,580 491 577 867 780 631 822 336 × 2 = 1 + 0,160 983 155 735 561 263 644 672;
  • 76) 0,160 983 155 735 561 263 644 672 × 2 = 0 + 0,321 966 311 471 122 527 289 344;
  • 77) 0,321 966 311 471 122 527 289 344 × 2 = 0 + 0,643 932 622 942 245 054 578 688;
  • 78) 0,643 932 622 942 245 054 578 688 × 2 = 1 + 0,287 865 245 884 490 109 157 376;
  • 79) 0,287 865 245 884 490 109 157 376 × 2 = 0 + 0,575 730 491 768 980 218 314 752;
  • 80) 0,575 730 491 768 980 218 314 752 × 2 = 1 + 0,151 460 983 537 960 436 629 504;
  • 81) 0,151 460 983 537 960 436 629 504 × 2 = 0 + 0,302 921 967 075 920 873 259 008;
  • 82) 0,302 921 967 075 920 873 259 008 × 2 = 0 + 0,605 843 934 151 841 746 518 016;
  • 83) 0,605 843 934 151 841 746 518 016 × 2 = 1 + 0,211 687 868 303 683 493 036 032;
  • 84) 0,211 687 868 303 683 493 036 032 × 2 = 0 + 0,423 375 736 607 366 986 072 064;
  • 85) 0,423 375 736 607 366 986 072 064 × 2 = 0 + 0,846 751 473 214 733 972 144 128;
  • 86) 0,846 751 473 214 733 972 144 128 × 2 = 1 + 0,693 502 946 429 467 944 288 256;
  • 87) 0,693 502 946 429 467 944 288 256 × 2 = 1 + 0,387 005 892 858 935 888 576 512;
  • 88) 0,387 005 892 858 935 888 576 512 × 2 = 0 + 0,774 011 785 717 871 777 153 024;
  • 89) 0,774 011 785 717 871 777 153 024 × 2 = 1 + 0,548 023 571 435 743 554 306 048;
  • 90) 0,548 023 571 435 743 554 306 048 × 2 = 1 + 0,096 047 142 871 487 108 612 096;
  • 91) 0,096 047 142 871 487 108 612 096 × 2 = 0 + 0,192 094 285 742 974 217 224 192;
  • 92) 0,192 094 285 742 974 217 224 192 × 2 = 0 + 0,384 188 571 485 948 434 448 384;
  • 93) 0,384 188 571 485 948 434 448 384 × 2 = 0 + 0,768 377 142 971 896 868 896 768;
  • 94) 0,768 377 142 971 896 868 896 768 × 2 = 1 + 0,536 754 285 943 793 737 793 536;
  • 95) 0,536 754 285 943 793 737 793 536 × 2 = 1 + 0,073 508 571 887 587 475 587 072;
  • 96) 0,073 508 571 887 587 475 587 072 × 2 = 0 + 0,147 017 143 775 174 951 174 144;
  • 97) 0,147 017 143 775 174 951 174 144 × 2 = 0 + 0,294 034 287 550 349 902 348 288;
  • 98) 0,294 034 287 550 349 902 348 288 × 2 = 0 + 0,588 068 575 100 699 804 696 576;
  • 99) 0,588 068 575 100 699 804 696 576 × 2 = 1 + 0,176 137 150 201 399 609 393 152;
  • 100) 0,176 137 150 201 399 609 393 152 × 2 = 0 + 0,352 274 300 402 799 218 786 304;
  • 101) 0,352 274 300 402 799 218 786 304 × 2 = 0 + 0,704 548 600 805 598 437 572 608;
  • 102) 0,704 548 600 805 598 437 572 608 × 2 = 1 + 0,409 097 201 611 196 875 145 216;
  • 103) 0,409 097 201 611 196 875 145 216 × 2 = 0 + 0,818 194 403 222 393 750 290 432;
  • 104) 0,818 194 403 222 393 750 290 432 × 2 = 1 + 0,636 388 806 444 787 500 580 864;
  • 105) 0,636 388 806 444 787 500 580 864 × 2 = 1 + 0,272 777 612 889 575 001 161 728;
  • 106) 0,272 777 612 889 575 001 161 728 × 2 = 0 + 0,545 555 225 779 150 002 323 456;
  • 107) 0,545 555 225 779 150 002 323 456 × 2 = 1 + 0,091 110 451 558 300 004 646 912;
  • 108) 0,091 110 451 558 300 004 646 912 × 2 = 0 + 0,182 220 903 116 600 009 293 824;
  • 109) 0,182 220 903 116 600 009 293 824 × 2 = 0 + 0,364 441 806 233 200 018 587 648;
  • 110) 0,364 441 806 233 200 018 587 648 × 2 = 0 + 0,728 883 612 466 400 037 175 296;
  • 111) 0,728 883 612 466 400 037 175 296 × 2 = 1 + 0,457 767 224 932 800 074 350 592;
  • 112) 0,457 767 224 932 800 074 350 592 × 2 = 0 + 0,915 534 449 865 600 148 701 184;
  • 113) 0,915 534 449 865 600 148 701 184 × 2 = 1 + 0,831 068 899 731 200 297 402 368;
  • 114) 0,831 068 899 731 200 297 402 368 × 2 = 1 + 0,662 137 799 462 400 594 804 736;
  • 115) 0,662 137 799 462 400 594 804 736 × 2 = 1 + 0,324 275 598 924 801 189 609 472;
  • 116) 0,324 275 598 924 801 189 609 472 × 2 = 0 + 0,648 551 197 849 602 379 218 944;
  • 117) 0,648 551 197 849 602 379 218 944 × 2 = 1 + 0,297 102 395 699 204 758 437 888;
  • 118) 0,297 102 395 699 204 758 437 888 × 2 = 0 + 0,594 204 791 398 409 516 875 776;
  • 119) 0,594 204 791 398 409 516 875 776 × 2 = 1 + 0,188 409 582 796 819 033 751 552;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 554(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0101 0010 0110 1100 0110 0010 0101 1010 0010 1110 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 554(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0101 0010 0110 1100 0110 0010 0101 1010 0010 1110 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 554(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0101 0010 0110 1100 0110 0010 0101 1010 0010 1110 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0101 0010 0110 1100 0110 0010 0101 1010 0010 1110 101(2) × 20 =

1,0100 0011 0010 1001 0011 0110 0011 0001 0010 1101 0001 0111 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0011 0010 1001 0011 0110 0011 0001 0010 1101 0001 0111 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0011 0010 1001 0011 0110 0011 0001 0010 1101 0001 0111 0101 =

0100 0011 0010 1001 0011 0110 0011 0001 0010 1101 0001 0111 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0011 0010 1001 0011 0110 0011 0001 0010 1101 0001 0111 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 554 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0011 0010 1001 0011 0110 0011 0001 0010 1101 0001 0111 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 535 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100