0,000 000 000 000 000 000 009 05 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 05(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 009 05(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 009 05.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 009 05 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 018 1;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 018 1 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 036 2;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 036 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 072 4;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 072 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 144 8;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 144 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 289 6;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 289 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 579 2;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 579 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 158 4;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 158 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 316 8;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 316 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 633 6;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 633 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 009 267 2;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 009 267 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 018 534 4;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 018 534 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 037 068 8;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 037 068 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 074 137 6;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 074 137 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 148 275 2;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 148 275 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 296 550 4;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 296 550 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 593 100 8;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 593 100 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 186 201 6;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 186 201 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 372 403 2;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 372 403 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 744 806 4;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 744 806 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 489 612 8;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 489 612 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 979 225 6;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 979 225 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 037 958 451 2;
  • 23) 0,000 000 000 000 037 958 451 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 075 916 902 4;
  • 24) 0,000 000 000 000 075 916 902 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 151 833 804 8;
  • 25) 0,000 000 000 000 151 833 804 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 303 667 609 6;
  • 26) 0,000 000 000 000 303 667 609 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 607 335 219 2;
  • 27) 0,000 000 000 000 607 335 219 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 214 670 438 4;
  • 28) 0,000 000 000 001 214 670 438 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 429 340 876 8;
  • 29) 0,000 000 000 002 429 340 876 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 858 681 753 6;
  • 30) 0,000 000 000 004 858 681 753 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 717 363 507 2;
  • 31) 0,000 000 000 009 717 363 507 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 019 434 727 014 4;
  • 32) 0,000 000 000 019 434 727 014 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 038 869 454 028 8;
  • 33) 0,000 000 000 038 869 454 028 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 077 738 908 057 6;
  • 34) 0,000 000 000 077 738 908 057 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 155 477 816 115 2;
  • 35) 0,000 000 000 155 477 816 115 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 310 955 632 230 4;
  • 36) 0,000 000 000 310 955 632 230 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 621 911 264 460 8;
  • 37) 0,000 000 000 621 911 264 460 8 × 2 = 0 + 0,000 000 001 243 822 528 921 6;
  • 38) 0,000 000 001 243 822 528 921 6 × 2 = 0 + 0,000 000 002 487 645 057 843 2;
  • 39) 0,000 000 002 487 645 057 843 2 × 2 = 0 + 0,000 000 004 975 290 115 686 4;
  • 40) 0,000 000 004 975 290 115 686 4 × 2 = 0 + 0,000 000 009 950 580 231 372 8;
  • 41) 0,000 000 009 950 580 231 372 8 × 2 = 0 + 0,000 000 019 901 160 462 745 6;
  • 42) 0,000 000 019 901 160 462 745 6 × 2 = 0 + 0,000 000 039 802 320 925 491 2;
  • 43) 0,000 000 039 802 320 925 491 2 × 2 = 0 + 0,000 000 079 604 641 850 982 4;
  • 44) 0,000 000 079 604 641 850 982 4 × 2 = 0 + 0,000 000 159 209 283 701 964 8;
  • 45) 0,000 000 159 209 283 701 964 8 × 2 = 0 + 0,000 000 318 418 567 403 929 6;
  • 46) 0,000 000 318 418 567 403 929 6 × 2 = 0 + 0,000 000 636 837 134 807 859 2;
  • 47) 0,000 000 636 837 134 807 859 2 × 2 = 0 + 0,000 001 273 674 269 615 718 4;
  • 48) 0,000 001 273 674 269 615 718 4 × 2 = 0 + 0,000 002 547 348 539 231 436 8;
  • 49) 0,000 002 547 348 539 231 436 8 × 2 = 0 + 0,000 005 094 697 078 462 873 6;
  • 50) 0,000 005 094 697 078 462 873 6 × 2 = 0 + 0,000 010 189 394 156 925 747 2;
  • 51) 0,000 010 189 394 156 925 747 2 × 2 = 0 + 0,000 020 378 788 313 851 494 4;
  • 52) 0,000 020 378 788 313 851 494 4 × 2 = 0 + 0,000 040 757 576 627 702 988 8;
  • 53) 0,000 040 757 576 627 702 988 8 × 2 = 0 + 0,000 081 515 153 255 405 977 6;
  • 54) 0,000 081 515 153 255 405 977 6 × 2 = 0 + 0,000 163 030 306 510 811 955 2;
  • 55) 0,000 163 030 306 510 811 955 2 × 2 = 0 + 0,000 326 060 613 021 623 910 4;
  • 56) 0,000 326 060 613 021 623 910 4 × 2 = 0 + 0,000 652 121 226 043 247 820 8;
  • 57) 0,000 652 121 226 043 247 820 8 × 2 = 0 + 0,001 304 242 452 086 495 641 6;
  • 58) 0,001 304 242 452 086 495 641 6 × 2 = 0 + 0,002 608 484 904 172 991 283 2;
  • 59) 0,002 608 484 904 172 991 283 2 × 2 = 0 + 0,005 216 969 808 345 982 566 4;
  • 60) 0,005 216 969 808 345 982 566 4 × 2 = 0 + 0,010 433 939 616 691 965 132 8;
  • 61) 0,010 433 939 616 691 965 132 8 × 2 = 0 + 0,020 867 879 233 383 930 265 6;
  • 62) 0,020 867 879 233 383 930 265 6 × 2 = 0 + 0,041 735 758 466 767 860 531 2;
  • 63) 0,041 735 758 466 767 860 531 2 × 2 = 0 + 0,083 471 516 933 535 721 062 4;
  • 64) 0,083 471 516 933 535 721 062 4 × 2 = 0 + 0,166 943 033 867 071 442 124 8;
  • 65) 0,166 943 033 867 071 442 124 8 × 2 = 0 + 0,333 886 067 734 142 884 249 6;
  • 66) 0,333 886 067 734 142 884 249 6 × 2 = 0 + 0,667 772 135 468 285 768 499 2;
  • 67) 0,667 772 135 468 285 768 499 2 × 2 = 1 + 0,335 544 270 936 571 536 998 4;
  • 68) 0,335 544 270 936 571 536 998 4 × 2 = 0 + 0,671 088 541 873 143 073 996 8;
  • 69) 0,671 088 541 873 143 073 996 8 × 2 = 1 + 0,342 177 083 746 286 147 993 6;
  • 70) 0,342 177 083 746 286 147 993 6 × 2 = 0 + 0,684 354 167 492 572 295 987 2;
  • 71) 0,684 354 167 492 572 295 987 2 × 2 = 1 + 0,368 708 334 985 144 591 974 4;
  • 72) 0,368 708 334 985 144 591 974 4 × 2 = 0 + 0,737 416 669 970 289 183 948 8;
  • 73) 0,737 416 669 970 289 183 948 8 × 2 = 1 + 0,474 833 339 940 578 367 897 6;
  • 74) 0,474 833 339 940 578 367 897 6 × 2 = 0 + 0,949 666 679 881 156 735 795 2;
  • 75) 0,949 666 679 881 156 735 795 2 × 2 = 1 + 0,899 333 359 762 313 471 590 4;
  • 76) 0,899 333 359 762 313 471 590 4 × 2 = 1 + 0,798 666 719 524 626 943 180 8;
  • 77) 0,798 666 719 524 626 943 180 8 × 2 = 1 + 0,597 333 439 049 253 886 361 6;
  • 78) 0,597 333 439 049 253 886 361 6 × 2 = 1 + 0,194 666 878 098 507 772 723 2;
  • 79) 0,194 666 878 098 507 772 723 2 × 2 = 0 + 0,389 333 756 197 015 545 446 4;
  • 80) 0,389 333 756 197 015 545 446 4 × 2 = 0 + 0,778 667 512 394 031 090 892 8;
  • 81) 0,778 667 512 394 031 090 892 8 × 2 = 1 + 0,557 335 024 788 062 181 785 6;
  • 82) 0,557 335 024 788 062 181 785 6 × 2 = 1 + 0,114 670 049 576 124 363 571 2;
  • 83) 0,114 670 049 576 124 363 571 2 × 2 = 0 + 0,229 340 099 152 248 727 142 4;
  • 84) 0,229 340 099 152 248 727 142 4 × 2 = 0 + 0,458 680 198 304 497 454 284 8;
  • 85) 0,458 680 198 304 497 454 284 8 × 2 = 0 + 0,917 360 396 608 994 908 569 6;
  • 86) 0,917 360 396 608 994 908 569 6 × 2 = 1 + 0,834 720 793 217 989 817 139 2;
  • 87) 0,834 720 793 217 989 817 139 2 × 2 = 1 + 0,669 441 586 435 979 634 278 4;
  • 88) 0,669 441 586 435 979 634 278 4 × 2 = 1 + 0,338 883 172 871 959 268 556 8;
  • 89) 0,338 883 172 871 959 268 556 8 × 2 = 0 + 0,677 766 345 743 918 537 113 6;
  • 90) 0,677 766 345 743 918 537 113 6 × 2 = 1 + 0,355 532 691 487 837 074 227 2;
  • 91) 0,355 532 691 487 837 074 227 2 × 2 = 0 + 0,711 065 382 975 674 148 454 4;
  • 92) 0,711 065 382 975 674 148 454 4 × 2 = 1 + 0,422 130 765 951 348 296 908 8;
  • 93) 0,422 130 765 951 348 296 908 8 × 2 = 0 + 0,844 261 531 902 696 593 817 6;
  • 94) 0,844 261 531 902 696 593 817 6 × 2 = 1 + 0,688 523 063 805 393 187 635 2;
  • 95) 0,688 523 063 805 393 187 635 2 × 2 = 1 + 0,377 046 127 610 786 375 270 4;
  • 96) 0,377 046 127 610 786 375 270 4 × 2 = 0 + 0,754 092 255 221 572 750 540 8;
  • 97) 0,754 092 255 221 572 750 540 8 × 2 = 1 + 0,508 184 510 443 145 501 081 6;
  • 98) 0,508 184 510 443 145 501 081 6 × 2 = 1 + 0,016 369 020 886 291 002 163 2;
  • 99) 0,016 369 020 886 291 002 163 2 × 2 = 0 + 0,032 738 041 772 582 004 326 4;
  • 100) 0,032 738 041 772 582 004 326 4 × 2 = 0 + 0,065 476 083 545 164 008 652 8;
  • 101) 0,065 476 083 545 164 008 652 8 × 2 = 0 + 0,130 952 167 090 328 017 305 6;
  • 102) 0,130 952 167 090 328 017 305 6 × 2 = 0 + 0,261 904 334 180 656 034 611 2;
  • 103) 0,261 904 334 180 656 034 611 2 × 2 = 0 + 0,523 808 668 361 312 069 222 4;
  • 104) 0,523 808 668 361 312 069 222 4 × 2 = 1 + 0,047 617 336 722 624 138 444 8;
  • 105) 0,047 617 336 722 624 138 444 8 × 2 = 0 + 0,095 234 673 445 248 276 889 6;
  • 106) 0,095 234 673 445 248 276 889 6 × 2 = 0 + 0,190 469 346 890 496 553 779 2;
  • 107) 0,190 469 346 890 496 553 779 2 × 2 = 0 + 0,380 938 693 780 993 107 558 4;
  • 108) 0,380 938 693 780 993 107 558 4 × 2 = 0 + 0,761 877 387 561 986 215 116 8;
  • 109) 0,761 877 387 561 986 215 116 8 × 2 = 1 + 0,523 754 775 123 972 430 233 6;
  • 110) 0,523 754 775 123 972 430 233 6 × 2 = 1 + 0,047 509 550 247 944 860 467 2;
  • 111) 0,047 509 550 247 944 860 467 2 × 2 = 0 + 0,095 019 100 495 889 720 934 4;
  • 112) 0,095 019 100 495 889 720 934 4 × 2 = 0 + 0,190 038 200 991 779 441 868 8;
  • 113) 0,190 038 200 991 779 441 868 8 × 2 = 0 + 0,380 076 401 983 558 883 737 6;
  • 114) 0,380 076 401 983 558 883 737 6 × 2 = 0 + 0,760 152 803 967 117 767 475 2;
  • 115) 0,760 152 803 967 117 767 475 2 × 2 = 1 + 0,520 305 607 934 235 534 950 4;
  • 116) 0,520 305 607 934 235 534 950 4 × 2 = 1 + 0,040 611 215 868 471 069 900 8;
  • 117) 0,040 611 215 868 471 069 900 8 × 2 = 0 + 0,081 222 431 736 942 139 801 6;
  • 118) 0,081 222 431 736 942 139 801 6 × 2 = 0 + 0,162 444 863 473 884 279 603 2;
  • 119) 0,162 444 863 473 884 279 603 2 × 2 = 0 + 0,324 889 726 947 768 559 206 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 009 05(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1011 1100 1100 0111 0101 0110 1100 0001 0000 1100 0011 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 009 05(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1011 1100 1100 0111 0101 0110 1100 0001 0000 1100 0011 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 009 05(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1011 1100 1100 0111 0101 0110 1100 0001 0000 1100 0011 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1011 1100 1100 0111 0101 0110 1100 0001 0000 1100 0011 000(2) × 20 =

1,0101 0101 1110 0110 0011 1010 1011 0110 0000 1000 0110 0001 1000(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0101 1110 0110 0011 1010 1011 0110 0000 1000 0110 0001 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0101 1110 0110 0011 1010 1011 0110 0000 1000 0110 0001 1000 =

0101 0101 1110 0110 0011 1010 1011 0110 0000 1000 0110 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0101 0101 1110 0110 0011 1010 1011 0110 0000 1000 0110 0001 1000


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 009 05 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0101 0101 1110 0110 0011 1010 1011 0110 0000 1000 0110 0001 1000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 85 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100