0,000 000 000 000 000 000 010 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 010 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 010 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 010 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 010 06 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 020 12;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 020 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 040 24;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 040 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 080 48;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 080 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 160 96;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 160 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 321 92;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 321 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 643 84;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 643 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 287 68;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 287 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 575 36;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 575 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 005 150 72;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 005 150 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 010 301 44;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 010 301 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 020 602 88;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 020 602 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 041 205 76;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 041 205 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 082 411 52;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 082 411 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 164 823 04;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 164 823 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 329 646 08;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 329 646 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 659 292 16;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 659 292 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 318 584 32;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 318 584 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 637 168 64;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 637 168 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 005 274 337 28;
  • 20) 0,000 000 000 000 005 274 337 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 010 548 674 56;
  • 21) 0,000 000 000 000 010 548 674 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 021 097 349 12;
  • 22) 0,000 000 000 000 021 097 349 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 042 194 698 24;
  • 23) 0,000 000 000 000 042 194 698 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 084 389 396 48;
  • 24) 0,000 000 000 000 084 389 396 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 168 778 792 96;
  • 25) 0,000 000 000 000 168 778 792 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 337 557 585 92;
  • 26) 0,000 000 000 000 337 557 585 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 675 115 171 84;
  • 27) 0,000 000 000 000 675 115 171 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 350 230 343 68;
  • 28) 0,000 000 000 001 350 230 343 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 700 460 687 36;
  • 29) 0,000 000 000 002 700 460 687 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 400 921 374 72;
  • 30) 0,000 000 000 005 400 921 374 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 801 842 749 44;
  • 31) 0,000 000 000 010 801 842 749 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 021 603 685 498 88;
  • 32) 0,000 000 000 021 603 685 498 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 043 207 370 997 76;
  • 33) 0,000 000 000 043 207 370 997 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 086 414 741 995 52;
  • 34) 0,000 000 000 086 414 741 995 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 172 829 483 991 04;
  • 35) 0,000 000 000 172 829 483 991 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 345 658 967 982 08;
  • 36) 0,000 000 000 345 658 967 982 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 691 317 935 964 16;
  • 37) 0,000 000 000 691 317 935 964 16 × 2 = 0 + 0,000 000 001 382 635 871 928 32;
  • 38) 0,000 000 001 382 635 871 928 32 × 2 = 0 + 0,000 000 002 765 271 743 856 64;
  • 39) 0,000 000 002 765 271 743 856 64 × 2 = 0 + 0,000 000 005 530 543 487 713 28;
  • 40) 0,000 000 005 530 543 487 713 28 × 2 = 0 + 0,000 000 011 061 086 975 426 56;
  • 41) 0,000 000 011 061 086 975 426 56 × 2 = 0 + 0,000 000 022 122 173 950 853 12;
  • 42) 0,000 000 022 122 173 950 853 12 × 2 = 0 + 0,000 000 044 244 347 901 706 24;
  • 43) 0,000 000 044 244 347 901 706 24 × 2 = 0 + 0,000 000 088 488 695 803 412 48;
  • 44) 0,000 000 088 488 695 803 412 48 × 2 = 0 + 0,000 000 176 977 391 606 824 96;
  • 45) 0,000 000 176 977 391 606 824 96 × 2 = 0 + 0,000 000 353 954 783 213 649 92;
  • 46) 0,000 000 353 954 783 213 649 92 × 2 = 0 + 0,000 000 707 909 566 427 299 84;
  • 47) 0,000 000 707 909 566 427 299 84 × 2 = 0 + 0,000 001 415 819 132 854 599 68;
  • 48) 0,000 001 415 819 132 854 599 68 × 2 = 0 + 0,000 002 831 638 265 709 199 36;
  • 49) 0,000 002 831 638 265 709 199 36 × 2 = 0 + 0,000 005 663 276 531 418 398 72;
  • 50) 0,000 005 663 276 531 418 398 72 × 2 = 0 + 0,000 011 326 553 062 836 797 44;
  • 51) 0,000 011 326 553 062 836 797 44 × 2 = 0 + 0,000 022 653 106 125 673 594 88;
  • 52) 0,000 022 653 106 125 673 594 88 × 2 = 0 + 0,000 045 306 212 251 347 189 76;
  • 53) 0,000 045 306 212 251 347 189 76 × 2 = 0 + 0,000 090 612 424 502 694 379 52;
  • 54) 0,000 090 612 424 502 694 379 52 × 2 = 0 + 0,000 181 224 849 005 388 759 04;
  • 55) 0,000 181 224 849 005 388 759 04 × 2 = 0 + 0,000 362 449 698 010 777 518 08;
  • 56) 0,000 362 449 698 010 777 518 08 × 2 = 0 + 0,000 724 899 396 021 555 036 16;
  • 57) 0,000 724 899 396 021 555 036 16 × 2 = 0 + 0,001 449 798 792 043 110 072 32;
  • 58) 0,001 449 798 792 043 110 072 32 × 2 = 0 + 0,002 899 597 584 086 220 144 64;
  • 59) 0,002 899 597 584 086 220 144 64 × 2 = 0 + 0,005 799 195 168 172 440 289 28;
  • 60) 0,005 799 195 168 172 440 289 28 × 2 = 0 + 0,011 598 390 336 344 880 578 56;
  • 61) 0,011 598 390 336 344 880 578 56 × 2 = 0 + 0,023 196 780 672 689 761 157 12;
  • 62) 0,023 196 780 672 689 761 157 12 × 2 = 0 + 0,046 393 561 345 379 522 314 24;
  • 63) 0,046 393 561 345 379 522 314 24 × 2 = 0 + 0,092 787 122 690 759 044 628 48;
  • 64) 0,092 787 122 690 759 044 628 48 × 2 = 0 + 0,185 574 245 381 518 089 256 96;
  • 65) 0,185 574 245 381 518 089 256 96 × 2 = 0 + 0,371 148 490 763 036 178 513 92;
  • 66) 0,371 148 490 763 036 178 513 92 × 2 = 0 + 0,742 296 981 526 072 357 027 84;
  • 67) 0,742 296 981 526 072 357 027 84 × 2 = 1 + 0,484 593 963 052 144 714 055 68;
  • 68) 0,484 593 963 052 144 714 055 68 × 2 = 0 + 0,969 187 926 104 289 428 111 36;
  • 69) 0,969 187 926 104 289 428 111 36 × 2 = 1 + 0,938 375 852 208 578 856 222 72;
  • 70) 0,938 375 852 208 578 856 222 72 × 2 = 1 + 0,876 751 704 417 157 712 445 44;
  • 71) 0,876 751 704 417 157 712 445 44 × 2 = 1 + 0,753 503 408 834 315 424 890 88;
  • 72) 0,753 503 408 834 315 424 890 88 × 2 = 1 + 0,507 006 817 668 630 849 781 76;
  • 73) 0,507 006 817 668 630 849 781 76 × 2 = 1 + 0,014 013 635 337 261 699 563 52;
  • 74) 0,014 013 635 337 261 699 563 52 × 2 = 0 + 0,028 027 270 674 523 399 127 04;
  • 75) 0,028 027 270 674 523 399 127 04 × 2 = 0 + 0,056 054 541 349 046 798 254 08;
  • 76) 0,056 054 541 349 046 798 254 08 × 2 = 0 + 0,112 109 082 698 093 596 508 16;
  • 77) 0,112 109 082 698 093 596 508 16 × 2 = 0 + 0,224 218 165 396 187 193 016 32;
  • 78) 0,224 218 165 396 187 193 016 32 × 2 = 0 + 0,448 436 330 792 374 386 032 64;
  • 79) 0,448 436 330 792 374 386 032 64 × 2 = 0 + 0,896 872 661 584 748 772 065 28;
  • 80) 0,896 872 661 584 748 772 065 28 × 2 = 1 + 0,793 745 323 169 497 544 130 56;
  • 81) 0,793 745 323 169 497 544 130 56 × 2 = 1 + 0,587 490 646 338 995 088 261 12;
  • 82) 0,587 490 646 338 995 088 261 12 × 2 = 1 + 0,174 981 292 677 990 176 522 24;
  • 83) 0,174 981 292 677 990 176 522 24 × 2 = 0 + 0,349 962 585 355 980 353 044 48;
  • 84) 0,349 962 585 355 980 353 044 48 × 2 = 0 + 0,699 925 170 711 960 706 088 96;
  • 85) 0,699 925 170 711 960 706 088 96 × 2 = 1 + 0,399 850 341 423 921 412 177 92;
  • 86) 0,399 850 341 423 921 412 177 92 × 2 = 0 + 0,799 700 682 847 842 824 355 84;
  • 87) 0,799 700 682 847 842 824 355 84 × 2 = 1 + 0,599 401 365 695 685 648 711 68;
  • 88) 0,599 401 365 695 685 648 711 68 × 2 = 1 + 0,198 802 731 391 371 297 423 36;
  • 89) 0,198 802 731 391 371 297 423 36 × 2 = 0 + 0,397 605 462 782 742 594 846 72;
  • 90) 0,397 605 462 782 742 594 846 72 × 2 = 0 + 0,795 210 925 565 485 189 693 44;
  • 91) 0,795 210 925 565 485 189 693 44 × 2 = 1 + 0,590 421 851 130 970 379 386 88;
  • 92) 0,590 421 851 130 970 379 386 88 × 2 = 1 + 0,180 843 702 261 940 758 773 76;
  • 93) 0,180 843 702 261 940 758 773 76 × 2 = 0 + 0,361 687 404 523 881 517 547 52;
  • 94) 0,361 687 404 523 881 517 547 52 × 2 = 0 + 0,723 374 809 047 763 035 095 04;
  • 95) 0,723 374 809 047 763 035 095 04 × 2 = 1 + 0,446 749 618 095 526 070 190 08;
  • 96) 0,446 749 618 095 526 070 190 08 × 2 = 0 + 0,893 499 236 191 052 140 380 16;
  • 97) 0,893 499 236 191 052 140 380 16 × 2 = 1 + 0,786 998 472 382 104 280 760 32;
  • 98) 0,786 998 472 382 104 280 760 32 × 2 = 1 + 0,573 996 944 764 208 561 520 64;
  • 99) 0,573 996 944 764 208 561 520 64 × 2 = 1 + 0,147 993 889 528 417 123 041 28;
  • 100) 0,147 993 889 528 417 123 041 28 × 2 = 0 + 0,295 987 779 056 834 246 082 56;
  • 101) 0,295 987 779 056 834 246 082 56 × 2 = 0 + 0,591 975 558 113 668 492 165 12;
  • 102) 0,591 975 558 113 668 492 165 12 × 2 = 1 + 0,183 951 116 227 336 984 330 24;
  • 103) 0,183 951 116 227 336 984 330 24 × 2 = 0 + 0,367 902 232 454 673 968 660 48;
  • 104) 0,367 902 232 454 673 968 660 48 × 2 = 0 + 0,735 804 464 909 347 937 320 96;
  • 105) 0,735 804 464 909 347 937 320 96 × 2 = 1 + 0,471 608 929 818 695 874 641 92;
  • 106) 0,471 608 929 818 695 874 641 92 × 2 = 0 + 0,943 217 859 637 391 749 283 84;
  • 107) 0,943 217 859 637 391 749 283 84 × 2 = 1 + 0,886 435 719 274 783 498 567 68;
  • 108) 0,886 435 719 274 783 498 567 68 × 2 = 1 + 0,772 871 438 549 566 997 135 36;
  • 109) 0,772 871 438 549 566 997 135 36 × 2 = 1 + 0,545 742 877 099 133 994 270 72;
  • 110) 0,545 742 877 099 133 994 270 72 × 2 = 1 + 0,091 485 754 198 267 988 541 44;
  • 111) 0,091 485 754 198 267 988 541 44 × 2 = 0 + 0,182 971 508 396 535 977 082 88;
  • 112) 0,182 971 508 396 535 977 082 88 × 2 = 0 + 0,365 943 016 793 071 954 165 76;
  • 113) 0,365 943 016 793 071 954 165 76 × 2 = 0 + 0,731 886 033 586 143 908 331 52;
  • 114) 0,731 886 033 586 143 908 331 52 × 2 = 1 + 0,463 772 067 172 287 816 663 04;
  • 115) 0,463 772 067 172 287 816 663 04 × 2 = 0 + 0,927 544 134 344 575 633 326 08;
  • 116) 0,927 544 134 344 575 633 326 08 × 2 = 1 + 0,855 088 268 689 151 266 652 16;
  • 117) 0,855 088 268 689 151 266 652 16 × 2 = 1 + 0,710 176 537 378 302 533 304 32;
  • 118) 0,710 176 537 378 302 533 304 32 × 2 = 1 + 0,420 353 074 756 605 066 608 64;
  • 119) 0,420 353 074 756 605 066 608 64 × 2 = 0 + 0,840 706 149 513 210 133 217 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 010 06(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111 1000 0001 1100 1011 0011 0010 1110 0100 1011 1100 0101 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 010 06(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111 1000 0001 1100 1011 0011 0010 1110 0100 1011 1100 0101 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 010 06(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111 1000 0001 1100 1011 0011 0010 1110 0100 1011 1100 0101 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111 1000 0001 1100 1011 0011 0010 1110 0100 1011 1100 0101 110(2) × 20 =

1,0111 1100 0000 1110 0101 1001 1001 0111 0010 0101 1110 0010 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1100 0000 1110 0101 1001 1001 0111 0010 0101 1110 0010 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1100 0000 1110 0101 1001 1001 0111 0010 0101 1110 0010 1110 =

0111 1100 0000 1110 0101 1001 1001 0111 0010 0101 1110 0010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0111 1100 0000 1110 0101 1001 1001 0111 0010 0101 1110 0010 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 010 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0111 1100 0000 1110 0101 1001 1001 0111 0010 0101 1110 0010 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 010 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100