0,000 000 000 000 000 000 013 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 013 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 013 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 013 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 013 1 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 026 2;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 026 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 052 4;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 052 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 104 8;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 104 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 209 6;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 209 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 419 2;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 419 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 838 4;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 838 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 676 8;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 676 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 003 353 6;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 003 353 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 006 707 2;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 006 707 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 013 414 4;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 013 414 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 026 828 8;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 026 828 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 053 657 6;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 053 657 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 107 315 2;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 107 315 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 214 630 4;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 214 630 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 429 260 8;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 429 260 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 858 521 6;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 858 521 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 717 043 2;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 717 043 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 434 086 4;
  • 19) 0,000 000 000 000 003 434 086 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 868 172 8;
  • 20) 0,000 000 000 000 006 868 172 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 013 736 345 6;
  • 21) 0,000 000 000 000 013 736 345 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 027 472 691 2;
  • 22) 0,000 000 000 000 027 472 691 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 054 945 382 4;
  • 23) 0,000 000 000 000 054 945 382 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 109 890 764 8;
  • 24) 0,000 000 000 000 109 890 764 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 219 781 529 6;
  • 25) 0,000 000 000 000 219 781 529 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 439 563 059 2;
  • 26) 0,000 000 000 000 439 563 059 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 879 126 118 4;
  • 27) 0,000 000 000 000 879 126 118 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 758 252 236 8;
  • 28) 0,000 000 000 001 758 252 236 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 516 504 473 6;
  • 29) 0,000 000 000 003 516 504 473 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 033 008 947 2;
  • 30) 0,000 000 000 007 033 008 947 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 066 017 894 4;
  • 31) 0,000 000 000 014 066 017 894 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 028 132 035 788 8;
  • 32) 0,000 000 000 028 132 035 788 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 056 264 071 577 6;
  • 33) 0,000 000 000 056 264 071 577 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 112 528 143 155 2;
  • 34) 0,000 000 000 112 528 143 155 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 225 056 286 310 4;
  • 35) 0,000 000 000 225 056 286 310 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 450 112 572 620 8;
  • 36) 0,000 000 000 450 112 572 620 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 900 225 145 241 6;
  • 37) 0,000 000 000 900 225 145 241 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 800 450 290 483 2;
  • 38) 0,000 000 001 800 450 290 483 2 × 2 = 0 + 0,000 000 003 600 900 580 966 4;
  • 39) 0,000 000 003 600 900 580 966 4 × 2 = 0 + 0,000 000 007 201 801 161 932 8;
  • 40) 0,000 000 007 201 801 161 932 8 × 2 = 0 + 0,000 000 014 403 602 323 865 6;
  • 41) 0,000 000 014 403 602 323 865 6 × 2 = 0 + 0,000 000 028 807 204 647 731 2;
  • 42) 0,000 000 028 807 204 647 731 2 × 2 = 0 + 0,000 000 057 614 409 295 462 4;
  • 43) 0,000 000 057 614 409 295 462 4 × 2 = 0 + 0,000 000 115 228 818 590 924 8;
  • 44) 0,000 000 115 228 818 590 924 8 × 2 = 0 + 0,000 000 230 457 637 181 849 6;
  • 45) 0,000 000 230 457 637 181 849 6 × 2 = 0 + 0,000 000 460 915 274 363 699 2;
  • 46) 0,000 000 460 915 274 363 699 2 × 2 = 0 + 0,000 000 921 830 548 727 398 4;
  • 47) 0,000 000 921 830 548 727 398 4 × 2 = 0 + 0,000 001 843 661 097 454 796 8;
  • 48) 0,000 001 843 661 097 454 796 8 × 2 = 0 + 0,000 003 687 322 194 909 593 6;
  • 49) 0,000 003 687 322 194 909 593 6 × 2 = 0 + 0,000 007 374 644 389 819 187 2;
  • 50) 0,000 007 374 644 389 819 187 2 × 2 = 0 + 0,000 014 749 288 779 638 374 4;
  • 51) 0,000 014 749 288 779 638 374 4 × 2 = 0 + 0,000 029 498 577 559 276 748 8;
  • 52) 0,000 029 498 577 559 276 748 8 × 2 = 0 + 0,000 058 997 155 118 553 497 6;
  • 53) 0,000 058 997 155 118 553 497 6 × 2 = 0 + 0,000 117 994 310 237 106 995 2;
  • 54) 0,000 117 994 310 237 106 995 2 × 2 = 0 + 0,000 235 988 620 474 213 990 4;
  • 55) 0,000 235 988 620 474 213 990 4 × 2 = 0 + 0,000 471 977 240 948 427 980 8;
  • 56) 0,000 471 977 240 948 427 980 8 × 2 = 0 + 0,000 943 954 481 896 855 961 6;
  • 57) 0,000 943 954 481 896 855 961 6 × 2 = 0 + 0,001 887 908 963 793 711 923 2;
  • 58) 0,001 887 908 963 793 711 923 2 × 2 = 0 + 0,003 775 817 927 587 423 846 4;
  • 59) 0,003 775 817 927 587 423 846 4 × 2 = 0 + 0,007 551 635 855 174 847 692 8;
  • 60) 0,007 551 635 855 174 847 692 8 × 2 = 0 + 0,015 103 271 710 349 695 385 6;
  • 61) 0,015 103 271 710 349 695 385 6 × 2 = 0 + 0,030 206 543 420 699 390 771 2;
  • 62) 0,030 206 543 420 699 390 771 2 × 2 = 0 + 0,060 413 086 841 398 781 542 4;
  • 63) 0,060 413 086 841 398 781 542 4 × 2 = 0 + 0,120 826 173 682 797 563 084 8;
  • 64) 0,120 826 173 682 797 563 084 8 × 2 = 0 + 0,241 652 347 365 595 126 169 6;
  • 65) 0,241 652 347 365 595 126 169 6 × 2 = 0 + 0,483 304 694 731 190 252 339 2;
  • 66) 0,483 304 694 731 190 252 339 2 × 2 = 0 + 0,966 609 389 462 380 504 678 4;
  • 67) 0,966 609 389 462 380 504 678 4 × 2 = 1 + 0,933 218 778 924 761 009 356 8;
  • 68) 0,933 218 778 924 761 009 356 8 × 2 = 1 + 0,866 437 557 849 522 018 713 6;
  • 69) 0,866 437 557 849 522 018 713 6 × 2 = 1 + 0,732 875 115 699 044 037 427 2;
  • 70) 0,732 875 115 699 044 037 427 2 × 2 = 1 + 0,465 750 231 398 088 074 854 4;
  • 71) 0,465 750 231 398 088 074 854 4 × 2 = 0 + 0,931 500 462 796 176 149 708 8;
  • 72) 0,931 500 462 796 176 149 708 8 × 2 = 1 + 0,863 000 925 592 352 299 417 6;
  • 73) 0,863 000 925 592 352 299 417 6 × 2 = 1 + 0,726 001 851 184 704 598 835 2;
  • 74) 0,726 001 851 184 704 598 835 2 × 2 = 1 + 0,452 003 702 369 409 197 670 4;
  • 75) 0,452 003 702 369 409 197 670 4 × 2 = 0 + 0,904 007 404 738 818 395 340 8;
  • 76) 0,904 007 404 738 818 395 340 8 × 2 = 1 + 0,808 014 809 477 636 790 681 6;
  • 77) 0,808 014 809 477 636 790 681 6 × 2 = 1 + 0,616 029 618 955 273 581 363 2;
  • 78) 0,616 029 618 955 273 581 363 2 × 2 = 1 + 0,232 059 237 910 547 162 726 4;
  • 79) 0,232 059 237 910 547 162 726 4 × 2 = 0 + 0,464 118 475 821 094 325 452 8;
  • 80) 0,464 118 475 821 094 325 452 8 × 2 = 0 + 0,928 236 951 642 188 650 905 6;
  • 81) 0,928 236 951 642 188 650 905 6 × 2 = 1 + 0,856 473 903 284 377 301 811 2;
  • 82) 0,856 473 903 284 377 301 811 2 × 2 = 1 + 0,712 947 806 568 754 603 622 4;
  • 83) 0,712 947 806 568 754 603 622 4 × 2 = 1 + 0,425 895 613 137 509 207 244 8;
  • 84) 0,425 895 613 137 509 207 244 8 × 2 = 0 + 0,851 791 226 275 018 414 489 6;
  • 85) 0,851 791 226 275 018 414 489 6 × 2 = 1 + 0,703 582 452 550 036 828 979 2;
  • 86) 0,703 582 452 550 036 828 979 2 × 2 = 1 + 0,407 164 905 100 073 657 958 4;
  • 87) 0,407 164 905 100 073 657 958 4 × 2 = 0 + 0,814 329 810 200 147 315 916 8;
  • 88) 0,814 329 810 200 147 315 916 8 × 2 = 1 + 0,628 659 620 400 294 631 833 6;
  • 89) 0,628 659 620 400 294 631 833 6 × 2 = 1 + 0,257 319 240 800 589 263 667 2;
  • 90) 0,257 319 240 800 589 263 667 2 × 2 = 0 + 0,514 638 481 601 178 527 334 4;
  • 91) 0,514 638 481 601 178 527 334 4 × 2 = 1 + 0,029 276 963 202 357 054 668 8;
  • 92) 0,029 276 963 202 357 054 668 8 × 2 = 0 + 0,058 553 926 404 714 109 337 6;
  • 93) 0,058 553 926 404 714 109 337 6 × 2 = 0 + 0,117 107 852 809 428 218 675 2;
  • 94) 0,117 107 852 809 428 218 675 2 × 2 = 0 + 0,234 215 705 618 856 437 350 4;
  • 95) 0,234 215 705 618 856 437 350 4 × 2 = 0 + 0,468 431 411 237 712 874 700 8;
  • 96) 0,468 431 411 237 712 874 700 8 × 2 = 0 + 0,936 862 822 475 425 749 401 6;
  • 97) 0,936 862 822 475 425 749 401 6 × 2 = 1 + 0,873 725 644 950 851 498 803 2;
  • 98) 0,873 725 644 950 851 498 803 2 × 2 = 1 + 0,747 451 289 901 702 997 606 4;
  • 99) 0,747 451 289 901 702 997 606 4 × 2 = 1 + 0,494 902 579 803 405 995 212 8;
  • 100) 0,494 902 579 803 405 995 212 8 × 2 = 0 + 0,989 805 159 606 811 990 425 6;
  • 101) 0,989 805 159 606 811 990 425 6 × 2 = 1 + 0,979 610 319 213 623 980 851 2;
  • 102) 0,979 610 319 213 623 980 851 2 × 2 = 1 + 0,959 220 638 427 247 961 702 4;
  • 103) 0,959 220 638 427 247 961 702 4 × 2 = 1 + 0,918 441 276 854 495 923 404 8;
  • 104) 0,918 441 276 854 495 923 404 8 × 2 = 1 + 0,836 882 553 708 991 846 809 6;
  • 105) 0,836 882 553 708 991 846 809 6 × 2 = 1 + 0,673 765 107 417 983 693 619 2;
  • 106) 0,673 765 107 417 983 693 619 2 × 2 = 1 + 0,347 530 214 835 967 387 238 4;
  • 107) 0,347 530 214 835 967 387 238 4 × 2 = 0 + 0,695 060 429 671 934 774 476 8;
  • 108) 0,695 060 429 671 934 774 476 8 × 2 = 1 + 0,390 120 859 343 869 548 953 6;
  • 109) 0,390 120 859 343 869 548 953 6 × 2 = 0 + 0,780 241 718 687 739 097 907 2;
  • 110) 0,780 241 718 687 739 097 907 2 × 2 = 1 + 0,560 483 437 375 478 195 814 4;
  • 111) 0,560 483 437 375 478 195 814 4 × 2 = 1 + 0,120 966 874 750 956 391 628 8;
  • 112) 0,120 966 874 750 956 391 628 8 × 2 = 0 + 0,241 933 749 501 912 783 257 6;
  • 113) 0,241 933 749 501 912 783 257 6 × 2 = 0 + 0,483 867 499 003 825 566 515 2;
  • 114) 0,483 867 499 003 825 566 515 2 × 2 = 0 + 0,967 734 998 007 651 133 030 4;
  • 115) 0,967 734 998 007 651 133 030 4 × 2 = 1 + 0,935 469 996 015 302 266 060 8;
  • 116) 0,935 469 996 015 302 266 060 8 × 2 = 1 + 0,870 939 992 030 604 532 121 6;
  • 117) 0,870 939 992 030 604 532 121 6 × 2 = 1 + 0,741 879 984 061 209 064 243 2;
  • 118) 0,741 879 984 061 209 064 243 2 × 2 = 1 + 0,483 759 968 122 418 128 486 4;
  • 119) 0,483 759 968 122 418 128 486 4 × 2 = 0 + 0,967 519 936 244 836 256 972 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 013 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1101 1101 1100 1110 1101 1010 0000 1110 1111 1101 0110 0011 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 013 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1101 1101 1100 1110 1101 1010 0000 1110 1111 1101 0110 0011 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 013 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1101 1101 1100 1110 1101 1010 0000 1110 1111 1101 0110 0011 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1101 1101 1100 1110 1101 1010 0000 1110 1111 1101 0110 0011 110(2) × 20 =

1,1110 1110 1110 0111 0110 1101 0000 0111 0111 1110 1011 0001 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1110 1110 0111 0110 1101 0000 0111 0111 1110 1011 0001 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1110 1110 0111 0110 1101 0000 0111 0111 1110 1011 0001 1110 =

1110 1110 1110 0111 0110 1101 0000 0111 0111 1110 1011 0001 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
1110 1110 1110 0111 0110 1101 0000 0111 0111 1110 1011 0001 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 013 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 1110 1110 1110 0111 0110 1101 0000 0111 0111 1110 1011 0001 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 012 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100