0,000 000 000 000 000 000 008 574 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 574(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 574(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 574.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 574 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 148;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 148 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 296;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 592;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 184;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 274 368;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 274 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 548 736;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 548 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 097 472;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 097 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 194 944;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 194 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 389 888;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 389 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 779 776;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 779 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 559 552;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 559 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 119 104;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 119 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 238 208;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 238 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 476 416;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 476 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 952 832;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 952 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 561 905 664;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 561 905 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 123 811 328;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 123 811 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 247 622 656;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 247 622 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 495 245 312;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 495 245 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 990 490 624;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 990 490 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 980 981 248;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 980 981 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 961 962 496;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 961 962 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 923 924 992;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 923 924 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 847 849 984;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 847 849 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 287 695 699 968;
  • 26) 0,000 000 000 000 287 695 699 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 575 391 399 936;
  • 27) 0,000 000 000 000 575 391 399 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 150 782 799 872;
  • 28) 0,000 000 000 001 150 782 799 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 301 565 599 744;
  • 29) 0,000 000 000 002 301 565 599 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 603 131 199 488;
  • 30) 0,000 000 000 004 603 131 199 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 206 262 398 976;
  • 31) 0,000 000 000 009 206 262 398 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 412 524 797 952;
  • 32) 0,000 000 000 018 412 524 797 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 825 049 595 904;
  • 33) 0,000 000 000 036 825 049 595 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 650 099 191 808;
  • 34) 0,000 000 000 073 650 099 191 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 300 198 383 616;
  • 35) 0,000 000 000 147 300 198 383 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 294 600 396 767 232;
  • 36) 0,000 000 000 294 600 396 767 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 589 200 793 534 464;
  • 37) 0,000 000 000 589 200 793 534 464 × 2 = 0 + 0,000 000 001 178 401 587 068 928;
  • 38) 0,000 000 001 178 401 587 068 928 × 2 = 0 + 0,000 000 002 356 803 174 137 856;
  • 39) 0,000 000 002 356 803 174 137 856 × 2 = 0 + 0,000 000 004 713 606 348 275 712;
  • 40) 0,000 000 004 713 606 348 275 712 × 2 = 0 + 0,000 000 009 427 212 696 551 424;
  • 41) 0,000 000 009 427 212 696 551 424 × 2 = 0 + 0,000 000 018 854 425 393 102 848;
  • 42) 0,000 000 018 854 425 393 102 848 × 2 = 0 + 0,000 000 037 708 850 786 205 696;
  • 43) 0,000 000 037 708 850 786 205 696 × 2 = 0 + 0,000 000 075 417 701 572 411 392;
  • 44) 0,000 000 075 417 701 572 411 392 × 2 = 0 + 0,000 000 150 835 403 144 822 784;
  • 45) 0,000 000 150 835 403 144 822 784 × 2 = 0 + 0,000 000 301 670 806 289 645 568;
  • 46) 0,000 000 301 670 806 289 645 568 × 2 = 0 + 0,000 000 603 341 612 579 291 136;
  • 47) 0,000 000 603 341 612 579 291 136 × 2 = 0 + 0,000 001 206 683 225 158 582 272;
  • 48) 0,000 001 206 683 225 158 582 272 × 2 = 0 + 0,000 002 413 366 450 317 164 544;
  • 49) 0,000 002 413 366 450 317 164 544 × 2 = 0 + 0,000 004 826 732 900 634 329 088;
  • 50) 0,000 004 826 732 900 634 329 088 × 2 = 0 + 0,000 009 653 465 801 268 658 176;
  • 51) 0,000 009 653 465 801 268 658 176 × 2 = 0 + 0,000 019 306 931 602 537 316 352;
  • 52) 0,000 019 306 931 602 537 316 352 × 2 = 0 + 0,000 038 613 863 205 074 632 704;
  • 53) 0,000 038 613 863 205 074 632 704 × 2 = 0 + 0,000 077 227 726 410 149 265 408;
  • 54) 0,000 077 227 726 410 149 265 408 × 2 = 0 + 0,000 154 455 452 820 298 530 816;
  • 55) 0,000 154 455 452 820 298 530 816 × 2 = 0 + 0,000 308 910 905 640 597 061 632;
  • 56) 0,000 308 910 905 640 597 061 632 × 2 = 0 + 0,000 617 821 811 281 194 123 264;
  • 57) 0,000 617 821 811 281 194 123 264 × 2 = 0 + 0,001 235 643 622 562 388 246 528;
  • 58) 0,001 235 643 622 562 388 246 528 × 2 = 0 + 0,002 471 287 245 124 776 493 056;
  • 59) 0,002 471 287 245 124 776 493 056 × 2 = 0 + 0,004 942 574 490 249 552 986 112;
  • 60) 0,004 942 574 490 249 552 986 112 × 2 = 0 + 0,009 885 148 980 499 105 972 224;
  • 61) 0,009 885 148 980 499 105 972 224 × 2 = 0 + 0,019 770 297 960 998 211 944 448;
  • 62) 0,019 770 297 960 998 211 944 448 × 2 = 0 + 0,039 540 595 921 996 423 888 896;
  • 63) 0,039 540 595 921 996 423 888 896 × 2 = 0 + 0,079 081 191 843 992 847 777 792;
  • 64) 0,079 081 191 843 992 847 777 792 × 2 = 0 + 0,158 162 383 687 985 695 555 584;
  • 65) 0,158 162 383 687 985 695 555 584 × 2 = 0 + 0,316 324 767 375 971 391 111 168;
  • 66) 0,316 324 767 375 971 391 111 168 × 2 = 0 + 0,632 649 534 751 942 782 222 336;
  • 67) 0,632 649 534 751 942 782 222 336 × 2 = 1 + 0,265 299 069 503 885 564 444 672;
  • 68) 0,265 299 069 503 885 564 444 672 × 2 = 0 + 0,530 598 139 007 771 128 889 344;
  • 69) 0,530 598 139 007 771 128 889 344 × 2 = 1 + 0,061 196 278 015 542 257 778 688;
  • 70) 0,061 196 278 015 542 257 778 688 × 2 = 0 + 0,122 392 556 031 084 515 557 376;
  • 71) 0,122 392 556 031 084 515 557 376 × 2 = 0 + 0,244 785 112 062 169 031 114 752;
  • 72) 0,244 785 112 062 169 031 114 752 × 2 = 0 + 0,489 570 224 124 338 062 229 504;
  • 73) 0,489 570 224 124 338 062 229 504 × 2 = 0 + 0,979 140 448 248 676 124 459 008;
  • 74) 0,979 140 448 248 676 124 459 008 × 2 = 1 + 0,958 280 896 497 352 248 918 016;
  • 75) 0,958 280 896 497 352 248 918 016 × 2 = 1 + 0,916 561 792 994 704 497 836 032;
  • 76) 0,916 561 792 994 704 497 836 032 × 2 = 1 + 0,833 123 585 989 408 995 672 064;
  • 77) 0,833 123 585 989 408 995 672 064 × 2 = 1 + 0,666 247 171 978 817 991 344 128;
  • 78) 0,666 247 171 978 817 991 344 128 × 2 = 1 + 0,332 494 343 957 635 982 688 256;
  • 79) 0,332 494 343 957 635 982 688 256 × 2 = 0 + 0,664 988 687 915 271 965 376 512;
  • 80) 0,664 988 687 915 271 965 376 512 × 2 = 1 + 0,329 977 375 830 543 930 753 024;
  • 81) 0,329 977 375 830 543 930 753 024 × 2 = 0 + 0,659 954 751 661 087 861 506 048;
  • 82) 0,659 954 751 661 087 861 506 048 × 2 = 1 + 0,319 909 503 322 175 723 012 096;
  • 83) 0,319 909 503 322 175 723 012 096 × 2 = 0 + 0,639 819 006 644 351 446 024 192;
  • 84) 0,639 819 006 644 351 446 024 192 × 2 = 1 + 0,279 638 013 288 702 892 048 384;
  • 85) 0,279 638 013 288 702 892 048 384 × 2 = 0 + 0,559 276 026 577 405 784 096 768;
  • 86) 0,559 276 026 577 405 784 096 768 × 2 = 1 + 0,118 552 053 154 811 568 193 536;
  • 87) 0,118 552 053 154 811 568 193 536 × 2 = 0 + 0,237 104 106 309 623 136 387 072;
  • 88) 0,237 104 106 309 623 136 387 072 × 2 = 0 + 0,474 208 212 619 246 272 774 144;
  • 89) 0,474 208 212 619 246 272 774 144 × 2 = 0 + 0,948 416 425 238 492 545 548 288;
  • 90) 0,948 416 425 238 492 545 548 288 × 2 = 1 + 0,896 832 850 476 985 091 096 576;
  • 91) 0,896 832 850 476 985 091 096 576 × 2 = 1 + 0,793 665 700 953 970 182 193 152;
  • 92) 0,793 665 700 953 970 182 193 152 × 2 = 1 + 0,587 331 401 907 940 364 386 304;
  • 93) 0,587 331 401 907 940 364 386 304 × 2 = 1 + 0,174 662 803 815 880 728 772 608;
  • 94) 0,174 662 803 815 880 728 772 608 × 2 = 0 + 0,349 325 607 631 761 457 545 216;
  • 95) 0,349 325 607 631 761 457 545 216 × 2 = 0 + 0,698 651 215 263 522 915 090 432;
  • 96) 0,698 651 215 263 522 915 090 432 × 2 = 1 + 0,397 302 430 527 045 830 180 864;
  • 97) 0,397 302 430 527 045 830 180 864 × 2 = 0 + 0,794 604 861 054 091 660 361 728;
  • 98) 0,794 604 861 054 091 660 361 728 × 2 = 1 + 0,589 209 722 108 183 320 723 456;
  • 99) 0,589 209 722 108 183 320 723 456 × 2 = 1 + 0,178 419 444 216 366 641 446 912;
  • 100) 0,178 419 444 216 366 641 446 912 × 2 = 0 + 0,356 838 888 432 733 282 893 824;
  • 101) 0,356 838 888 432 733 282 893 824 × 2 = 0 + 0,713 677 776 865 466 565 787 648;
  • 102) 0,713 677 776 865 466 565 787 648 × 2 = 1 + 0,427 355 553 730 933 131 575 296;
  • 103) 0,427 355 553 730 933 131 575 296 × 2 = 0 + 0,854 711 107 461 866 263 150 592;
  • 104) 0,854 711 107 461 866 263 150 592 × 2 = 1 + 0,709 422 214 923 732 526 301 184;
  • 105) 0,709 422 214 923 732 526 301 184 × 2 = 1 + 0,418 844 429 847 465 052 602 368;
  • 106) 0,418 844 429 847 465 052 602 368 × 2 = 0 + 0,837 688 859 694 930 105 204 736;
  • 107) 0,837 688 859 694 930 105 204 736 × 2 = 1 + 0,675 377 719 389 860 210 409 472;
  • 108) 0,675 377 719 389 860 210 409 472 × 2 = 1 + 0,350 755 438 779 720 420 818 944;
  • 109) 0,350 755 438 779 720 420 818 944 × 2 = 0 + 0,701 510 877 559 440 841 637 888;
  • 110) 0,701 510 877 559 440 841 637 888 × 2 = 1 + 0,403 021 755 118 881 683 275 776;
  • 111) 0,403 021 755 118 881 683 275 776 × 2 = 0 + 0,806 043 510 237 763 366 551 552;
  • 112) 0,806 043 510 237 763 366 551 552 × 2 = 1 + 0,612 087 020 475 526 733 103 104;
  • 113) 0,612 087 020 475 526 733 103 104 × 2 = 1 + 0,224 174 040 951 053 466 206 208;
  • 114) 0,224 174 040 951 053 466 206 208 × 2 = 0 + 0,448 348 081 902 106 932 412 416;
  • 115) 0,448 348 081 902 106 932 412 416 × 2 = 0 + 0,896 696 163 804 213 864 824 832;
  • 116) 0,896 696 163 804 213 864 824 832 × 2 = 1 + 0,793 392 327 608 427 729 649 664;
  • 117) 0,793 392 327 608 427 729 649 664 × 2 = 1 + 0,586 784 655 216 855 459 299 328;
  • 118) 0,586 784 655 216 855 459 299 328 × 2 = 1 + 0,173 569 310 433 710 918 598 656;
  • 119) 0,173 569 310 433 710 918 598 656 × 2 = 0 + 0,347 138 620 867 421 837 197 312;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 574(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0111 1101 0101 0100 0111 1001 0110 0101 1011 0101 1001 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 574(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0111 1101 0101 0100 0111 1001 0110 0101 1011 0101 1001 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 574(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0111 1101 0101 0100 0111 1001 0110 0101 1011 0101 1001 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0111 1101 0101 0100 0111 1001 0110 0101 1011 0101 1001 110(2) × 20 =

1,0100 0011 1110 1010 1010 0011 1100 1011 0010 1101 1010 1100 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0011 1110 1010 1010 0011 1100 1011 0010 1101 1010 1100 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0011 1110 1010 1010 0011 1100 1011 0010 1101 1010 1100 1110 =

0100 0011 1110 1010 1010 0011 1100 1011 0010 1101 1010 1100 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0011 1110 1010 1010 0011 1100 1011 0010 1101 1010 1100 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 574 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0011 1110 1010 1010 0011 1100 1011 0010 1101 1010 1100 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 602 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100