0,000 000 000 000 000 000 008 585 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 585(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 585(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 585.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 585 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 17;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 17 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 34;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 34 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 68;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 36;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 274 72;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 274 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 549 44;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 549 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 098 88;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 098 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 197 76;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 197 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 395 52;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 395 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 791 04;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 791 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 582 08;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 582 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 164 16;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 164 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 328 32;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 328 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 656 64;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 656 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 313 28;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 281 313 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 562 626 56;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 562 626 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 125 253 12;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 125 253 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 250 506 24;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 250 506 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 501 012 48;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 501 012 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 002 024 96;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 002 024 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 004 049 92;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 004 049 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 008 099 84;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 008 099 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 016 199 68;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 016 199 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 032 399 36;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 032 399 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 064 798 72;
  • 26) 0,000 000 000 000 288 064 798 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 576 129 597 44;
  • 27) 0,000 000 000 000 576 129 597 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 152 259 194 88;
  • 28) 0,000 000 000 001 152 259 194 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 304 518 389 76;
  • 29) 0,000 000 000 002 304 518 389 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 609 036 779 52;
  • 30) 0,000 000 000 004 609 036 779 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 218 073 559 04;
  • 31) 0,000 000 000 009 218 073 559 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 436 147 118 08;
  • 32) 0,000 000 000 018 436 147 118 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 872 294 236 16;
  • 33) 0,000 000 000 036 872 294 236 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 744 588 472 32;
  • 34) 0,000 000 000 073 744 588 472 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 489 176 944 64;
  • 35) 0,000 000 000 147 489 176 944 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 294 978 353 889 28;
  • 36) 0,000 000 000 294 978 353 889 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 589 956 707 778 56;
  • 37) 0,000 000 000 589 956 707 778 56 × 2 = 0 + 0,000 000 001 179 913 415 557 12;
  • 38) 0,000 000 001 179 913 415 557 12 × 2 = 0 + 0,000 000 002 359 826 831 114 24;
  • 39) 0,000 000 002 359 826 831 114 24 × 2 = 0 + 0,000 000 004 719 653 662 228 48;
  • 40) 0,000 000 004 719 653 662 228 48 × 2 = 0 + 0,000 000 009 439 307 324 456 96;
  • 41) 0,000 000 009 439 307 324 456 96 × 2 = 0 + 0,000 000 018 878 614 648 913 92;
  • 42) 0,000 000 018 878 614 648 913 92 × 2 = 0 + 0,000 000 037 757 229 297 827 84;
  • 43) 0,000 000 037 757 229 297 827 84 × 2 = 0 + 0,000 000 075 514 458 595 655 68;
  • 44) 0,000 000 075 514 458 595 655 68 × 2 = 0 + 0,000 000 151 028 917 191 311 36;
  • 45) 0,000 000 151 028 917 191 311 36 × 2 = 0 + 0,000 000 302 057 834 382 622 72;
  • 46) 0,000 000 302 057 834 382 622 72 × 2 = 0 + 0,000 000 604 115 668 765 245 44;
  • 47) 0,000 000 604 115 668 765 245 44 × 2 = 0 + 0,000 001 208 231 337 530 490 88;
  • 48) 0,000 001 208 231 337 530 490 88 × 2 = 0 + 0,000 002 416 462 675 060 981 76;
  • 49) 0,000 002 416 462 675 060 981 76 × 2 = 0 + 0,000 004 832 925 350 121 963 52;
  • 50) 0,000 004 832 925 350 121 963 52 × 2 = 0 + 0,000 009 665 850 700 243 927 04;
  • 51) 0,000 009 665 850 700 243 927 04 × 2 = 0 + 0,000 019 331 701 400 487 854 08;
  • 52) 0,000 019 331 701 400 487 854 08 × 2 = 0 + 0,000 038 663 402 800 975 708 16;
  • 53) 0,000 038 663 402 800 975 708 16 × 2 = 0 + 0,000 077 326 805 601 951 416 32;
  • 54) 0,000 077 326 805 601 951 416 32 × 2 = 0 + 0,000 154 653 611 203 902 832 64;
  • 55) 0,000 154 653 611 203 902 832 64 × 2 = 0 + 0,000 309 307 222 407 805 665 28;
  • 56) 0,000 309 307 222 407 805 665 28 × 2 = 0 + 0,000 618 614 444 815 611 330 56;
  • 57) 0,000 618 614 444 815 611 330 56 × 2 = 0 + 0,001 237 228 889 631 222 661 12;
  • 58) 0,001 237 228 889 631 222 661 12 × 2 = 0 + 0,002 474 457 779 262 445 322 24;
  • 59) 0,002 474 457 779 262 445 322 24 × 2 = 0 + 0,004 948 915 558 524 890 644 48;
  • 60) 0,004 948 915 558 524 890 644 48 × 2 = 0 + 0,009 897 831 117 049 781 288 96;
  • 61) 0,009 897 831 117 049 781 288 96 × 2 = 0 + 0,019 795 662 234 099 562 577 92;
  • 62) 0,019 795 662 234 099 562 577 92 × 2 = 0 + 0,039 591 324 468 199 125 155 84;
  • 63) 0,039 591 324 468 199 125 155 84 × 2 = 0 + 0,079 182 648 936 398 250 311 68;
  • 64) 0,079 182 648 936 398 250 311 68 × 2 = 0 + 0,158 365 297 872 796 500 623 36;
  • 65) 0,158 365 297 872 796 500 623 36 × 2 = 0 + 0,316 730 595 745 593 001 246 72;
  • 66) 0,316 730 595 745 593 001 246 72 × 2 = 0 + 0,633 461 191 491 186 002 493 44;
  • 67) 0,633 461 191 491 186 002 493 44 × 2 = 1 + 0,266 922 382 982 372 004 986 88;
  • 68) 0,266 922 382 982 372 004 986 88 × 2 = 0 + 0,533 844 765 964 744 009 973 76;
  • 69) 0,533 844 765 964 744 009 973 76 × 2 = 1 + 0,067 689 531 929 488 019 947 52;
  • 70) 0,067 689 531 929 488 019 947 52 × 2 = 0 + 0,135 379 063 858 976 039 895 04;
  • 71) 0,135 379 063 858 976 039 895 04 × 2 = 0 + 0,270 758 127 717 952 079 790 08;
  • 72) 0,270 758 127 717 952 079 790 08 × 2 = 0 + 0,541 516 255 435 904 159 580 16;
  • 73) 0,541 516 255 435 904 159 580 16 × 2 = 1 + 0,083 032 510 871 808 319 160 32;
  • 74) 0,083 032 510 871 808 319 160 32 × 2 = 0 + 0,166 065 021 743 616 638 320 64;
  • 75) 0,166 065 021 743 616 638 320 64 × 2 = 0 + 0,332 130 043 487 233 276 641 28;
  • 76) 0,332 130 043 487 233 276 641 28 × 2 = 0 + 0,664 260 086 974 466 553 282 56;
  • 77) 0,664 260 086 974 466 553 282 56 × 2 = 1 + 0,328 520 173 948 933 106 565 12;
  • 78) 0,328 520 173 948 933 106 565 12 × 2 = 0 + 0,657 040 347 897 866 213 130 24;
  • 79) 0,657 040 347 897 866 213 130 24 × 2 = 1 + 0,314 080 695 795 732 426 260 48;
  • 80) 0,314 080 695 795 732 426 260 48 × 2 = 0 + 0,628 161 391 591 464 852 520 96;
  • 81) 0,628 161 391 591 464 852 520 96 × 2 = 1 + 0,256 322 783 182 929 705 041 92;
  • 82) 0,256 322 783 182 929 705 041 92 × 2 = 0 + 0,512 645 566 365 859 410 083 84;
  • 83) 0,512 645 566 365 859 410 083 84 × 2 = 1 + 0,025 291 132 731 718 820 167 68;
  • 84) 0,025 291 132 731 718 820 167 68 × 2 = 0 + 0,050 582 265 463 437 640 335 36;
  • 85) 0,050 582 265 463 437 640 335 36 × 2 = 0 + 0,101 164 530 926 875 280 670 72;
  • 86) 0,101 164 530 926 875 280 670 72 × 2 = 0 + 0,202 329 061 853 750 561 341 44;
  • 87) 0,202 329 061 853 750 561 341 44 × 2 = 0 + 0,404 658 123 707 501 122 682 88;
  • 88) 0,404 658 123 707 501 122 682 88 × 2 = 0 + 0,809 316 247 415 002 245 365 76;
  • 89) 0,809 316 247 415 002 245 365 76 × 2 = 1 + 0,618 632 494 830 004 490 731 52;
  • 90) 0,618 632 494 830 004 490 731 52 × 2 = 1 + 0,237 264 989 660 008 981 463 04;
  • 91) 0,237 264 989 660 008 981 463 04 × 2 = 0 + 0,474 529 979 320 017 962 926 08;
  • 92) 0,474 529 979 320 017 962 926 08 × 2 = 0 + 0,949 059 958 640 035 925 852 16;
  • 93) 0,949 059 958 640 035 925 852 16 × 2 = 1 + 0,898 119 917 280 071 851 704 32;
  • 94) 0,898 119 917 280 071 851 704 32 × 2 = 1 + 0,796 239 834 560 143 703 408 64;
  • 95) 0,796 239 834 560 143 703 408 64 × 2 = 1 + 0,592 479 669 120 287 406 817 28;
  • 96) 0,592 479 669 120 287 406 817 28 × 2 = 1 + 0,184 959 338 240 574 813 634 56;
  • 97) 0,184 959 338 240 574 813 634 56 × 2 = 0 + 0,369 918 676 481 149 627 269 12;
  • 98) 0,369 918 676 481 149 627 269 12 × 2 = 0 + 0,739 837 352 962 299 254 538 24;
  • 99) 0,739 837 352 962 299 254 538 24 × 2 = 1 + 0,479 674 705 924 598 509 076 48;
  • 100) 0,479 674 705 924 598 509 076 48 × 2 = 0 + 0,959 349 411 849 197 018 152 96;
  • 101) 0,959 349 411 849 197 018 152 96 × 2 = 1 + 0,918 698 823 698 394 036 305 92;
  • 102) 0,918 698 823 698 394 036 305 92 × 2 = 1 + 0,837 397 647 396 788 072 611 84;
  • 103) 0,837 397 647 396 788 072 611 84 × 2 = 1 + 0,674 795 294 793 576 145 223 68;
  • 104) 0,674 795 294 793 576 145 223 68 × 2 = 1 + 0,349 590 589 587 152 290 447 36;
  • 105) 0,349 590 589 587 152 290 447 36 × 2 = 0 + 0,699 181 179 174 304 580 894 72;
  • 106) 0,699 181 179 174 304 580 894 72 × 2 = 1 + 0,398 362 358 348 609 161 789 44;
  • 107) 0,398 362 358 348 609 161 789 44 × 2 = 0 + 0,796 724 716 697 218 323 578 88;
  • 108) 0,796 724 716 697 218 323 578 88 × 2 = 1 + 0,593 449 433 394 436 647 157 76;
  • 109) 0,593 449 433 394 436 647 157 76 × 2 = 1 + 0,186 898 866 788 873 294 315 52;
  • 110) 0,186 898 866 788 873 294 315 52 × 2 = 0 + 0,373 797 733 577 746 588 631 04;
  • 111) 0,373 797 733 577 746 588 631 04 × 2 = 0 + 0,747 595 467 155 493 177 262 08;
  • 112) 0,747 595 467 155 493 177 262 08 × 2 = 1 + 0,495 190 934 310 986 354 524 16;
  • 113) 0,495 190 934 310 986 354 524 16 × 2 = 0 + 0,990 381 868 621 972 709 048 32;
  • 114) 0,990 381 868 621 972 709 048 32 × 2 = 1 + 0,980 763 737 243 945 418 096 64;
  • 115) 0,980 763 737 243 945 418 096 64 × 2 = 1 + 0,961 527 474 487 890 836 193 28;
  • 116) 0,961 527 474 487 890 836 193 28 × 2 = 1 + 0,923 054 948 975 781 672 386 56;
  • 117) 0,923 054 948 975 781 672 386 56 × 2 = 1 + 0,846 109 897 951 563 344 773 12;
  • 118) 0,846 109 897 951 563 344 773 12 × 2 = 1 + 0,692 219 795 903 126 689 546 24;
  • 119) 0,692 219 795 903 126 689 546 24 × 2 = 1 + 0,384 439 591 806 253 379 092 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 585(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1010 1010 0000 1100 1111 0010 1111 0101 1001 0111 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 585(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1010 1010 0000 1100 1111 0010 1111 0101 1001 0111 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 585(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1010 1010 0000 1100 1111 0010 1111 0101 1001 0111 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1010 1010 0000 1100 1111 0010 1111 0101 1001 0111 111(2) × 20 =

1,0100 0100 0101 0101 0000 0110 0111 1001 0111 1010 1100 1011 1111(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 0101 0101 0000 0110 0111 1001 0111 1010 1100 1011 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 0101 0101 0000 0110 0111 1001 0111 1010 1100 1011 1111 =

0100 0100 0101 0101 0000 0110 0111 1001 0111 1010 1100 1011 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 0101 0101 0000 0110 0111 1001 0111 1010 1100 1011 1111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 585 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0100 0101 0101 0000 0110 0111 1001 0111 1010 1100 1011 1111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 661 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100