0,000 000 000 000 000 000 008 561 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 561(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 561(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 561.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 561 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 122;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 122 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 244;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 244 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 488;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 976;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 952;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 547 904;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 547 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 095 808;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 095 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 191 616;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 191 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 383 232;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 383 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 766 464;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 766 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 532 928;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 532 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 065 856;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 065 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 131 712;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 131 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 263 424;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 263 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 526 848;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 526 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 561 053 696;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 561 053 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 122 107 392;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 122 107 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 244 214 784;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 244 214 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 488 429 568;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 488 429 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 976 859 136;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 976 859 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 953 718 272;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 953 718 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 907 436 544;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 907 436 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 814 873 088;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 814 873 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 629 746 176;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 629 746 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 287 259 492 352;
  • 26) 0,000 000 000 000 287 259 492 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 574 518 984 704;
  • 27) 0,000 000 000 000 574 518 984 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 149 037 969 408;
  • 28) 0,000 000 000 001 149 037 969 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 298 075 938 816;
  • 29) 0,000 000 000 002 298 075 938 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 596 151 877 632;
  • 30) 0,000 000 000 004 596 151 877 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 192 303 755 264;
  • 31) 0,000 000 000 009 192 303 755 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 384 607 510 528;
  • 32) 0,000 000 000 018 384 607 510 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 769 215 021 056;
  • 33) 0,000 000 000 036 769 215 021 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 538 430 042 112;
  • 34) 0,000 000 000 073 538 430 042 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 076 860 084 224;
  • 35) 0,000 000 000 147 076 860 084 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 294 153 720 168 448;
  • 36) 0,000 000 000 294 153 720 168 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 588 307 440 336 896;
  • 37) 0,000 000 000 588 307 440 336 896 × 2 = 0 + 0,000 000 001 176 614 880 673 792;
  • 38) 0,000 000 001 176 614 880 673 792 × 2 = 0 + 0,000 000 002 353 229 761 347 584;
  • 39) 0,000 000 002 353 229 761 347 584 × 2 = 0 + 0,000 000 004 706 459 522 695 168;
  • 40) 0,000 000 004 706 459 522 695 168 × 2 = 0 + 0,000 000 009 412 919 045 390 336;
  • 41) 0,000 000 009 412 919 045 390 336 × 2 = 0 + 0,000 000 018 825 838 090 780 672;
  • 42) 0,000 000 018 825 838 090 780 672 × 2 = 0 + 0,000 000 037 651 676 181 561 344;
  • 43) 0,000 000 037 651 676 181 561 344 × 2 = 0 + 0,000 000 075 303 352 363 122 688;
  • 44) 0,000 000 075 303 352 363 122 688 × 2 = 0 + 0,000 000 150 606 704 726 245 376;
  • 45) 0,000 000 150 606 704 726 245 376 × 2 = 0 + 0,000 000 301 213 409 452 490 752;
  • 46) 0,000 000 301 213 409 452 490 752 × 2 = 0 + 0,000 000 602 426 818 904 981 504;
  • 47) 0,000 000 602 426 818 904 981 504 × 2 = 0 + 0,000 001 204 853 637 809 963 008;
  • 48) 0,000 001 204 853 637 809 963 008 × 2 = 0 + 0,000 002 409 707 275 619 926 016;
  • 49) 0,000 002 409 707 275 619 926 016 × 2 = 0 + 0,000 004 819 414 551 239 852 032;
  • 50) 0,000 004 819 414 551 239 852 032 × 2 = 0 + 0,000 009 638 829 102 479 704 064;
  • 51) 0,000 009 638 829 102 479 704 064 × 2 = 0 + 0,000 019 277 658 204 959 408 128;
  • 52) 0,000 019 277 658 204 959 408 128 × 2 = 0 + 0,000 038 555 316 409 918 816 256;
  • 53) 0,000 038 555 316 409 918 816 256 × 2 = 0 + 0,000 077 110 632 819 837 632 512;
  • 54) 0,000 077 110 632 819 837 632 512 × 2 = 0 + 0,000 154 221 265 639 675 265 024;
  • 55) 0,000 154 221 265 639 675 265 024 × 2 = 0 + 0,000 308 442 531 279 350 530 048;
  • 56) 0,000 308 442 531 279 350 530 048 × 2 = 0 + 0,000 616 885 062 558 701 060 096;
  • 57) 0,000 616 885 062 558 701 060 096 × 2 = 0 + 0,001 233 770 125 117 402 120 192;
  • 58) 0,001 233 770 125 117 402 120 192 × 2 = 0 + 0,002 467 540 250 234 804 240 384;
  • 59) 0,002 467 540 250 234 804 240 384 × 2 = 0 + 0,004 935 080 500 469 608 480 768;
  • 60) 0,004 935 080 500 469 608 480 768 × 2 = 0 + 0,009 870 161 000 939 216 961 536;
  • 61) 0,009 870 161 000 939 216 961 536 × 2 = 0 + 0,019 740 322 001 878 433 923 072;
  • 62) 0,019 740 322 001 878 433 923 072 × 2 = 0 + 0,039 480 644 003 756 867 846 144;
  • 63) 0,039 480 644 003 756 867 846 144 × 2 = 0 + 0,078 961 288 007 513 735 692 288;
  • 64) 0,078 961 288 007 513 735 692 288 × 2 = 0 + 0,157 922 576 015 027 471 384 576;
  • 65) 0,157 922 576 015 027 471 384 576 × 2 = 0 + 0,315 845 152 030 054 942 769 152;
  • 66) 0,315 845 152 030 054 942 769 152 × 2 = 0 + 0,631 690 304 060 109 885 538 304;
  • 67) 0,631 690 304 060 109 885 538 304 × 2 = 1 + 0,263 380 608 120 219 771 076 608;
  • 68) 0,263 380 608 120 219 771 076 608 × 2 = 0 + 0,526 761 216 240 439 542 153 216;
  • 69) 0,526 761 216 240 439 542 153 216 × 2 = 1 + 0,053 522 432 480 879 084 306 432;
  • 70) 0,053 522 432 480 879 084 306 432 × 2 = 0 + 0,107 044 864 961 758 168 612 864;
  • 71) 0,107 044 864 961 758 168 612 864 × 2 = 0 + 0,214 089 729 923 516 337 225 728;
  • 72) 0,214 089 729 923 516 337 225 728 × 2 = 0 + 0,428 179 459 847 032 674 451 456;
  • 73) 0,428 179 459 847 032 674 451 456 × 2 = 0 + 0,856 358 919 694 065 348 902 912;
  • 74) 0,856 358 919 694 065 348 902 912 × 2 = 1 + 0,712 717 839 388 130 697 805 824;
  • 75) 0,712 717 839 388 130 697 805 824 × 2 = 1 + 0,425 435 678 776 261 395 611 648;
  • 76) 0,425 435 678 776 261 395 611 648 × 2 = 0 + 0,850 871 357 552 522 791 223 296;
  • 77) 0,850 871 357 552 522 791 223 296 × 2 = 1 + 0,701 742 715 105 045 582 446 592;
  • 78) 0,701 742 715 105 045 582 446 592 × 2 = 1 + 0,403 485 430 210 091 164 893 184;
  • 79) 0,403 485 430 210 091 164 893 184 × 2 = 0 + 0,806 970 860 420 182 329 786 368;
  • 80) 0,806 970 860 420 182 329 786 368 × 2 = 1 + 0,613 941 720 840 364 659 572 736;
  • 81) 0,613 941 720 840 364 659 572 736 × 2 = 1 + 0,227 883 441 680 729 319 145 472;
  • 82) 0,227 883 441 680 729 319 145 472 × 2 = 0 + 0,455 766 883 361 458 638 290 944;
  • 83) 0,455 766 883 361 458 638 290 944 × 2 = 0 + 0,911 533 766 722 917 276 581 888;
  • 84) 0,911 533 766 722 917 276 581 888 × 2 = 1 + 0,823 067 533 445 834 553 163 776;
  • 85) 0,823 067 533 445 834 553 163 776 × 2 = 1 + 0,646 135 066 891 669 106 327 552;
  • 86) 0,646 135 066 891 669 106 327 552 × 2 = 1 + 0,292 270 133 783 338 212 655 104;
  • 87) 0,292 270 133 783 338 212 655 104 × 2 = 0 + 0,584 540 267 566 676 425 310 208;
  • 88) 0,584 540 267 566 676 425 310 208 × 2 = 1 + 0,169 080 535 133 352 850 620 416;
  • 89) 0,169 080 535 133 352 850 620 416 × 2 = 0 + 0,338 161 070 266 705 701 240 832;
  • 90) 0,338 161 070 266 705 701 240 832 × 2 = 0 + 0,676 322 140 533 411 402 481 664;
  • 91) 0,676 322 140 533 411 402 481 664 × 2 = 1 + 0,352 644 281 066 822 804 963 328;
  • 92) 0,352 644 281 066 822 804 963 328 × 2 = 0 + 0,705 288 562 133 645 609 926 656;
  • 93) 0,705 288 562 133 645 609 926 656 × 2 = 1 + 0,410 577 124 267 291 219 853 312;
  • 94) 0,410 577 124 267 291 219 853 312 × 2 = 0 + 0,821 154 248 534 582 439 706 624;
  • 95) 0,821 154 248 534 582 439 706 624 × 2 = 1 + 0,642 308 497 069 164 879 413 248;
  • 96) 0,642 308 497 069 164 879 413 248 × 2 = 1 + 0,284 616 994 138 329 758 826 496;
  • 97) 0,284 616 994 138 329 758 826 496 × 2 = 0 + 0,569 233 988 276 659 517 652 992;
  • 98) 0,569 233 988 276 659 517 652 992 × 2 = 1 + 0,138 467 976 553 319 035 305 984;
  • 99) 0,138 467 976 553 319 035 305 984 × 2 = 0 + 0,276 935 953 106 638 070 611 968;
  • 100) 0,276 935 953 106 638 070 611 968 × 2 = 0 + 0,553 871 906 213 276 141 223 936;
  • 101) 0,553 871 906 213 276 141 223 936 × 2 = 1 + 0,107 743 812 426 552 282 447 872;
  • 102) 0,107 743 812 426 552 282 447 872 × 2 = 0 + 0,215 487 624 853 104 564 895 744;
  • 103) 0,215 487 624 853 104 564 895 744 × 2 = 0 + 0,430 975 249 706 209 129 791 488;
  • 104) 0,430 975 249 706 209 129 791 488 × 2 = 0 + 0,861 950 499 412 418 259 582 976;
  • 105) 0,861 950 499 412 418 259 582 976 × 2 = 1 + 0,723 900 998 824 836 519 165 952;
  • 106) 0,723 900 998 824 836 519 165 952 × 2 = 1 + 0,447 801 997 649 673 038 331 904;
  • 107) 0,447 801 997 649 673 038 331 904 × 2 = 0 + 0,895 603 995 299 346 076 663 808;
  • 108) 0,895 603 995 299 346 076 663 808 × 2 = 1 + 0,791 207 990 598 692 153 327 616;
  • 109) 0,791 207 990 598 692 153 327 616 × 2 = 1 + 0,582 415 981 197 384 306 655 232;
  • 110) 0,582 415 981 197 384 306 655 232 × 2 = 1 + 0,164 831 962 394 768 613 310 464;
  • 111) 0,164 831 962 394 768 613 310 464 × 2 = 0 + 0,329 663 924 789 537 226 620 928;
  • 112) 0,329 663 924 789 537 226 620 928 × 2 = 0 + 0,659 327 849 579 074 453 241 856;
  • 113) 0,659 327 849 579 074 453 241 856 × 2 = 1 + 0,318 655 699 158 148 906 483 712;
  • 114) 0,318 655 699 158 148 906 483 712 × 2 = 0 + 0,637 311 398 316 297 812 967 424;
  • 115) 0,637 311 398 316 297 812 967 424 × 2 = 1 + 0,274 622 796 632 595 625 934 848;
  • 116) 0,274 622 796 632 595 625 934 848 × 2 = 0 + 0,549 245 593 265 191 251 869 696;
  • 117) 0,549 245 593 265 191 251 869 696 × 2 = 1 + 0,098 491 186 530 382 503 739 392;
  • 118) 0,098 491 186 530 382 503 739 392 × 2 = 0 + 0,196 982 373 060 765 007 478 784;
  • 119) 0,196 982 373 060 765 007 478 784 × 2 = 0 + 0,393 964 746 121 530 014 957 568;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 561(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1101 1001 1101 0010 1011 0100 1000 1101 1100 1010 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 561(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1101 1001 1101 0010 1011 0100 1000 1101 1100 1010 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 561(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1101 1001 1101 0010 1011 0100 1000 1101 1100 1010 100(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1101 1001 1101 0010 1011 0100 1000 1101 1100 1010 100(2) × 20 =

1,0100 0011 0110 1100 1110 1001 0101 1010 0100 0110 1110 0101 0100(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0011 0110 1100 1110 1001 0101 1010 0100 0110 1110 0101 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0011 0110 1100 1110 1001 0101 1010 0100 0110 1110 0101 0100 =

0100 0011 0110 1100 1110 1001 0101 1010 0100 0110 1110 0101 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0011 0110 1100 1110 1001 0101 1010 0100 0110 1110 0101 0100


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 561 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0011 0110 1100 1110 1001 0101 1010 0100 0110 1110 0101 0100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 469 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100