0,000 000 000 000 000 000 008 556 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 556(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 556(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 556.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 556 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 112;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 224;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 448;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 896;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 792;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 547 584;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 547 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 095 168;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 095 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 190 336;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 190 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 380 672;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 380 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 761 344;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 761 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 522 688;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 522 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 045 376;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 045 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 090 752;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 090 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 181 504;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 181 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 363 008;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 363 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 560 726 016;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 560 726 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 121 452 032;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 121 452 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 242 904 064;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 242 904 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 485 808 128;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 485 808 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 971 616 256;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 971 616 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 943 232 512;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 943 232 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 886 465 024;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 886 465 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 772 930 048;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 772 930 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 545 860 096;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 545 860 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 287 091 720 192;
  • 26) 0,000 000 000 000 287 091 720 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 574 183 440 384;
  • 27) 0,000 000 000 000 574 183 440 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 148 366 880 768;
  • 28) 0,000 000 000 001 148 366 880 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 296 733 761 536;
  • 29) 0,000 000 000 002 296 733 761 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 593 467 523 072;
  • 30) 0,000 000 000 004 593 467 523 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 186 935 046 144;
  • 31) 0,000 000 000 009 186 935 046 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 373 870 092 288;
  • 32) 0,000 000 000 018 373 870 092 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 747 740 184 576;
  • 33) 0,000 000 000 036 747 740 184 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 495 480 369 152;
  • 34) 0,000 000 000 073 495 480 369 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 990 960 738 304;
  • 35) 0,000 000 000 146 990 960 738 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 981 921 476 608;
  • 36) 0,000 000 000 293 981 921 476 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 963 842 953 216;
  • 37) 0,000 000 000 587 963 842 953 216 × 2 = 0 + 0,000 000 001 175 927 685 906 432;
  • 38) 0,000 000 001 175 927 685 906 432 × 2 = 0 + 0,000 000 002 351 855 371 812 864;
  • 39) 0,000 000 002 351 855 371 812 864 × 2 = 0 + 0,000 000 004 703 710 743 625 728;
  • 40) 0,000 000 004 703 710 743 625 728 × 2 = 0 + 0,000 000 009 407 421 487 251 456;
  • 41) 0,000 000 009 407 421 487 251 456 × 2 = 0 + 0,000 000 018 814 842 974 502 912;
  • 42) 0,000 000 018 814 842 974 502 912 × 2 = 0 + 0,000 000 037 629 685 949 005 824;
  • 43) 0,000 000 037 629 685 949 005 824 × 2 = 0 + 0,000 000 075 259 371 898 011 648;
  • 44) 0,000 000 075 259 371 898 011 648 × 2 = 0 + 0,000 000 150 518 743 796 023 296;
  • 45) 0,000 000 150 518 743 796 023 296 × 2 = 0 + 0,000 000 301 037 487 592 046 592;
  • 46) 0,000 000 301 037 487 592 046 592 × 2 = 0 + 0,000 000 602 074 975 184 093 184;
  • 47) 0,000 000 602 074 975 184 093 184 × 2 = 0 + 0,000 001 204 149 950 368 186 368;
  • 48) 0,000 001 204 149 950 368 186 368 × 2 = 0 + 0,000 002 408 299 900 736 372 736;
  • 49) 0,000 002 408 299 900 736 372 736 × 2 = 0 + 0,000 004 816 599 801 472 745 472;
  • 50) 0,000 004 816 599 801 472 745 472 × 2 = 0 + 0,000 009 633 199 602 945 490 944;
  • 51) 0,000 009 633 199 602 945 490 944 × 2 = 0 + 0,000 019 266 399 205 890 981 888;
  • 52) 0,000 019 266 399 205 890 981 888 × 2 = 0 + 0,000 038 532 798 411 781 963 776;
  • 53) 0,000 038 532 798 411 781 963 776 × 2 = 0 + 0,000 077 065 596 823 563 927 552;
  • 54) 0,000 077 065 596 823 563 927 552 × 2 = 0 + 0,000 154 131 193 647 127 855 104;
  • 55) 0,000 154 131 193 647 127 855 104 × 2 = 0 + 0,000 308 262 387 294 255 710 208;
  • 56) 0,000 308 262 387 294 255 710 208 × 2 = 0 + 0,000 616 524 774 588 511 420 416;
  • 57) 0,000 616 524 774 588 511 420 416 × 2 = 0 + 0,001 233 049 549 177 022 840 832;
  • 58) 0,001 233 049 549 177 022 840 832 × 2 = 0 + 0,002 466 099 098 354 045 681 664;
  • 59) 0,002 466 099 098 354 045 681 664 × 2 = 0 + 0,004 932 198 196 708 091 363 328;
  • 60) 0,004 932 198 196 708 091 363 328 × 2 = 0 + 0,009 864 396 393 416 182 726 656;
  • 61) 0,009 864 396 393 416 182 726 656 × 2 = 0 + 0,019 728 792 786 832 365 453 312;
  • 62) 0,019 728 792 786 832 365 453 312 × 2 = 0 + 0,039 457 585 573 664 730 906 624;
  • 63) 0,039 457 585 573 664 730 906 624 × 2 = 0 + 0,078 915 171 147 329 461 813 248;
  • 64) 0,078 915 171 147 329 461 813 248 × 2 = 0 + 0,157 830 342 294 658 923 626 496;
  • 65) 0,157 830 342 294 658 923 626 496 × 2 = 0 + 0,315 660 684 589 317 847 252 992;
  • 66) 0,315 660 684 589 317 847 252 992 × 2 = 0 + 0,631 321 369 178 635 694 505 984;
  • 67) 0,631 321 369 178 635 694 505 984 × 2 = 1 + 0,262 642 738 357 271 389 011 968;
  • 68) 0,262 642 738 357 271 389 011 968 × 2 = 0 + 0,525 285 476 714 542 778 023 936;
  • 69) 0,525 285 476 714 542 778 023 936 × 2 = 1 + 0,050 570 953 429 085 556 047 872;
  • 70) 0,050 570 953 429 085 556 047 872 × 2 = 0 + 0,101 141 906 858 171 112 095 744;
  • 71) 0,101 141 906 858 171 112 095 744 × 2 = 0 + 0,202 283 813 716 342 224 191 488;
  • 72) 0,202 283 813 716 342 224 191 488 × 2 = 0 + 0,404 567 627 432 684 448 382 976;
  • 73) 0,404 567 627 432 684 448 382 976 × 2 = 0 + 0,809 135 254 865 368 896 765 952;
  • 74) 0,809 135 254 865 368 896 765 952 × 2 = 1 + 0,618 270 509 730 737 793 531 904;
  • 75) 0,618 270 509 730 737 793 531 904 × 2 = 1 + 0,236 541 019 461 475 587 063 808;
  • 76) 0,236 541 019 461 475 587 063 808 × 2 = 0 + 0,473 082 038 922 951 174 127 616;
  • 77) 0,473 082 038 922 951 174 127 616 × 2 = 0 + 0,946 164 077 845 902 348 255 232;
  • 78) 0,946 164 077 845 902 348 255 232 × 2 = 1 + 0,892 328 155 691 804 696 510 464;
  • 79) 0,892 328 155 691 804 696 510 464 × 2 = 1 + 0,784 656 311 383 609 393 020 928;
  • 80) 0,784 656 311 383 609 393 020 928 × 2 = 1 + 0,569 312 622 767 218 786 041 856;
  • 81) 0,569 312 622 767 218 786 041 856 × 2 = 1 + 0,138 625 245 534 437 572 083 712;
  • 82) 0,138 625 245 534 437 572 083 712 × 2 = 0 + 0,277 250 491 068 875 144 167 424;
  • 83) 0,277 250 491 068 875 144 167 424 × 2 = 0 + 0,554 500 982 137 750 288 334 848;
  • 84) 0,554 500 982 137 750 288 334 848 × 2 = 1 + 0,109 001 964 275 500 576 669 696;
  • 85) 0,109 001 964 275 500 576 669 696 × 2 = 0 + 0,218 003 928 551 001 153 339 392;
  • 86) 0,218 003 928 551 001 153 339 392 × 2 = 0 + 0,436 007 857 102 002 306 678 784;
  • 87) 0,436 007 857 102 002 306 678 784 × 2 = 0 + 0,872 015 714 204 004 613 357 568;
  • 88) 0,872 015 714 204 004 613 357 568 × 2 = 1 + 0,744 031 428 408 009 226 715 136;
  • 89) 0,744 031 428 408 009 226 715 136 × 2 = 1 + 0,488 062 856 816 018 453 430 272;
  • 90) 0,488 062 856 816 018 453 430 272 × 2 = 0 + 0,976 125 713 632 036 906 860 544;
  • 91) 0,976 125 713 632 036 906 860 544 × 2 = 1 + 0,952 251 427 264 073 813 721 088;
  • 92) 0,952 251 427 264 073 813 721 088 × 2 = 1 + 0,904 502 854 528 147 627 442 176;
  • 93) 0,904 502 854 528 147 627 442 176 × 2 = 1 + 0,809 005 709 056 295 254 884 352;
  • 94) 0,809 005 709 056 295 254 884 352 × 2 = 1 + 0,618 011 418 112 590 509 768 704;
  • 95) 0,618 011 418 112 590 509 768 704 × 2 = 1 + 0,236 022 836 225 181 019 537 408;
  • 96) 0,236 022 836 225 181 019 537 408 × 2 = 0 + 0,472 045 672 450 362 039 074 816;
  • 97) 0,472 045 672 450 362 039 074 816 × 2 = 0 + 0,944 091 344 900 724 078 149 632;
  • 98) 0,944 091 344 900 724 078 149 632 × 2 = 1 + 0,888 182 689 801 448 156 299 264;
  • 99) 0,888 182 689 801 448 156 299 264 × 2 = 1 + 0,776 365 379 602 896 312 598 528;
  • 100) 0,776 365 379 602 896 312 598 528 × 2 = 1 + 0,552 730 759 205 792 625 197 056;
  • 101) 0,552 730 759 205 792 625 197 056 × 2 = 1 + 0,105 461 518 411 585 250 394 112;
  • 102) 0,105 461 518 411 585 250 394 112 × 2 = 0 + 0,210 923 036 823 170 500 788 224;
  • 103) 0,210 923 036 823 170 500 788 224 × 2 = 0 + 0,421 846 073 646 341 001 576 448;
  • 104) 0,421 846 073 646 341 001 576 448 × 2 = 0 + 0,843 692 147 292 682 003 152 896;
  • 105) 0,843 692 147 292 682 003 152 896 × 2 = 1 + 0,687 384 294 585 364 006 305 792;
  • 106) 0,687 384 294 585 364 006 305 792 × 2 = 1 + 0,374 768 589 170 728 012 611 584;
  • 107) 0,374 768 589 170 728 012 611 584 × 2 = 0 + 0,749 537 178 341 456 025 223 168;
  • 108) 0,749 537 178 341 456 025 223 168 × 2 = 1 + 0,499 074 356 682 912 050 446 336;
  • 109) 0,499 074 356 682 912 050 446 336 × 2 = 0 + 0,998 148 713 365 824 100 892 672;
  • 110) 0,998 148 713 365 824 100 892 672 × 2 = 1 + 0,996 297 426 731 648 201 785 344;
  • 111) 0,996 297 426 731 648 201 785 344 × 2 = 1 + 0,992 594 853 463 296 403 570 688;
  • 112) 0,992 594 853 463 296 403 570 688 × 2 = 1 + 0,985 189 706 926 592 807 141 376;
  • 113) 0,985 189 706 926 592 807 141 376 × 2 = 1 + 0,970 379 413 853 185 614 282 752;
  • 114) 0,970 379 413 853 185 614 282 752 × 2 = 1 + 0,940 758 827 706 371 228 565 504;
  • 115) 0,940 758 827 706 371 228 565 504 × 2 = 1 + 0,881 517 655 412 742 457 131 008;
  • 116) 0,881 517 655 412 742 457 131 008 × 2 = 1 + 0,763 035 310 825 484 914 262 016;
  • 117) 0,763 035 310 825 484 914 262 016 × 2 = 1 + 0,526 070 621 650 969 828 524 032;
  • 118) 0,526 070 621 650 969 828 524 032 × 2 = 1 + 0,052 141 243 301 939 657 048 064;
  • 119) 0,052 141 243 301 939 657 048 064 × 2 = 0 + 0,104 282 486 603 879 314 096 128;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 556(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0111 1001 0001 1011 1110 0111 1000 1101 0111 1111 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 556(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0111 1001 0001 1011 1110 0111 1000 1101 0111 1111 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 556(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0111 1001 0001 1011 1110 0111 1000 1101 0111 1111 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 0111 1001 0001 1011 1110 0111 1000 1101 0111 1111 110(2) × 20 =

1,0100 0011 0011 1100 1000 1101 1111 0011 1100 0110 1011 1111 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0011 0011 1100 1000 1101 1111 0011 1100 0110 1011 1111 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0011 0011 1100 1000 1101 1111 0011 1100 0110 1011 1111 1110 =

0100 0011 0011 1100 1000 1101 1111 0011 1100 0110 1011 1111 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0011 0011 1100 1000 1101 1111 0011 1100 0110 1011 1111 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 556 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0011 0011 1100 1000 1101 1111 0011 1100 0110 1011 1111 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 561 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100