0,000 000 000 000 000 000 008 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 2;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 4;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 8;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 6;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 275 2;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 275 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 550 4;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 550 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 100 8;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 100 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 201 6;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 201 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 403 2;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 403 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 806 4;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 806 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 612 8;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 612 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 225 6;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 225 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 451 2;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 451 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 902 4;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 902 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 804 8;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 281 804 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 563 609 6;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 563 609 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 127 219 2;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 127 219 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 254 438 4;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 254 438 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 508 876 8;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 508 876 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 017 753 6;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 017 753 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 035 507 2;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 035 507 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 071 014 4;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 071 014 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 142 028 8;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 142 028 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 284 057 6;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 284 057 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 568 115 2;
  • 26) 0,000 000 000 000 288 568 115 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 577 136 230 4;
  • 27) 0,000 000 000 000 577 136 230 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 154 272 460 8;
  • 28) 0,000 000 000 001 154 272 460 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 308 544 921 6;
  • 29) 0,000 000 000 002 308 544 921 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 617 089 843 2;
  • 30) 0,000 000 000 004 617 089 843 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 234 179 686 4;
  • 31) 0,000 000 000 009 234 179 686 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 468 359 372 8;
  • 32) 0,000 000 000 018 468 359 372 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 936 718 745 6;
  • 33) 0,000 000 000 036 936 718 745 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 873 437 491 2;
  • 34) 0,000 000 000 073 873 437 491 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 746 874 982 4;
  • 35) 0,000 000 000 147 746 874 982 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 295 493 749 964 8;
  • 36) 0,000 000 000 295 493 749 964 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 590 987 499 929 6;
  • 37) 0,000 000 000 590 987 499 929 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 181 974 999 859 2;
  • 38) 0,000 000 001 181 974 999 859 2 × 2 = 0 + 0,000 000 002 363 949 999 718 4;
  • 39) 0,000 000 002 363 949 999 718 4 × 2 = 0 + 0,000 000 004 727 899 999 436 8;
  • 40) 0,000 000 004 727 899 999 436 8 × 2 = 0 + 0,000 000 009 455 799 998 873 6;
  • 41) 0,000 000 009 455 799 998 873 6 × 2 = 0 + 0,000 000 018 911 599 997 747 2;
  • 42) 0,000 000 018 911 599 997 747 2 × 2 = 0 + 0,000 000 037 823 199 995 494 4;
  • 43) 0,000 000 037 823 199 995 494 4 × 2 = 0 + 0,000 000 075 646 399 990 988 8;
  • 44) 0,000 000 075 646 399 990 988 8 × 2 = 0 + 0,000 000 151 292 799 981 977 6;
  • 45) 0,000 000 151 292 799 981 977 6 × 2 = 0 + 0,000 000 302 585 599 963 955 2;
  • 46) 0,000 000 302 585 599 963 955 2 × 2 = 0 + 0,000 000 605 171 199 927 910 4;
  • 47) 0,000 000 605 171 199 927 910 4 × 2 = 0 + 0,000 001 210 342 399 855 820 8;
  • 48) 0,000 001 210 342 399 855 820 8 × 2 = 0 + 0,000 002 420 684 799 711 641 6;
  • 49) 0,000 002 420 684 799 711 641 6 × 2 = 0 + 0,000 004 841 369 599 423 283 2;
  • 50) 0,000 004 841 369 599 423 283 2 × 2 = 0 + 0,000 009 682 739 198 846 566 4;
  • 51) 0,000 009 682 739 198 846 566 4 × 2 = 0 + 0,000 019 365 478 397 693 132 8;
  • 52) 0,000 019 365 478 397 693 132 8 × 2 = 0 + 0,000 038 730 956 795 386 265 6;
  • 53) 0,000 038 730 956 795 386 265 6 × 2 = 0 + 0,000 077 461 913 590 772 531 2;
  • 54) 0,000 077 461 913 590 772 531 2 × 2 = 0 + 0,000 154 923 827 181 545 062 4;
  • 55) 0,000 154 923 827 181 545 062 4 × 2 = 0 + 0,000 309 847 654 363 090 124 8;
  • 56) 0,000 309 847 654 363 090 124 8 × 2 = 0 + 0,000 619 695 308 726 180 249 6;
  • 57) 0,000 619 695 308 726 180 249 6 × 2 = 0 + 0,001 239 390 617 452 360 499 2;
  • 58) 0,001 239 390 617 452 360 499 2 × 2 = 0 + 0,002 478 781 234 904 720 998 4;
  • 59) 0,002 478 781 234 904 720 998 4 × 2 = 0 + 0,004 957 562 469 809 441 996 8;
  • 60) 0,004 957 562 469 809 441 996 8 × 2 = 0 + 0,009 915 124 939 618 883 993 6;
  • 61) 0,009 915 124 939 618 883 993 6 × 2 = 0 + 0,019 830 249 879 237 767 987 2;
  • 62) 0,019 830 249 879 237 767 987 2 × 2 = 0 + 0,039 660 499 758 475 535 974 4;
  • 63) 0,039 660 499 758 475 535 974 4 × 2 = 0 + 0,079 320 999 516 951 071 948 8;
  • 64) 0,079 320 999 516 951 071 948 8 × 2 = 0 + 0,158 641 999 033 902 143 897 6;
  • 65) 0,158 641 999 033 902 143 897 6 × 2 = 0 + 0,317 283 998 067 804 287 795 2;
  • 66) 0,317 283 998 067 804 287 795 2 × 2 = 0 + 0,634 567 996 135 608 575 590 4;
  • 67) 0,634 567 996 135 608 575 590 4 × 2 = 1 + 0,269 135 992 271 217 151 180 8;
  • 68) 0,269 135 992 271 217 151 180 8 × 2 = 0 + 0,538 271 984 542 434 302 361 6;
  • 69) 0,538 271 984 542 434 302 361 6 × 2 = 1 + 0,076 543 969 084 868 604 723 2;
  • 70) 0,076 543 969 084 868 604 723 2 × 2 = 0 + 0,153 087 938 169 737 209 446 4;
  • 71) 0,153 087 938 169 737 209 446 4 × 2 = 0 + 0,306 175 876 339 474 418 892 8;
  • 72) 0,306 175 876 339 474 418 892 8 × 2 = 0 + 0,612 351 752 678 948 837 785 6;
  • 73) 0,612 351 752 678 948 837 785 6 × 2 = 1 + 0,224 703 505 357 897 675 571 2;
  • 74) 0,224 703 505 357 897 675 571 2 × 2 = 0 + 0,449 407 010 715 795 351 142 4;
  • 75) 0,449 407 010 715 795 351 142 4 × 2 = 0 + 0,898 814 021 431 590 702 284 8;
  • 76) 0,898 814 021 431 590 702 284 8 × 2 = 1 + 0,797 628 042 863 181 404 569 6;
  • 77) 0,797 628 042 863 181 404 569 6 × 2 = 1 + 0,595 256 085 726 362 809 139 2;
  • 78) 0,595 256 085 726 362 809 139 2 × 2 = 1 + 0,190 512 171 452 725 618 278 4;
  • 79) 0,190 512 171 452 725 618 278 4 × 2 = 0 + 0,381 024 342 905 451 236 556 8;
  • 80) 0,381 024 342 905 451 236 556 8 × 2 = 0 + 0,762 048 685 810 902 473 113 6;
  • 81) 0,762 048 685 810 902 473 113 6 × 2 = 1 + 0,524 097 371 621 804 946 227 2;
  • 82) 0,524 097 371 621 804 946 227 2 × 2 = 1 + 0,048 194 743 243 609 892 454 4;
  • 83) 0,048 194 743 243 609 892 454 4 × 2 = 0 + 0,096 389 486 487 219 784 908 8;
  • 84) 0,096 389 486 487 219 784 908 8 × 2 = 0 + 0,192 778 972 974 439 569 817 6;
  • 85) 0,192 778 972 974 439 569 817 6 × 2 = 0 + 0,385 557 945 948 879 139 635 2;
  • 86) 0,385 557 945 948 879 139 635 2 × 2 = 0 + 0,771 115 891 897 758 279 270 4;
  • 87) 0,771 115 891 897 758 279 270 4 × 2 = 1 + 0,542 231 783 795 516 558 540 8;
  • 88) 0,542 231 783 795 516 558 540 8 × 2 = 1 + 0,084 463 567 591 033 117 081 6;
  • 89) 0,084 463 567 591 033 117 081 6 × 2 = 0 + 0,168 927 135 182 066 234 163 2;
  • 90) 0,168 927 135 182 066 234 163 2 × 2 = 0 + 0,337 854 270 364 132 468 326 4;
  • 91) 0,337 854 270 364 132 468 326 4 × 2 = 0 + 0,675 708 540 728 264 936 652 8;
  • 92) 0,675 708 540 728 264 936 652 8 × 2 = 1 + 0,351 417 081 456 529 873 305 6;
  • 93) 0,351 417 081 456 529 873 305 6 × 2 = 0 + 0,702 834 162 913 059 746 611 2;
  • 94) 0,702 834 162 913 059 746 611 2 × 2 = 1 + 0,405 668 325 826 119 493 222 4;
  • 95) 0,405 668 325 826 119 493 222 4 × 2 = 0 + 0,811 336 651 652 238 986 444 8;
  • 96) 0,811 336 651 652 238 986 444 8 × 2 = 1 + 0,622 673 303 304 477 972 889 6;
  • 97) 0,622 673 303 304 477 972 889 6 × 2 = 1 + 0,245 346 606 608 955 945 779 2;
  • 98) 0,245 346 606 608 955 945 779 2 × 2 = 0 + 0,490 693 213 217 911 891 558 4;
  • 99) 0,490 693 213 217 911 891 558 4 × 2 = 0 + 0,981 386 426 435 823 783 116 8;
  • 100) 0,981 386 426 435 823 783 116 8 × 2 = 1 + 0,962 772 852 871 647 566 233 6;
  • 101) 0,962 772 852 871 647 566 233 6 × 2 = 1 + 0,925 545 705 743 295 132 467 2;
  • 102) 0,925 545 705 743 295 132 467 2 × 2 = 1 + 0,851 091 411 486 590 264 934 4;
  • 103) 0,851 091 411 486 590 264 934 4 × 2 = 1 + 0,702 182 822 973 180 529 868 8;
  • 104) 0,702 182 822 973 180 529 868 8 × 2 = 1 + 0,404 365 645 946 361 059 737 6;
  • 105) 0,404 365 645 946 361 059 737 6 × 2 = 0 + 0,808 731 291 892 722 119 475 2;
  • 106) 0,808 731 291 892 722 119 475 2 × 2 = 1 + 0,617 462 583 785 444 238 950 4;
  • 107) 0,617 462 583 785 444 238 950 4 × 2 = 1 + 0,234 925 167 570 888 477 900 8;
  • 108) 0,234 925 167 570 888 477 900 8 × 2 = 0 + 0,469 850 335 141 776 955 801 6;
  • 109) 0,469 850 335 141 776 955 801 6 × 2 = 0 + 0,939 700 670 283 553 911 603 2;
  • 110) 0,939 700 670 283 553 911 603 2 × 2 = 1 + 0,879 401 340 567 107 823 206 4;
  • 111) 0,879 401 340 567 107 823 206 4 × 2 = 1 + 0,758 802 681 134 215 646 412 8;
  • 112) 0,758 802 681 134 215 646 412 8 × 2 = 1 + 0,517 605 362 268 431 292 825 6;
  • 113) 0,517 605 362 268 431 292 825 6 × 2 = 1 + 0,035 210 724 536 862 585 651 2;
  • 114) 0,035 210 724 536 862 585 651 2 × 2 = 0 + 0,070 421 449 073 725 171 302 4;
  • 115) 0,070 421 449 073 725 171 302 4 × 2 = 0 + 0,140 842 898 147 450 342 604 8;
  • 116) 0,140 842 898 147 450 342 604 8 × 2 = 0 + 0,281 685 796 294 900 685 209 6;
  • 117) 0,281 685 796 294 900 685 209 6 × 2 = 0 + 0,563 371 592 589 801 370 419 2;
  • 118) 0,563 371 592 589 801 370 419 2 × 2 = 1 + 0,126 743 185 179 602 740 838 4;
  • 119) 0,126 743 185 179 602 740 838 4 × 2 = 0 + 0,253 486 370 359 205 481 676 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 1100 1100 0011 0001 0101 1001 1111 0110 0111 1000 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 1100 1100 0011 0001 0101 1001 1111 0110 0111 1000 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 1100 1100 0011 0001 0101 1001 1111 0110 0111 1000 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1001 1100 1100 0011 0001 0101 1001 1111 0110 0111 1000 010(2) × 20 =

1,0100 0100 1110 0110 0001 1000 1010 1100 1111 1011 0011 1100 0010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 1110 0110 0001 1000 1010 1100 1111 1011 0011 1100 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 1110 0110 0001 1000 1010 1100 1111 1011 0011 1100 0010 =

0100 0100 1110 0110 0001 1000 1010 1100 1111 1011 0011 1100 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 1110 0110 0001 1000 1010 1100 1111 1011 0011 1100 0010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0100 1110 0110 0001 1000 1010 1100 1111 1011 0011 1100 0010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 001 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100