0,000 000 000 000 000 000 008 558 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 558(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 558(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 558.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 558 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 116;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 116 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 232;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 464;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 928;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 856;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 547 712;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 547 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 095 424;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 095 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 190 848;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 190 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 381 696;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 381 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 763 392;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 763 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 526 784;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 526 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 053 568;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 053 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 107 136;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 107 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 214 272;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 214 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 428 544;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 428 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 560 857 088;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 560 857 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 121 714 176;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 121 714 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 243 428 352;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 243 428 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 486 856 704;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 486 856 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 973 713 408;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 973 713 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 947 426 816;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 947 426 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 894 853 632;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 894 853 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 789 707 264;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 789 707 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 579 414 528;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 579 414 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 287 158 829 056;
  • 26) 0,000 000 000 000 287 158 829 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 574 317 658 112;
  • 27) 0,000 000 000 000 574 317 658 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 148 635 316 224;
  • 28) 0,000 000 000 001 148 635 316 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 297 270 632 448;
  • 29) 0,000 000 000 002 297 270 632 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 594 541 264 896;
  • 30) 0,000 000 000 004 594 541 264 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 189 082 529 792;
  • 31) 0,000 000 000 009 189 082 529 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 378 165 059 584;
  • 32) 0,000 000 000 018 378 165 059 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 756 330 119 168;
  • 33) 0,000 000 000 036 756 330 119 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 512 660 238 336;
  • 34) 0,000 000 000 073 512 660 238 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 025 320 476 672;
  • 35) 0,000 000 000 147 025 320 476 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 294 050 640 953 344;
  • 36) 0,000 000 000 294 050 640 953 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 588 101 281 906 688;
  • 37) 0,000 000 000 588 101 281 906 688 × 2 = 0 + 0,000 000 001 176 202 563 813 376;
  • 38) 0,000 000 001 176 202 563 813 376 × 2 = 0 + 0,000 000 002 352 405 127 626 752;
  • 39) 0,000 000 002 352 405 127 626 752 × 2 = 0 + 0,000 000 004 704 810 255 253 504;
  • 40) 0,000 000 004 704 810 255 253 504 × 2 = 0 + 0,000 000 009 409 620 510 507 008;
  • 41) 0,000 000 009 409 620 510 507 008 × 2 = 0 + 0,000 000 018 819 241 021 014 016;
  • 42) 0,000 000 018 819 241 021 014 016 × 2 = 0 + 0,000 000 037 638 482 042 028 032;
  • 43) 0,000 000 037 638 482 042 028 032 × 2 = 0 + 0,000 000 075 276 964 084 056 064;
  • 44) 0,000 000 075 276 964 084 056 064 × 2 = 0 + 0,000 000 150 553 928 168 112 128;
  • 45) 0,000 000 150 553 928 168 112 128 × 2 = 0 + 0,000 000 301 107 856 336 224 256;
  • 46) 0,000 000 301 107 856 336 224 256 × 2 = 0 + 0,000 000 602 215 712 672 448 512;
  • 47) 0,000 000 602 215 712 672 448 512 × 2 = 0 + 0,000 001 204 431 425 344 897 024;
  • 48) 0,000 001 204 431 425 344 897 024 × 2 = 0 + 0,000 002 408 862 850 689 794 048;
  • 49) 0,000 002 408 862 850 689 794 048 × 2 = 0 + 0,000 004 817 725 701 379 588 096;
  • 50) 0,000 004 817 725 701 379 588 096 × 2 = 0 + 0,000 009 635 451 402 759 176 192;
  • 51) 0,000 009 635 451 402 759 176 192 × 2 = 0 + 0,000 019 270 902 805 518 352 384;
  • 52) 0,000 019 270 902 805 518 352 384 × 2 = 0 + 0,000 038 541 805 611 036 704 768;
  • 53) 0,000 038 541 805 611 036 704 768 × 2 = 0 + 0,000 077 083 611 222 073 409 536;
  • 54) 0,000 077 083 611 222 073 409 536 × 2 = 0 + 0,000 154 167 222 444 146 819 072;
  • 55) 0,000 154 167 222 444 146 819 072 × 2 = 0 + 0,000 308 334 444 888 293 638 144;
  • 56) 0,000 308 334 444 888 293 638 144 × 2 = 0 + 0,000 616 668 889 776 587 276 288;
  • 57) 0,000 616 668 889 776 587 276 288 × 2 = 0 + 0,001 233 337 779 553 174 552 576;
  • 58) 0,001 233 337 779 553 174 552 576 × 2 = 0 + 0,002 466 675 559 106 349 105 152;
  • 59) 0,002 466 675 559 106 349 105 152 × 2 = 0 + 0,004 933 351 118 212 698 210 304;
  • 60) 0,004 933 351 118 212 698 210 304 × 2 = 0 + 0,009 866 702 236 425 396 420 608;
  • 61) 0,009 866 702 236 425 396 420 608 × 2 = 0 + 0,019 733 404 472 850 792 841 216;
  • 62) 0,019 733 404 472 850 792 841 216 × 2 = 0 + 0,039 466 808 945 701 585 682 432;
  • 63) 0,039 466 808 945 701 585 682 432 × 2 = 0 + 0,078 933 617 891 403 171 364 864;
  • 64) 0,078 933 617 891 403 171 364 864 × 2 = 0 + 0,157 867 235 782 806 342 729 728;
  • 65) 0,157 867 235 782 806 342 729 728 × 2 = 0 + 0,315 734 471 565 612 685 459 456;
  • 66) 0,315 734 471 565 612 685 459 456 × 2 = 0 + 0,631 468 943 131 225 370 918 912;
  • 67) 0,631 468 943 131 225 370 918 912 × 2 = 1 + 0,262 937 886 262 450 741 837 824;
  • 68) 0,262 937 886 262 450 741 837 824 × 2 = 0 + 0,525 875 772 524 901 483 675 648;
  • 69) 0,525 875 772 524 901 483 675 648 × 2 = 1 + 0,051 751 545 049 802 967 351 296;
  • 70) 0,051 751 545 049 802 967 351 296 × 2 = 0 + 0,103 503 090 099 605 934 702 592;
  • 71) 0,103 503 090 099 605 934 702 592 × 2 = 0 + 0,207 006 180 199 211 869 405 184;
  • 72) 0,207 006 180 199 211 869 405 184 × 2 = 0 + 0,414 012 360 398 423 738 810 368;
  • 73) 0,414 012 360 398 423 738 810 368 × 2 = 0 + 0,828 024 720 796 847 477 620 736;
  • 74) 0,828 024 720 796 847 477 620 736 × 2 = 1 + 0,656 049 441 593 694 955 241 472;
  • 75) 0,656 049 441 593 694 955 241 472 × 2 = 1 + 0,312 098 883 187 389 910 482 944;
  • 76) 0,312 098 883 187 389 910 482 944 × 2 = 0 + 0,624 197 766 374 779 820 965 888;
  • 77) 0,624 197 766 374 779 820 965 888 × 2 = 1 + 0,248 395 532 749 559 641 931 776;
  • 78) 0,248 395 532 749 559 641 931 776 × 2 = 0 + 0,496 791 065 499 119 283 863 552;
  • 79) 0,496 791 065 499 119 283 863 552 × 2 = 0 + 0,993 582 130 998 238 567 727 104;
  • 80) 0,993 582 130 998 238 567 727 104 × 2 = 1 + 0,987 164 261 996 477 135 454 208;
  • 81) 0,987 164 261 996 477 135 454 208 × 2 = 1 + 0,974 328 523 992 954 270 908 416;
  • 82) 0,974 328 523 992 954 270 908 416 × 2 = 1 + 0,948 657 047 985 908 541 816 832;
  • 83) 0,948 657 047 985 908 541 816 832 × 2 = 1 + 0,897 314 095 971 817 083 633 664;
  • 84) 0,897 314 095 971 817 083 633 664 × 2 = 1 + 0,794 628 191 943 634 167 267 328;
  • 85) 0,794 628 191 943 634 167 267 328 × 2 = 1 + 0,589 256 383 887 268 334 534 656;
  • 86) 0,589 256 383 887 268 334 534 656 × 2 = 1 + 0,178 512 767 774 536 669 069 312;
  • 87) 0,178 512 767 774 536 669 069 312 × 2 = 0 + 0,357 025 535 549 073 338 138 624;
  • 88) 0,357 025 535 549 073 338 138 624 × 2 = 0 + 0,714 051 071 098 146 676 277 248;
  • 89) 0,714 051 071 098 146 676 277 248 × 2 = 1 + 0,428 102 142 196 293 352 554 496;
  • 90) 0,428 102 142 196 293 352 554 496 × 2 = 0 + 0,856 204 284 392 586 705 108 992;
  • 91) 0,856 204 284 392 586 705 108 992 × 2 = 1 + 0,712 408 568 785 173 410 217 984;
  • 92) 0,712 408 568 785 173 410 217 984 × 2 = 1 + 0,424 817 137 570 346 820 435 968;
  • 93) 0,424 817 137 570 346 820 435 968 × 2 = 0 + 0,849 634 275 140 693 640 871 936;
  • 94) 0,849 634 275 140 693 640 871 936 × 2 = 1 + 0,699 268 550 281 387 281 743 872;
  • 95) 0,699 268 550 281 387 281 743 872 × 2 = 1 + 0,398 537 100 562 774 563 487 744;
  • 96) 0,398 537 100 562 774 563 487 744 × 2 = 0 + 0,797 074 201 125 549 126 975 488;
  • 97) 0,797 074 201 125 549 126 975 488 × 2 = 1 + 0,594 148 402 251 098 253 950 976;
  • 98) 0,594 148 402 251 098 253 950 976 × 2 = 1 + 0,188 296 804 502 196 507 901 952;
  • 99) 0,188 296 804 502 196 507 901 952 × 2 = 0 + 0,376 593 609 004 393 015 803 904;
  • 100) 0,376 593 609 004 393 015 803 904 × 2 = 0 + 0,753 187 218 008 786 031 607 808;
  • 101) 0,753 187 218 008 786 031 607 808 × 2 = 1 + 0,506 374 436 017 572 063 215 616;
  • 102) 0,506 374 436 017 572 063 215 616 × 2 = 1 + 0,012 748 872 035 144 126 431 232;
  • 103) 0,012 748 872 035 144 126 431 232 × 2 = 0 + 0,025 497 744 070 288 252 862 464;
  • 104) 0,025 497 744 070 288 252 862 464 × 2 = 0 + 0,050 995 488 140 576 505 724 928;
  • 105) 0,050 995 488 140 576 505 724 928 × 2 = 0 + 0,101 990 976 281 153 011 449 856;
  • 106) 0,101 990 976 281 153 011 449 856 × 2 = 0 + 0,203 981 952 562 306 022 899 712;
  • 107) 0,203 981 952 562 306 022 899 712 × 2 = 0 + 0,407 963 905 124 612 045 799 424;
  • 108) 0,407 963 905 124 612 045 799 424 × 2 = 0 + 0,815 927 810 249 224 091 598 848;
  • 109) 0,815 927 810 249 224 091 598 848 × 2 = 1 + 0,631 855 620 498 448 183 197 696;
  • 110) 0,631 855 620 498 448 183 197 696 × 2 = 1 + 0,263 711 240 996 896 366 395 392;
  • 111) 0,263 711 240 996 896 366 395 392 × 2 = 0 + 0,527 422 481 993 792 732 790 784;
  • 112) 0,527 422 481 993 792 732 790 784 × 2 = 1 + 0,054 844 963 987 585 465 581 568;
  • 113) 0,054 844 963 987 585 465 581 568 × 2 = 0 + 0,109 689 927 975 170 931 163 136;
  • 114) 0,109 689 927 975 170 931 163 136 × 2 = 0 + 0,219 379 855 950 341 862 326 272;
  • 115) 0,219 379 855 950 341 862 326 272 × 2 = 0 + 0,438 759 711 900 683 724 652 544;
  • 116) 0,438 759 711 900 683 724 652 544 × 2 = 0 + 0,877 519 423 801 367 449 305 088;
  • 117) 0,877 519 423 801 367 449 305 088 × 2 = 1 + 0,755 038 847 602 734 898 610 176;
  • 118) 0,755 038 847 602 734 898 610 176 × 2 = 1 + 0,510 077 695 205 469 797 220 352;
  • 119) 0,510 077 695 205 469 797 220 352 × 2 = 1 + 0,020 155 390 410 939 594 440 704;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 558(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1001 1111 1100 1011 0110 1100 1100 0000 1101 0000 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 558(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1001 1111 1100 1011 0110 1100 1100 0000 1101 0000 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 558(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1001 1111 1100 1011 0110 1100 1100 0000 1101 0000 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1001 1111 1100 1011 0110 1100 1100 0000 1101 0000 111(2) × 20 =

1,0100 0011 0100 1111 1110 0101 1011 0110 0110 0000 0110 1000 0111(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0011 0100 1111 1110 0101 1011 0110 0110 0000 0110 1000 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0011 0100 1111 1110 0101 1011 0110 0110 0000 0110 1000 0111 =

0100 0011 0100 1111 1110 0101 1011 0110 0110 0000 0110 1000 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0011 0100 1111 1110 0101 1011 0110 0110 0000 0110 1000 0111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 558 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0011 0100 1111 1110 0101 1011 0110 0110 0000 0110 1000 0111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 492 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100