0,000 000 000 000 000 000 008 555 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 555(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 555(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 555.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 555 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 11;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 11 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 22;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 22 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 44;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 88;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 76;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 547 52;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 547 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 095 04;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 095 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 190 08;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 190 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 380 16;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 380 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 760 32;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 760 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 520 64;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 520 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 041 28;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 041 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 082 56;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 082 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 165 12;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 165 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 330 24;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 330 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 560 660 48;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 560 660 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 121 320 96;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 121 320 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 242 641 92;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 242 641 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 485 283 84;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 485 283 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 970 567 68;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 970 567 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 941 135 36;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 941 135 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 882 270 72;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 882 270 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 764 541 44;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 764 541 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 529 082 88;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 529 082 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 287 058 165 76;
  • 26) 0,000 000 000 000 287 058 165 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 574 116 331 52;
  • 27) 0,000 000 000 000 574 116 331 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 148 232 663 04;
  • 28) 0,000 000 000 001 148 232 663 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 296 465 326 08;
  • 29) 0,000 000 000 002 296 465 326 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 592 930 652 16;
  • 30) 0,000 000 000 004 592 930 652 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 185 861 304 32;
  • 31) 0,000 000 000 009 185 861 304 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 371 722 608 64;
  • 32) 0,000 000 000 018 371 722 608 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 743 445 217 28;
  • 33) 0,000 000 000 036 743 445 217 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 486 890 434 56;
  • 34) 0,000 000 000 073 486 890 434 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 973 780 869 12;
  • 35) 0,000 000 000 146 973 780 869 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 947 561 738 24;
  • 36) 0,000 000 000 293 947 561 738 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 895 123 476 48;
  • 37) 0,000 000 000 587 895 123 476 48 × 2 = 0 + 0,000 000 001 175 790 246 952 96;
  • 38) 0,000 000 001 175 790 246 952 96 × 2 = 0 + 0,000 000 002 351 580 493 905 92;
  • 39) 0,000 000 002 351 580 493 905 92 × 2 = 0 + 0,000 000 004 703 160 987 811 84;
  • 40) 0,000 000 004 703 160 987 811 84 × 2 = 0 + 0,000 000 009 406 321 975 623 68;
  • 41) 0,000 000 009 406 321 975 623 68 × 2 = 0 + 0,000 000 018 812 643 951 247 36;
  • 42) 0,000 000 018 812 643 951 247 36 × 2 = 0 + 0,000 000 037 625 287 902 494 72;
  • 43) 0,000 000 037 625 287 902 494 72 × 2 = 0 + 0,000 000 075 250 575 804 989 44;
  • 44) 0,000 000 075 250 575 804 989 44 × 2 = 0 + 0,000 000 150 501 151 609 978 88;
  • 45) 0,000 000 150 501 151 609 978 88 × 2 = 0 + 0,000 000 301 002 303 219 957 76;
  • 46) 0,000 000 301 002 303 219 957 76 × 2 = 0 + 0,000 000 602 004 606 439 915 52;
  • 47) 0,000 000 602 004 606 439 915 52 × 2 = 0 + 0,000 001 204 009 212 879 831 04;
  • 48) 0,000 001 204 009 212 879 831 04 × 2 = 0 + 0,000 002 408 018 425 759 662 08;
  • 49) 0,000 002 408 018 425 759 662 08 × 2 = 0 + 0,000 004 816 036 851 519 324 16;
  • 50) 0,000 004 816 036 851 519 324 16 × 2 = 0 + 0,000 009 632 073 703 038 648 32;
  • 51) 0,000 009 632 073 703 038 648 32 × 2 = 0 + 0,000 019 264 147 406 077 296 64;
  • 52) 0,000 019 264 147 406 077 296 64 × 2 = 0 + 0,000 038 528 294 812 154 593 28;
  • 53) 0,000 038 528 294 812 154 593 28 × 2 = 0 + 0,000 077 056 589 624 309 186 56;
  • 54) 0,000 077 056 589 624 309 186 56 × 2 = 0 + 0,000 154 113 179 248 618 373 12;
  • 55) 0,000 154 113 179 248 618 373 12 × 2 = 0 + 0,000 308 226 358 497 236 746 24;
  • 56) 0,000 308 226 358 497 236 746 24 × 2 = 0 + 0,000 616 452 716 994 473 492 48;
  • 57) 0,000 616 452 716 994 473 492 48 × 2 = 0 + 0,001 232 905 433 988 946 984 96;
  • 58) 0,001 232 905 433 988 946 984 96 × 2 = 0 + 0,002 465 810 867 977 893 969 92;
  • 59) 0,002 465 810 867 977 893 969 92 × 2 = 0 + 0,004 931 621 735 955 787 939 84;
  • 60) 0,004 931 621 735 955 787 939 84 × 2 = 0 + 0,009 863 243 471 911 575 879 68;
  • 61) 0,009 863 243 471 911 575 879 68 × 2 = 0 + 0,019 726 486 943 823 151 759 36;
  • 62) 0,019 726 486 943 823 151 759 36 × 2 = 0 + 0,039 452 973 887 646 303 518 72;
  • 63) 0,039 452 973 887 646 303 518 72 × 2 = 0 + 0,078 905 947 775 292 607 037 44;
  • 64) 0,078 905 947 775 292 607 037 44 × 2 = 0 + 0,157 811 895 550 585 214 074 88;
  • 65) 0,157 811 895 550 585 214 074 88 × 2 = 0 + 0,315 623 791 101 170 428 149 76;
  • 66) 0,315 623 791 101 170 428 149 76 × 2 = 0 + 0,631 247 582 202 340 856 299 52;
  • 67) 0,631 247 582 202 340 856 299 52 × 2 = 1 + 0,262 495 164 404 681 712 599 04;
  • 68) 0,262 495 164 404 681 712 599 04 × 2 = 0 + 0,524 990 328 809 363 425 198 08;
  • 69) 0,524 990 328 809 363 425 198 08 × 2 = 1 + 0,049 980 657 618 726 850 396 16;
  • 70) 0,049 980 657 618 726 850 396 16 × 2 = 0 + 0,099 961 315 237 453 700 792 32;
  • 71) 0,099 961 315 237 453 700 792 32 × 2 = 0 + 0,199 922 630 474 907 401 584 64;
  • 72) 0,199 922 630 474 907 401 584 64 × 2 = 0 + 0,399 845 260 949 814 803 169 28;
  • 73) 0,399 845 260 949 814 803 169 28 × 2 = 0 + 0,799 690 521 899 629 606 338 56;
  • 74) 0,799 690 521 899 629 606 338 56 × 2 = 1 + 0,599 381 043 799 259 212 677 12;
  • 75) 0,599 381 043 799 259 212 677 12 × 2 = 1 + 0,198 762 087 598 518 425 354 24;
  • 76) 0,198 762 087 598 518 425 354 24 × 2 = 0 + 0,397 524 175 197 036 850 708 48;
  • 77) 0,397 524 175 197 036 850 708 48 × 2 = 0 + 0,795 048 350 394 073 701 416 96;
  • 78) 0,795 048 350 394 073 701 416 96 × 2 = 1 + 0,590 096 700 788 147 402 833 92;
  • 79) 0,590 096 700 788 147 402 833 92 × 2 = 1 + 0,180 193 401 576 294 805 667 84;
  • 80) 0,180 193 401 576 294 805 667 84 × 2 = 0 + 0,360 386 803 152 589 611 335 68;
  • 81) 0,360 386 803 152 589 611 335 68 × 2 = 0 + 0,720 773 606 305 179 222 671 36;
  • 82) 0,720 773 606 305 179 222 671 36 × 2 = 1 + 0,441 547 212 610 358 445 342 72;
  • 83) 0,441 547 212 610 358 445 342 72 × 2 = 0 + 0,883 094 425 220 716 890 685 44;
  • 84) 0,883 094 425 220 716 890 685 44 × 2 = 1 + 0,766 188 850 441 433 781 370 88;
  • 85) 0,766 188 850 441 433 781 370 88 × 2 = 1 + 0,532 377 700 882 867 562 741 76;
  • 86) 0,532 377 700 882 867 562 741 76 × 2 = 1 + 0,064 755 401 765 735 125 483 52;
  • 87) 0,064 755 401 765 735 125 483 52 × 2 = 0 + 0,129 510 803 531 470 250 967 04;
  • 88) 0,129 510 803 531 470 250 967 04 × 2 = 0 + 0,259 021 607 062 940 501 934 08;
  • 89) 0,259 021 607 062 940 501 934 08 × 2 = 0 + 0,518 043 214 125 881 003 868 16;
  • 90) 0,518 043 214 125 881 003 868 16 × 2 = 1 + 0,036 086 428 251 762 007 736 32;
  • 91) 0,036 086 428 251 762 007 736 32 × 2 = 0 + 0,072 172 856 503 524 015 472 64;
  • 92) 0,072 172 856 503 524 015 472 64 × 2 = 0 + 0,144 345 713 007 048 030 945 28;
  • 93) 0,144 345 713 007 048 030 945 28 × 2 = 0 + 0,288 691 426 014 096 061 890 56;
  • 94) 0,288 691 426 014 096 061 890 56 × 2 = 0 + 0,577 382 852 028 192 123 781 12;
  • 95) 0,577 382 852 028 192 123 781 12 × 2 = 1 + 0,154 765 704 056 384 247 562 24;
  • 96) 0,154 765 704 056 384 247 562 24 × 2 = 0 + 0,309 531 408 112 768 495 124 48;
  • 97) 0,309 531 408 112 768 495 124 48 × 2 = 0 + 0,619 062 816 225 536 990 248 96;
  • 98) 0,619 062 816 225 536 990 248 96 × 2 = 1 + 0,238 125 632 451 073 980 497 92;
  • 99) 0,238 125 632 451 073 980 497 92 × 2 = 0 + 0,476 251 264 902 147 960 995 84;
  • 100) 0,476 251 264 902 147 960 995 84 × 2 = 0 + 0,952 502 529 804 295 921 991 68;
  • 101) 0,952 502 529 804 295 921 991 68 × 2 = 1 + 0,905 005 059 608 591 843 983 36;
  • 102) 0,905 005 059 608 591 843 983 36 × 2 = 1 + 0,810 010 119 217 183 687 966 72;
  • 103) 0,810 010 119 217 183 687 966 72 × 2 = 1 + 0,620 020 238 434 367 375 933 44;
  • 104) 0,620 020 238 434 367 375 933 44 × 2 = 1 + 0,240 040 476 868 734 751 866 88;
  • 105) 0,240 040 476 868 734 751 866 88 × 2 = 0 + 0,480 080 953 737 469 503 733 76;
  • 106) 0,480 080 953 737 469 503 733 76 × 2 = 0 + 0,960 161 907 474 939 007 467 52;
  • 107) 0,960 161 907 474 939 007 467 52 × 2 = 1 + 0,920 323 814 949 878 014 935 04;
  • 108) 0,920 323 814 949 878 014 935 04 × 2 = 1 + 0,840 647 629 899 756 029 870 08;
  • 109) 0,840 647 629 899 756 029 870 08 × 2 = 1 + 0,681 295 259 799 512 059 740 16;
  • 110) 0,681 295 259 799 512 059 740 16 × 2 = 1 + 0,362 590 519 599 024 119 480 32;
  • 111) 0,362 590 519 599 024 119 480 32 × 2 = 0 + 0,725 181 039 198 048 238 960 64;
  • 112) 0,725 181 039 198 048 238 960 64 × 2 = 1 + 0,450 362 078 396 096 477 921 28;
  • 113) 0,450 362 078 396 096 477 921 28 × 2 = 0 + 0,900 724 156 792 192 955 842 56;
  • 114) 0,900 724 156 792 192 955 842 56 × 2 = 1 + 0,801 448 313 584 385 911 685 12;
  • 115) 0,801 448 313 584 385 911 685 12 × 2 = 1 + 0,602 896 627 168 771 823 370 24;
  • 116) 0,602 896 627 168 771 823 370 24 × 2 = 1 + 0,205 793 254 337 543 646 740 48;
  • 117) 0,205 793 254 337 543 646 740 48 × 2 = 0 + 0,411 586 508 675 087 293 480 96;
  • 118) 0,411 586 508 675 087 293 480 96 × 2 = 0 + 0,823 173 017 350 174 586 961 92;
  • 119) 0,823 173 017 350 174 586 961 92 × 2 = 1 + 0,646 346 034 700 349 173 923 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 555(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0110 0101 1100 0100 0010 0100 1111 0011 1101 0111 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 555(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0110 0101 1100 0100 0010 0100 1111 0011 1101 0111 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 555(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0110 0101 1100 0100 0010 0100 1111 0011 1101 0111 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0110 0101 1100 0100 0010 0100 1111 0011 1101 0111 001(2) × 20 =

1,0100 0011 0011 0010 1110 0010 0001 0010 0111 1001 1110 1011 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0011 0011 0010 1110 0010 0001 0010 0111 1001 1110 1011 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0011 0011 0010 1110 0010 0001 0010 0111 1001 1110 1011 1001 =

0100 0011 0011 0010 1110 0010 0001 0010 0111 1001 1110 1011 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0011 0011 0010 1110 0010 0001 0010 0111 1001 1110 1011 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 555 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0011 0011 0010 1110 0010 0001 0010 0111 1001 1110 1011 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100