0,000 000 000 000 000 000 008 595 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 595(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 595(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 595.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 595 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 19;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 19 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 38;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 38 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 76;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 52;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 275 04;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 275 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 550 08;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 550 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 100 16;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 100 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 200 32;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 200 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 400 64;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 400 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 801 28;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 801 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 602 56;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 602 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 205 12;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 205 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 410 24;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 410 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 820 48;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 820 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 640 96;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 281 640 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 563 281 92;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 563 281 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 126 563 84;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 126 563 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 253 127 68;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 253 127 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 506 255 36;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 506 255 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 012 510 72;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 012 510 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 025 021 44;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 025 021 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 050 042 88;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 050 042 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 100 085 76;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 100 085 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 200 171 52;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 200 171 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 400 343 04;
  • 26) 0,000 000 000 000 288 400 343 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 576 800 686 08;
  • 27) 0,000 000 000 000 576 800 686 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 153 601 372 16;
  • 28) 0,000 000 000 001 153 601 372 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 307 202 744 32;
  • 29) 0,000 000 000 002 307 202 744 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 614 405 488 64;
  • 30) 0,000 000 000 004 614 405 488 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 228 810 977 28;
  • 31) 0,000 000 000 009 228 810 977 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 457 621 954 56;
  • 32) 0,000 000 000 018 457 621 954 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 915 243 909 12;
  • 33) 0,000 000 000 036 915 243 909 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 830 487 818 24;
  • 34) 0,000 000 000 073 830 487 818 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 660 975 636 48;
  • 35) 0,000 000 000 147 660 975 636 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 295 321 951 272 96;
  • 36) 0,000 000 000 295 321 951 272 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 590 643 902 545 92;
  • 37) 0,000 000 000 590 643 902 545 92 × 2 = 0 + 0,000 000 001 181 287 805 091 84;
  • 38) 0,000 000 001 181 287 805 091 84 × 2 = 0 + 0,000 000 002 362 575 610 183 68;
  • 39) 0,000 000 002 362 575 610 183 68 × 2 = 0 + 0,000 000 004 725 151 220 367 36;
  • 40) 0,000 000 004 725 151 220 367 36 × 2 = 0 + 0,000 000 009 450 302 440 734 72;
  • 41) 0,000 000 009 450 302 440 734 72 × 2 = 0 + 0,000 000 018 900 604 881 469 44;
  • 42) 0,000 000 018 900 604 881 469 44 × 2 = 0 + 0,000 000 037 801 209 762 938 88;
  • 43) 0,000 000 037 801 209 762 938 88 × 2 = 0 + 0,000 000 075 602 419 525 877 76;
  • 44) 0,000 000 075 602 419 525 877 76 × 2 = 0 + 0,000 000 151 204 839 051 755 52;
  • 45) 0,000 000 151 204 839 051 755 52 × 2 = 0 + 0,000 000 302 409 678 103 511 04;
  • 46) 0,000 000 302 409 678 103 511 04 × 2 = 0 + 0,000 000 604 819 356 207 022 08;
  • 47) 0,000 000 604 819 356 207 022 08 × 2 = 0 + 0,000 001 209 638 712 414 044 16;
  • 48) 0,000 001 209 638 712 414 044 16 × 2 = 0 + 0,000 002 419 277 424 828 088 32;
  • 49) 0,000 002 419 277 424 828 088 32 × 2 = 0 + 0,000 004 838 554 849 656 176 64;
  • 50) 0,000 004 838 554 849 656 176 64 × 2 = 0 + 0,000 009 677 109 699 312 353 28;
  • 51) 0,000 009 677 109 699 312 353 28 × 2 = 0 + 0,000 019 354 219 398 624 706 56;
  • 52) 0,000 019 354 219 398 624 706 56 × 2 = 0 + 0,000 038 708 438 797 249 413 12;
  • 53) 0,000 038 708 438 797 249 413 12 × 2 = 0 + 0,000 077 416 877 594 498 826 24;
  • 54) 0,000 077 416 877 594 498 826 24 × 2 = 0 + 0,000 154 833 755 188 997 652 48;
  • 55) 0,000 154 833 755 188 997 652 48 × 2 = 0 + 0,000 309 667 510 377 995 304 96;
  • 56) 0,000 309 667 510 377 995 304 96 × 2 = 0 + 0,000 619 335 020 755 990 609 92;
  • 57) 0,000 619 335 020 755 990 609 92 × 2 = 0 + 0,001 238 670 041 511 981 219 84;
  • 58) 0,001 238 670 041 511 981 219 84 × 2 = 0 + 0,002 477 340 083 023 962 439 68;
  • 59) 0,002 477 340 083 023 962 439 68 × 2 = 0 + 0,004 954 680 166 047 924 879 36;
  • 60) 0,004 954 680 166 047 924 879 36 × 2 = 0 + 0,009 909 360 332 095 849 758 72;
  • 61) 0,009 909 360 332 095 849 758 72 × 2 = 0 + 0,019 818 720 664 191 699 517 44;
  • 62) 0,019 818 720 664 191 699 517 44 × 2 = 0 + 0,039 637 441 328 383 399 034 88;
  • 63) 0,039 637 441 328 383 399 034 88 × 2 = 0 + 0,079 274 882 656 766 798 069 76;
  • 64) 0,079 274 882 656 766 798 069 76 × 2 = 0 + 0,158 549 765 313 533 596 139 52;
  • 65) 0,158 549 765 313 533 596 139 52 × 2 = 0 + 0,317 099 530 627 067 192 279 04;
  • 66) 0,317 099 530 627 067 192 279 04 × 2 = 0 + 0,634 199 061 254 134 384 558 08;
  • 67) 0,634 199 061 254 134 384 558 08 × 2 = 1 + 0,268 398 122 508 268 769 116 16;
  • 68) 0,268 398 122 508 268 769 116 16 × 2 = 0 + 0,536 796 245 016 537 538 232 32;
  • 69) 0,536 796 245 016 537 538 232 32 × 2 = 1 + 0,073 592 490 033 075 076 464 64;
  • 70) 0,073 592 490 033 075 076 464 64 × 2 = 0 + 0,147 184 980 066 150 152 929 28;
  • 71) 0,147 184 980 066 150 152 929 28 × 2 = 0 + 0,294 369 960 132 300 305 858 56;
  • 72) 0,294 369 960 132 300 305 858 56 × 2 = 0 + 0,588 739 920 264 600 611 717 12;
  • 73) 0,588 739 920 264 600 611 717 12 × 2 = 1 + 0,177 479 840 529 201 223 434 24;
  • 74) 0,177 479 840 529 201 223 434 24 × 2 = 0 + 0,354 959 681 058 402 446 868 48;
  • 75) 0,354 959 681 058 402 446 868 48 × 2 = 0 + 0,709 919 362 116 804 893 736 96;
  • 76) 0,709 919 362 116 804 893 736 96 × 2 = 1 + 0,419 838 724 233 609 787 473 92;
  • 77) 0,419 838 724 233 609 787 473 92 × 2 = 0 + 0,839 677 448 467 219 574 947 84;
  • 78) 0,839 677 448 467 219 574 947 84 × 2 = 1 + 0,679 354 896 934 439 149 895 68;
  • 79) 0,679 354 896 934 439 149 895 68 × 2 = 1 + 0,358 709 793 868 878 299 791 36;
  • 80) 0,358 709 793 868 878 299 791 36 × 2 = 0 + 0,717 419 587 737 756 599 582 72;
  • 81) 0,717 419 587 737 756 599 582 72 × 2 = 1 + 0,434 839 175 475 513 199 165 44;
  • 82) 0,434 839 175 475 513 199 165 44 × 2 = 0 + 0,869 678 350 951 026 398 330 88;
  • 83) 0,869 678 350 951 026 398 330 88 × 2 = 1 + 0,739 356 701 902 052 796 661 76;
  • 84) 0,739 356 701 902 052 796 661 76 × 2 = 1 + 0,478 713 403 804 105 593 323 52;
  • 85) 0,478 713 403 804 105 593 323 52 × 2 = 0 + 0,957 426 807 608 211 186 647 04;
  • 86) 0,957 426 807 608 211 186 647 04 × 2 = 1 + 0,914 853 615 216 422 373 294 08;
  • 87) 0,914 853 615 216 422 373 294 08 × 2 = 1 + 0,829 707 230 432 844 746 588 16;
  • 88) 0,829 707 230 432 844 746 588 16 × 2 = 1 + 0,659 414 460 865 689 493 176 32;
  • 89) 0,659 414 460 865 689 493 176 32 × 2 = 1 + 0,318 828 921 731 378 986 352 64;
  • 90) 0,318 828 921 731 378 986 352 64 × 2 = 0 + 0,637 657 843 462 757 972 705 28;
  • 91) 0,637 657 843 462 757 972 705 28 × 2 = 1 + 0,275 315 686 925 515 945 410 56;
  • 92) 0,275 315 686 925 515 945 410 56 × 2 = 0 + 0,550 631 373 851 031 890 821 12;
  • 93) 0,550 631 373 851 031 890 821 12 × 2 = 1 + 0,101 262 747 702 063 781 642 24;
  • 94) 0,101 262 747 702 063 781 642 24 × 2 = 0 + 0,202 525 495 404 127 563 284 48;
  • 95) 0,202 525 495 404 127 563 284 48 × 2 = 0 + 0,405 050 990 808 255 126 568 96;
  • 96) 0,405 050 990 808 255 126 568 96 × 2 = 0 + 0,810 101 981 616 510 253 137 92;
  • 97) 0,810 101 981 616 510 253 137 92 × 2 = 1 + 0,620 203 963 233 020 506 275 84;
  • 98) 0,620 203 963 233 020 506 275 84 × 2 = 1 + 0,240 407 926 466 041 012 551 68;
  • 99) 0,240 407 926 466 041 012 551 68 × 2 = 0 + 0,480 815 852 932 082 025 103 36;
  • 100) 0,480 815 852 932 082 025 103 36 × 2 = 0 + 0,961 631 705 864 164 050 206 72;
  • 101) 0,961 631 705 864 164 050 206 72 × 2 = 1 + 0,923 263 411 728 328 100 413 44;
  • 102) 0,923 263 411 728 328 100 413 44 × 2 = 1 + 0,846 526 823 456 656 200 826 88;
  • 103) 0,846 526 823 456 656 200 826 88 × 2 = 1 + 0,693 053 646 913 312 401 653 76;
  • 104) 0,693 053 646 913 312 401 653 76 × 2 = 1 + 0,386 107 293 826 624 803 307 52;
  • 105) 0,386 107 293 826 624 803 307 52 × 2 = 0 + 0,772 214 587 653 249 606 615 04;
  • 106) 0,772 214 587 653 249 606 615 04 × 2 = 1 + 0,544 429 175 306 499 213 230 08;
  • 107) 0,544 429 175 306 499 213 230 08 × 2 = 1 + 0,088 858 350 612 998 426 460 16;
  • 108) 0,088 858 350 612 998 426 460 16 × 2 = 0 + 0,177 716 701 225 996 852 920 32;
  • 109) 0,177 716 701 225 996 852 920 32 × 2 = 0 + 0,355 433 402 451 993 705 840 64;
  • 110) 0,355 433 402 451 993 705 840 64 × 2 = 0 + 0,710 866 804 903 987 411 681 28;
  • 111) 0,710 866 804 903 987 411 681 28 × 2 = 1 + 0,421 733 609 807 974 823 362 56;
  • 112) 0,421 733 609 807 974 823 362 56 × 2 = 0 + 0,843 467 219 615 949 646 725 12;
  • 113) 0,843 467 219 615 949 646 725 12 × 2 = 1 + 0,686 934 439 231 899 293 450 24;
  • 114) 0,686 934 439 231 899 293 450 24 × 2 = 1 + 0,373 868 878 463 798 586 900 48;
  • 115) 0,373 868 878 463 798 586 900 48 × 2 = 0 + 0,747 737 756 927 597 173 800 96;
  • 116) 0,747 737 756 927 597 173 800 96 × 2 = 1 + 0,495 475 513 855 194 347 601 92;
  • 117) 0,495 475 513 855 194 347 601 92 × 2 = 0 + 0,990 951 027 710 388 695 203 84;
  • 118) 0,990 951 027 710 388 695 203 84 × 2 = 1 + 0,981 902 055 420 777 390 407 68;
  • 119) 0,981 902 055 420 777 390 407 68 × 2 = 1 + 0,963 804 110 841 554 780 815 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 595(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 0110 1011 0111 1010 1000 1100 1111 0110 0010 1101 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 595(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 0110 1011 0111 1010 1000 1100 1111 0110 0010 1101 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 595(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 0110 1011 0111 1010 1000 1100 1111 0110 0010 1101 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 0110 1011 0111 1010 1000 1100 1111 0110 0010 1101 011(2) × 20 =

1,0100 0100 1011 0101 1011 1101 0100 0110 0111 1011 0001 0110 1011(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 1011 0101 1011 1101 0100 0110 0111 1011 0001 0110 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 1011 0101 1011 1101 0100 0110 0111 1011 0001 0110 1011 =

0100 0100 1011 0101 1011 1101 0100 0110 0111 1011 0001 0110 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 1011 0101 1011 1101 0100 0110 0111 1011 0001 0110 1011


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 595 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0100 1011 0101 1011 1101 0100 0110 0111 1011 0001 0110 1011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 609 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100