0,000 000 000 000 000 000 008 63 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 63(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 63(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 63.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 63 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 26;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 26 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 52;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 069 04;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 069 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 138 08;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 138 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 276 16;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 276 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 552 32;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 552 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 104 64;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 104 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 209 28;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 209 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 418 56;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 418 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 837 12;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 837 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 674 24;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 674 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 348 48;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 348 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 696 96;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 696 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 141 393 92;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 141 393 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 282 787 84;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 282 787 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 565 575 68;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 565 575 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 131 151 36;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 131 151 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 262 302 72;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 262 302 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 524 605 44;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 524 605 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 049 210 88;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 049 210 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 098 421 76;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 098 421 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 196 843 52;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 196 843 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 393 687 04;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 393 687 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 787 374 08;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 787 374 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 289 574 748 16;
  • 26) 0,000 000 000 000 289 574 748 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 579 149 496 32;
  • 27) 0,000 000 000 000 579 149 496 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 158 298 992 64;
  • 28) 0,000 000 000 001 158 298 992 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 316 597 985 28;
  • 29) 0,000 000 000 002 316 597 985 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 633 195 970 56;
  • 30) 0,000 000 000 004 633 195 970 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 266 391 941 12;
  • 31) 0,000 000 000 009 266 391 941 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 532 783 882 24;
  • 32) 0,000 000 000 018 532 783 882 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 037 065 567 764 48;
  • 33) 0,000 000 000 037 065 567 764 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 074 131 135 528 96;
  • 34) 0,000 000 000 074 131 135 528 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 148 262 271 057 92;
  • 35) 0,000 000 000 148 262 271 057 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 296 524 542 115 84;
  • 36) 0,000 000 000 296 524 542 115 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 593 049 084 231 68;
  • 37) 0,000 000 000 593 049 084 231 68 × 2 = 0 + 0,000 000 001 186 098 168 463 36;
  • 38) 0,000 000 001 186 098 168 463 36 × 2 = 0 + 0,000 000 002 372 196 336 926 72;
  • 39) 0,000 000 002 372 196 336 926 72 × 2 = 0 + 0,000 000 004 744 392 673 853 44;
  • 40) 0,000 000 004 744 392 673 853 44 × 2 = 0 + 0,000 000 009 488 785 347 706 88;
  • 41) 0,000 000 009 488 785 347 706 88 × 2 = 0 + 0,000 000 018 977 570 695 413 76;
  • 42) 0,000 000 018 977 570 695 413 76 × 2 = 0 + 0,000 000 037 955 141 390 827 52;
  • 43) 0,000 000 037 955 141 390 827 52 × 2 = 0 + 0,000 000 075 910 282 781 655 04;
  • 44) 0,000 000 075 910 282 781 655 04 × 2 = 0 + 0,000 000 151 820 565 563 310 08;
  • 45) 0,000 000 151 820 565 563 310 08 × 2 = 0 + 0,000 000 303 641 131 126 620 16;
  • 46) 0,000 000 303 641 131 126 620 16 × 2 = 0 + 0,000 000 607 282 262 253 240 32;
  • 47) 0,000 000 607 282 262 253 240 32 × 2 = 0 + 0,000 001 214 564 524 506 480 64;
  • 48) 0,000 001 214 564 524 506 480 64 × 2 = 0 + 0,000 002 429 129 049 012 961 28;
  • 49) 0,000 002 429 129 049 012 961 28 × 2 = 0 + 0,000 004 858 258 098 025 922 56;
  • 50) 0,000 004 858 258 098 025 922 56 × 2 = 0 + 0,000 009 716 516 196 051 845 12;
  • 51) 0,000 009 716 516 196 051 845 12 × 2 = 0 + 0,000 019 433 032 392 103 690 24;
  • 52) 0,000 019 433 032 392 103 690 24 × 2 = 0 + 0,000 038 866 064 784 207 380 48;
  • 53) 0,000 038 866 064 784 207 380 48 × 2 = 0 + 0,000 077 732 129 568 414 760 96;
  • 54) 0,000 077 732 129 568 414 760 96 × 2 = 0 + 0,000 155 464 259 136 829 521 92;
  • 55) 0,000 155 464 259 136 829 521 92 × 2 = 0 + 0,000 310 928 518 273 659 043 84;
  • 56) 0,000 310 928 518 273 659 043 84 × 2 = 0 + 0,000 621 857 036 547 318 087 68;
  • 57) 0,000 621 857 036 547 318 087 68 × 2 = 0 + 0,001 243 714 073 094 636 175 36;
  • 58) 0,001 243 714 073 094 636 175 36 × 2 = 0 + 0,002 487 428 146 189 272 350 72;
  • 59) 0,002 487 428 146 189 272 350 72 × 2 = 0 + 0,004 974 856 292 378 544 701 44;
  • 60) 0,004 974 856 292 378 544 701 44 × 2 = 0 + 0,009 949 712 584 757 089 402 88;
  • 61) 0,009 949 712 584 757 089 402 88 × 2 = 0 + 0,019 899 425 169 514 178 805 76;
  • 62) 0,019 899 425 169 514 178 805 76 × 2 = 0 + 0,039 798 850 339 028 357 611 52;
  • 63) 0,039 798 850 339 028 357 611 52 × 2 = 0 + 0,079 597 700 678 056 715 223 04;
  • 64) 0,079 597 700 678 056 715 223 04 × 2 = 0 + 0,159 195 401 356 113 430 446 08;
  • 65) 0,159 195 401 356 113 430 446 08 × 2 = 0 + 0,318 390 802 712 226 860 892 16;
  • 66) 0,318 390 802 712 226 860 892 16 × 2 = 0 + 0,636 781 605 424 453 721 784 32;
  • 67) 0,636 781 605 424 453 721 784 32 × 2 = 1 + 0,273 563 210 848 907 443 568 64;
  • 68) 0,273 563 210 848 907 443 568 64 × 2 = 0 + 0,547 126 421 697 814 887 137 28;
  • 69) 0,547 126 421 697 814 887 137 28 × 2 = 1 + 0,094 252 843 395 629 774 274 56;
  • 70) 0,094 252 843 395 629 774 274 56 × 2 = 0 + 0,188 505 686 791 259 548 549 12;
  • 71) 0,188 505 686 791 259 548 549 12 × 2 = 0 + 0,377 011 373 582 519 097 098 24;
  • 72) 0,377 011 373 582 519 097 098 24 × 2 = 0 + 0,754 022 747 165 038 194 196 48;
  • 73) 0,754 022 747 165 038 194 196 48 × 2 = 1 + 0,508 045 494 330 076 388 392 96;
  • 74) 0,508 045 494 330 076 388 392 96 × 2 = 1 + 0,016 090 988 660 152 776 785 92;
  • 75) 0,016 090 988 660 152 776 785 92 × 2 = 0 + 0,032 181 977 320 305 553 571 84;
  • 76) 0,032 181 977 320 305 553 571 84 × 2 = 0 + 0,064 363 954 640 611 107 143 68;
  • 77) 0,064 363 954 640 611 107 143 68 × 2 = 0 + 0,128 727 909 281 222 214 287 36;
  • 78) 0,128 727 909 281 222 214 287 36 × 2 = 0 + 0,257 455 818 562 444 428 574 72;
  • 79) 0,257 455 818 562 444 428 574 72 × 2 = 0 + 0,514 911 637 124 888 857 149 44;
  • 80) 0,514 911 637 124 888 857 149 44 × 2 = 1 + 0,029 823 274 249 777 714 298 88;
  • 81) 0,029 823 274 249 777 714 298 88 × 2 = 0 + 0,059 646 548 499 555 428 597 76;
  • 82) 0,059 646 548 499 555 428 597 76 × 2 = 0 + 0,119 293 096 999 110 857 195 52;
  • 83) 0,119 293 096 999 110 857 195 52 × 2 = 0 + 0,238 586 193 998 221 714 391 04;
  • 84) 0,238 586 193 998 221 714 391 04 × 2 = 0 + 0,477 172 387 996 443 428 782 08;
  • 85) 0,477 172 387 996 443 428 782 08 × 2 = 0 + 0,954 344 775 992 886 857 564 16;
  • 86) 0,954 344 775 992 886 857 564 16 × 2 = 1 + 0,908 689 551 985 773 715 128 32;
  • 87) 0,908 689 551 985 773 715 128 32 × 2 = 1 + 0,817 379 103 971 547 430 256 64;
  • 88) 0,817 379 103 971 547 430 256 64 × 2 = 1 + 0,634 758 207 943 094 860 513 28;
  • 89) 0,634 758 207 943 094 860 513 28 × 2 = 1 + 0,269 516 415 886 189 721 026 56;
  • 90) 0,269 516 415 886 189 721 026 56 × 2 = 0 + 0,539 032 831 772 379 442 053 12;
  • 91) 0,539 032 831 772 379 442 053 12 × 2 = 1 + 0,078 065 663 544 758 884 106 24;
  • 92) 0,078 065 663 544 758 884 106 24 × 2 = 0 + 0,156 131 327 089 517 768 212 48;
  • 93) 0,156 131 327 089 517 768 212 48 × 2 = 0 + 0,312 262 654 179 035 536 424 96;
  • 94) 0,312 262 654 179 035 536 424 96 × 2 = 0 + 0,624 525 308 358 071 072 849 92;
  • 95) 0,624 525 308 358 071 072 849 92 × 2 = 1 + 0,249 050 616 716 142 145 699 84;
  • 96) 0,249 050 616 716 142 145 699 84 × 2 = 0 + 0,498 101 233 432 284 291 399 68;
  • 97) 0,498 101 233 432 284 291 399 68 × 2 = 0 + 0,996 202 466 864 568 582 799 36;
  • 98) 0,996 202 466 864 568 582 799 36 × 2 = 1 + 0,992 404 933 729 137 165 598 72;
  • 99) 0,992 404 933 729 137 165 598 72 × 2 = 1 + 0,984 809 867 458 274 331 197 44;
  • 100) 0,984 809 867 458 274 331 197 44 × 2 = 1 + 0,969 619 734 916 548 662 394 88;
  • 101) 0,969 619 734 916 548 662 394 88 × 2 = 1 + 0,939 239 469 833 097 324 789 76;
  • 102) 0,939 239 469 833 097 324 789 76 × 2 = 1 + 0,878 478 939 666 194 649 579 52;
  • 103) 0,878 478 939 666 194 649 579 52 × 2 = 1 + 0,756 957 879 332 389 299 159 04;
  • 104) 0,756 957 879 332 389 299 159 04 × 2 = 1 + 0,513 915 758 664 778 598 318 08;
  • 105) 0,513 915 758 664 778 598 318 08 × 2 = 1 + 0,027 831 517 329 557 196 636 16;
  • 106) 0,027 831 517 329 557 196 636 16 × 2 = 0 + 0,055 663 034 659 114 393 272 32;
  • 107) 0,055 663 034 659 114 393 272 32 × 2 = 0 + 0,111 326 069 318 228 786 544 64;
  • 108) 0,111 326 069 318 228 786 544 64 × 2 = 0 + 0,222 652 138 636 457 573 089 28;
  • 109) 0,222 652 138 636 457 573 089 28 × 2 = 0 + 0,445 304 277 272 915 146 178 56;
  • 110) 0,445 304 277 272 915 146 178 56 × 2 = 0 + 0,890 608 554 545 830 292 357 12;
  • 111) 0,890 608 554 545 830 292 357 12 × 2 = 1 + 0,781 217 109 091 660 584 714 24;
  • 112) 0,781 217 109 091 660 584 714 24 × 2 = 1 + 0,562 434 218 183 321 169 428 48;
  • 113) 0,562 434 218 183 321 169 428 48 × 2 = 1 + 0,124 868 436 366 642 338 856 96;
  • 114) 0,124 868 436 366 642 338 856 96 × 2 = 0 + 0,249 736 872 733 284 677 713 92;
  • 115) 0,249 736 872 733 284 677 713 92 × 2 = 0 + 0,499 473 745 466 569 355 427 84;
  • 116) 0,499 473 745 466 569 355 427 84 × 2 = 0 + 0,998 947 490 933 138 710 855 68;
  • 117) 0,998 947 490 933 138 710 855 68 × 2 = 1 + 0,997 894 981 866 277 421 711 36;
  • 118) 0,997 894 981 866 277 421 711 36 × 2 = 1 + 0,995 789 963 732 554 843 422 72;
  • 119) 0,995 789 963 732 554 843 422 72 × 2 = 1 + 0,991 579 927 465 109 686 845 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 63(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 0001 0000 0111 1010 0010 0111 1111 1000 0011 1000 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 63(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 0001 0000 0111 1010 0010 0111 1111 1000 0011 1000 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 63(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 0001 0000 0111 1010 0010 0111 1111 1000 0011 1000 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 0001 0000 0111 1010 0010 0111 1111 1000 0011 1000 111(2) × 20 =

1,0100 0110 0000 1000 0011 1101 0001 0011 1111 1100 0001 1100 0111(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0110 0000 1000 0011 1101 0001 0011 1111 1100 0001 1100 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0110 0000 1000 0011 1101 0001 0011 1111 1100 0001 1100 0111 =

0100 0110 0000 1000 0011 1101 0001 0011 1111 1100 0001 1100 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0110 0000 1000 0011 1101 0001 0011 1111 1100 0001 1100 0111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 63 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0110 0000 1000 0011 1101 0001 0011 1111 1100 0001 1100 0111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 49 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100