0,000 000 000 000 000 000 012 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 012 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 012 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 012 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 012 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 025 2;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 025 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 050 4;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 050 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 100 8;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 100 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 201 6;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 201 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 403 2;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 403 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 806 4;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 806 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 612 8;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 612 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 003 225 6;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 003 225 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 006 451 2;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 006 451 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 012 902 4;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 012 902 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 025 804 8;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 025 804 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 051 609 6;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 051 609 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 103 219 2;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 103 219 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 206 438 4;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 206 438 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 412 876 8;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 412 876 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 825 753 6;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 825 753 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 651 507 2;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 651 507 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 303 014 4;
  • 19) 0,000 000 000 000 003 303 014 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 606 028 8;
  • 20) 0,000 000 000 000 006 606 028 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 013 212 057 6;
  • 21) 0,000 000 000 000 013 212 057 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 026 424 115 2;
  • 22) 0,000 000 000 000 026 424 115 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 052 848 230 4;
  • 23) 0,000 000 000 000 052 848 230 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 105 696 460 8;
  • 24) 0,000 000 000 000 105 696 460 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 211 392 921 6;
  • 25) 0,000 000 000 000 211 392 921 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 422 785 843 2;
  • 26) 0,000 000 000 000 422 785 843 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 845 571 686 4;
  • 27) 0,000 000 000 000 845 571 686 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 691 143 372 8;
  • 28) 0,000 000 000 001 691 143 372 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 382 286 745 6;
  • 29) 0,000 000 000 003 382 286 745 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 764 573 491 2;
  • 30) 0,000 000 000 006 764 573 491 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 013 529 146 982 4;
  • 31) 0,000 000 000 013 529 146 982 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 027 058 293 964 8;
  • 32) 0,000 000 000 027 058 293 964 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 054 116 587 929 6;
  • 33) 0,000 000 000 054 116 587 929 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 108 233 175 859 2;
  • 34) 0,000 000 000 108 233 175 859 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 216 466 351 718 4;
  • 35) 0,000 000 000 216 466 351 718 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 432 932 703 436 8;
  • 36) 0,000 000 000 432 932 703 436 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 865 865 406 873 6;
  • 37) 0,000 000 000 865 865 406 873 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 731 730 813 747 2;
  • 38) 0,000 000 001 731 730 813 747 2 × 2 = 0 + 0,000 000 003 463 461 627 494 4;
  • 39) 0,000 000 003 463 461 627 494 4 × 2 = 0 + 0,000 000 006 926 923 254 988 8;
  • 40) 0,000 000 006 926 923 254 988 8 × 2 = 0 + 0,000 000 013 853 846 509 977 6;
  • 41) 0,000 000 013 853 846 509 977 6 × 2 = 0 + 0,000 000 027 707 693 019 955 2;
  • 42) 0,000 000 027 707 693 019 955 2 × 2 = 0 + 0,000 000 055 415 386 039 910 4;
  • 43) 0,000 000 055 415 386 039 910 4 × 2 = 0 + 0,000 000 110 830 772 079 820 8;
  • 44) 0,000 000 110 830 772 079 820 8 × 2 = 0 + 0,000 000 221 661 544 159 641 6;
  • 45) 0,000 000 221 661 544 159 641 6 × 2 = 0 + 0,000 000 443 323 088 319 283 2;
  • 46) 0,000 000 443 323 088 319 283 2 × 2 = 0 + 0,000 000 886 646 176 638 566 4;
  • 47) 0,000 000 886 646 176 638 566 4 × 2 = 0 + 0,000 001 773 292 353 277 132 8;
  • 48) 0,000 001 773 292 353 277 132 8 × 2 = 0 + 0,000 003 546 584 706 554 265 6;
  • 49) 0,000 003 546 584 706 554 265 6 × 2 = 0 + 0,000 007 093 169 413 108 531 2;
  • 50) 0,000 007 093 169 413 108 531 2 × 2 = 0 + 0,000 014 186 338 826 217 062 4;
  • 51) 0,000 014 186 338 826 217 062 4 × 2 = 0 + 0,000 028 372 677 652 434 124 8;
  • 52) 0,000 028 372 677 652 434 124 8 × 2 = 0 + 0,000 056 745 355 304 868 249 6;
  • 53) 0,000 056 745 355 304 868 249 6 × 2 = 0 + 0,000 113 490 710 609 736 499 2;
  • 54) 0,000 113 490 710 609 736 499 2 × 2 = 0 + 0,000 226 981 421 219 472 998 4;
  • 55) 0,000 226 981 421 219 472 998 4 × 2 = 0 + 0,000 453 962 842 438 945 996 8;
  • 56) 0,000 453 962 842 438 945 996 8 × 2 = 0 + 0,000 907 925 684 877 891 993 6;
  • 57) 0,000 907 925 684 877 891 993 6 × 2 = 0 + 0,001 815 851 369 755 783 987 2;
  • 58) 0,001 815 851 369 755 783 987 2 × 2 = 0 + 0,003 631 702 739 511 567 974 4;
  • 59) 0,003 631 702 739 511 567 974 4 × 2 = 0 + 0,007 263 405 479 023 135 948 8;
  • 60) 0,007 263 405 479 023 135 948 8 × 2 = 0 + 0,014 526 810 958 046 271 897 6;
  • 61) 0,014 526 810 958 046 271 897 6 × 2 = 0 + 0,029 053 621 916 092 543 795 2;
  • 62) 0,029 053 621 916 092 543 795 2 × 2 = 0 + 0,058 107 243 832 185 087 590 4;
  • 63) 0,058 107 243 832 185 087 590 4 × 2 = 0 + 0,116 214 487 664 370 175 180 8;
  • 64) 0,116 214 487 664 370 175 180 8 × 2 = 0 + 0,232 428 975 328 740 350 361 6;
  • 65) 0,232 428 975 328 740 350 361 6 × 2 = 0 + 0,464 857 950 657 480 700 723 2;
  • 66) 0,464 857 950 657 480 700 723 2 × 2 = 0 + 0,929 715 901 314 961 401 446 4;
  • 67) 0,929 715 901 314 961 401 446 4 × 2 = 1 + 0,859 431 802 629 922 802 892 8;
  • 68) 0,859 431 802 629 922 802 892 8 × 2 = 1 + 0,718 863 605 259 845 605 785 6;
  • 69) 0,718 863 605 259 845 605 785 6 × 2 = 1 + 0,437 727 210 519 691 211 571 2;
  • 70) 0,437 727 210 519 691 211 571 2 × 2 = 0 + 0,875 454 421 039 382 423 142 4;
  • 71) 0,875 454 421 039 382 423 142 4 × 2 = 1 + 0,750 908 842 078 764 846 284 8;
  • 72) 0,750 908 842 078 764 846 284 8 × 2 = 1 + 0,501 817 684 157 529 692 569 6;
  • 73) 0,501 817 684 157 529 692 569 6 × 2 = 1 + 0,003 635 368 315 059 385 139 2;
  • 74) 0,003 635 368 315 059 385 139 2 × 2 = 0 + 0,007 270 736 630 118 770 278 4;
  • 75) 0,007 270 736 630 118 770 278 4 × 2 = 0 + 0,014 541 473 260 237 540 556 8;
  • 76) 0,014 541 473 260 237 540 556 8 × 2 = 0 + 0,029 082 946 520 475 081 113 6;
  • 77) 0,029 082 946 520 475 081 113 6 × 2 = 0 + 0,058 165 893 040 950 162 227 2;
  • 78) 0,058 165 893 040 950 162 227 2 × 2 = 0 + 0,116 331 786 081 900 324 454 4;
  • 79) 0,116 331 786 081 900 324 454 4 × 2 = 0 + 0,232 663 572 163 800 648 908 8;
  • 80) 0,232 663 572 163 800 648 908 8 × 2 = 0 + 0,465 327 144 327 601 297 817 6;
  • 81) 0,465 327 144 327 601 297 817 6 × 2 = 0 + 0,930 654 288 655 202 595 635 2;
  • 82) 0,930 654 288 655 202 595 635 2 × 2 = 1 + 0,861 308 577 310 405 191 270 4;
  • 83) 0,861 308 577 310 405 191 270 4 × 2 = 1 + 0,722 617 154 620 810 382 540 8;
  • 84) 0,722 617 154 620 810 382 540 8 × 2 = 1 + 0,445 234 309 241 620 765 081 6;
  • 85) 0,445 234 309 241 620 765 081 6 × 2 = 0 + 0,890 468 618 483 241 530 163 2;
  • 86) 0,890 468 618 483 241 530 163 2 × 2 = 1 + 0,780 937 236 966 483 060 326 4;
  • 87) 0,780 937 236 966 483 060 326 4 × 2 = 1 + 0,561 874 473 932 966 120 652 8;
  • 88) 0,561 874 473 932 966 120 652 8 × 2 = 1 + 0,123 748 947 865 932 241 305 6;
  • 89) 0,123 748 947 865 932 241 305 6 × 2 = 0 + 0,247 497 895 731 864 482 611 2;
  • 90) 0,247 497 895 731 864 482 611 2 × 2 = 0 + 0,494 995 791 463 728 965 222 4;
  • 91) 0,494 995 791 463 728 965 222 4 × 2 = 0 + 0,989 991 582 927 457 930 444 8;
  • 92) 0,989 991 582 927 457 930 444 8 × 2 = 1 + 0,979 983 165 854 915 860 889 6;
  • 93) 0,979 983 165 854 915 860 889 6 × 2 = 1 + 0,959 966 331 709 831 721 779 2;
  • 94) 0,959 966 331 709 831 721 779 2 × 2 = 1 + 0,919 932 663 419 663 443 558 4;
  • 95) 0,919 932 663 419 663 443 558 4 × 2 = 1 + 0,839 865 326 839 326 887 116 8;
  • 96) 0,839 865 326 839 326 887 116 8 × 2 = 1 + 0,679 730 653 678 653 774 233 6;
  • 97) 0,679 730 653 678 653 774 233 6 × 2 = 1 + 0,359 461 307 357 307 548 467 2;
  • 98) 0,359 461 307 357 307 548 467 2 × 2 = 0 + 0,718 922 614 714 615 096 934 4;
  • 99) 0,718 922 614 714 615 096 934 4 × 2 = 1 + 0,437 845 229 429 230 193 868 8;
  • 100) 0,437 845 229 429 230 193 868 8 × 2 = 0 + 0,875 690 458 858 460 387 737 6;
  • 101) 0,875 690 458 858 460 387 737 6 × 2 = 1 + 0,751 380 917 716 920 775 475 2;
  • 102) 0,751 380 917 716 920 775 475 2 × 2 = 1 + 0,502 761 835 433 841 550 950 4;
  • 103) 0,502 761 835 433 841 550 950 4 × 2 = 1 + 0,005 523 670 867 683 101 900 8;
  • 104) 0,005 523 670 867 683 101 900 8 × 2 = 0 + 0,011 047 341 735 366 203 801 6;
  • 105) 0,011 047 341 735 366 203 801 6 × 2 = 0 + 0,022 094 683 470 732 407 603 2;
  • 106) 0,022 094 683 470 732 407 603 2 × 2 = 0 + 0,044 189 366 941 464 815 206 4;
  • 107) 0,044 189 366 941 464 815 206 4 × 2 = 0 + 0,088 378 733 882 929 630 412 8;
  • 108) 0,088 378 733 882 929 630 412 8 × 2 = 0 + 0,176 757 467 765 859 260 825 6;
  • 109) 0,176 757 467 765 859 260 825 6 × 2 = 0 + 0,353 514 935 531 718 521 651 2;
  • 110) 0,353 514 935 531 718 521 651 2 × 2 = 0 + 0,707 029 871 063 437 043 302 4;
  • 111) 0,707 029 871 063 437 043 302 4 × 2 = 1 + 0,414 059 742 126 874 086 604 8;
  • 112) 0,414 059 742 126 874 086 604 8 × 2 = 0 + 0,828 119 484 253 748 173 209 6;
  • 113) 0,828 119 484 253 748 173 209 6 × 2 = 1 + 0,656 238 968 507 496 346 419 2;
  • 114) 0,656 238 968 507 496 346 419 2 × 2 = 1 + 0,312 477 937 014 992 692 838 4;
  • 115) 0,312 477 937 014 992 692 838 4 × 2 = 0 + 0,624 955 874 029 985 385 676 8;
  • 116) 0,624 955 874 029 985 385 676 8 × 2 = 1 + 0,249 911 748 059 970 771 353 6;
  • 117) 0,249 911 748 059 970 771 353 6 × 2 = 0 + 0,499 823 496 119 941 542 707 2;
  • 118) 0,499 823 496 119 941 542 707 2 × 2 = 0 + 0,999 646 992 239 883 085 414 4;
  • 119) 0,999 646 992 239 883 085 414 4 × 2 = 1 + 0,999 293 984 479 766 170 828 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 012 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1011 1000 0000 0111 0111 0001 1111 1010 1110 0000 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 012 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1011 1000 0000 0111 0111 0001 1111 1010 1110 0000 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 012 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1011 1000 0000 0111 0111 0001 1111 1010 1110 0000 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1011 1000 0000 0111 0111 0001 1111 1010 1110 0000 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1101 1100 0000 0011 1011 1000 1111 1101 0111 0000 0001 0110 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1100 0000 0011 1011 1000 1111 1101 0111 0000 0001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 1100 0000 0011 1011 1000 1111 1101 0111 0000 0001 0110 1001 =

1101 1100 0000 0011 1011 1000 1111 1101 0111 0000 0001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
1101 1100 0000 0011 1011 1000 1111 1101 0111 0000 0001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 012 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 1101 1100 0000 0011 1011 1000 1111 1101 0111 0000 0001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 014 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100