0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 024 691 375 789 129 178 608;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 024 691 375 789 129 178 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 049 382 751 578 258 357 216;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 049 382 751 578 258 357 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 098 765 503 156 516 714 432;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 098 765 503 156 516 714 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 197 531 006 313 033 428 864;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 197 531 006 313 033 428 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 395 062 012 626 066 857 728;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 395 062 012 626 066 857 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 790 124 025 252 133 715 456;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 790 124 025 252 133 715 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 580 248 050 504 267 430 912;
  • 8) 0,000 000 000 000 001 580 248 050 504 267 430 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 160 496 101 008 534 861 824;
  • 9) 0,000 000 000 000 003 160 496 101 008 534 861 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 320 992 202 017 069 723 648;
  • 10) 0,000 000 000 000 006 320 992 202 017 069 723 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 012 641 984 404 034 139 447 296;
  • 11) 0,000 000 000 000 012 641 984 404 034 139 447 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 025 283 968 808 068 278 894 592;
  • 12) 0,000 000 000 000 025 283 968 808 068 278 894 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 050 567 937 616 136 557 789 184;
  • 13) 0,000 000 000 000 050 567 937 616 136 557 789 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 101 135 875 232 273 115 578 368;
  • 14) 0,000 000 000 000 101 135 875 232 273 115 578 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 202 271 750 464 546 231 156 736;
  • 15) 0,000 000 000 000 202 271 750 464 546 231 156 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 404 543 500 929 092 462 313 472;
  • 16) 0,000 000 000 000 404 543 500 929 092 462 313 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 809 087 001 858 184 924 626 944;
  • 17) 0,000 000 000 000 809 087 001 858 184 924 626 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 618 174 003 716 369 849 253 888;
  • 18) 0,000 000 000 001 618 174 003 716 369 849 253 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 236 348 007 432 739 698 507 776;
  • 19) 0,000 000 000 003 236 348 007 432 739 698 507 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 472 696 014 865 479 397 015 552;
  • 20) 0,000 000 000 006 472 696 014 865 479 397 015 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 012 945 392 029 730 958 794 031 104;
  • 21) 0,000 000 000 012 945 392 029 730 958 794 031 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 025 890 784 059 461 917 588 062 208;
  • 22) 0,000 000 000 025 890 784 059 461 917 588 062 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 051 781 568 118 923 835 176 124 416;
  • 23) 0,000 000 000 051 781 568 118 923 835 176 124 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 103 563 136 237 847 670 352 248 832;
  • 24) 0,000 000 000 103 563 136 237 847 670 352 248 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 207 126 272 475 695 340 704 497 664;
  • 25) 0,000 000 000 207 126 272 475 695 340 704 497 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 414 252 544 951 390 681 408 995 328;
  • 26) 0,000 000 000 414 252 544 951 390 681 408 995 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 828 505 089 902 781 362 817 990 656;
  • 27) 0,000 000 000 828 505 089 902 781 362 817 990 656 × 2 = 0 + 0,000 000 001 657 010 179 805 562 725 635 981 312;
  • 28) 0,000 000 001 657 010 179 805 562 725 635 981 312 × 2 = 0 + 0,000 000 003 314 020 359 611 125 451 271 962 624;
  • 29) 0,000 000 003 314 020 359 611 125 451 271 962 624 × 2 = 0 + 0,000 000 006 628 040 719 222 250 902 543 925 248;
  • 30) 0,000 000 006 628 040 719 222 250 902 543 925 248 × 2 = 0 + 0,000 000 013 256 081 438 444 501 805 087 850 496;
  • 31) 0,000 000 013 256 081 438 444 501 805 087 850 496 × 2 = 0 + 0,000 000 026 512 162 876 889 003 610 175 700 992;
  • 32) 0,000 000 026 512 162 876 889 003 610 175 700 992 × 2 = 0 + 0,000 000 053 024 325 753 778 007 220 351 401 984;
  • 33) 0,000 000 053 024 325 753 778 007 220 351 401 984 × 2 = 0 + 0,000 000 106 048 651 507 556 014 440 702 803 968;
  • 34) 0,000 000 106 048 651 507 556 014 440 702 803 968 × 2 = 0 + 0,000 000 212 097 303 015 112 028 881 405 607 936;
  • 35) 0,000 000 212 097 303 015 112 028 881 405 607 936 × 2 = 0 + 0,000 000 424 194 606 030 224 057 762 811 215 872;
  • 36) 0,000 000 424 194 606 030 224 057 762 811 215 872 × 2 = 0 + 0,000 000 848 389 212 060 448 115 525 622 431 744;
  • 37) 0,000 000 848 389 212 060 448 115 525 622 431 744 × 2 = 0 + 0,000 001 696 778 424 120 896 231 051 244 863 488;
  • 38) 0,000 001 696 778 424 120 896 231 051 244 863 488 × 2 = 0 + 0,000 003 393 556 848 241 792 462 102 489 726 976;
  • 39) 0,000 003 393 556 848 241 792 462 102 489 726 976 × 2 = 0 + 0,000 006 787 113 696 483 584 924 204 979 453 952;
  • 40) 0,000 006 787 113 696 483 584 924 204 979 453 952 × 2 = 0 + 0,000 013 574 227 392 967 169 848 409 958 907 904;
  • 41) 0,000 013 574 227 392 967 169 848 409 958 907 904 × 2 = 0 + 0,000 027 148 454 785 934 339 696 819 917 815 808;
  • 42) 0,000 027 148 454 785 934 339 696 819 917 815 808 × 2 = 0 + 0,000 054 296 909 571 868 679 393 639 835 631 616;
  • 43) 0,000 054 296 909 571 868 679 393 639 835 631 616 × 2 = 0 + 0,000 108 593 819 143 737 358 787 279 671 263 232;
  • 44) 0,000 108 593 819 143 737 358 787 279 671 263 232 × 2 = 0 + 0,000 217 187 638 287 474 717 574 559 342 526 464;
  • 45) 0,000 217 187 638 287 474 717 574 559 342 526 464 × 2 = 0 + 0,000 434 375 276 574 949 435 149 118 685 052 928;
  • 46) 0,000 434 375 276 574 949 435 149 118 685 052 928 × 2 = 0 + 0,000 868 750 553 149 898 870 298 237 370 105 856;
  • 47) 0,000 868 750 553 149 898 870 298 237 370 105 856 × 2 = 0 + 0,001 737 501 106 299 797 740 596 474 740 211 712;
  • 48) 0,001 737 501 106 299 797 740 596 474 740 211 712 × 2 = 0 + 0,003 475 002 212 599 595 481 192 949 480 423 424;
  • 49) 0,003 475 002 212 599 595 481 192 949 480 423 424 × 2 = 0 + 0,006 950 004 425 199 190 962 385 898 960 846 848;
  • 50) 0,006 950 004 425 199 190 962 385 898 960 846 848 × 2 = 0 + 0,013 900 008 850 398 381 924 771 797 921 693 696;
  • 51) 0,013 900 008 850 398 381 924 771 797 921 693 696 × 2 = 0 + 0,027 800 017 700 796 763 849 543 595 843 387 392;
  • 52) 0,027 800 017 700 796 763 849 543 595 843 387 392 × 2 = 0 + 0,055 600 035 401 593 527 699 087 191 686 774 784;
  • 53) 0,055 600 035 401 593 527 699 087 191 686 774 784 × 2 = 0 + 0,111 200 070 803 187 055 398 174 383 373 549 568;
  • 54) 0,111 200 070 803 187 055 398 174 383 373 549 568 × 2 = 0 + 0,222 400 141 606 374 110 796 348 766 747 099 136;
  • 55) 0,222 400 141 606 374 110 796 348 766 747 099 136 × 2 = 0 + 0,444 800 283 212 748 221 592 697 533 494 198 272;
  • 56) 0,444 800 283 212 748 221 592 697 533 494 198 272 × 2 = 0 + 0,889 600 566 425 496 443 185 395 066 988 396 544;
  • 57) 0,889 600 566 425 496 443 185 395 066 988 396 544 × 2 = 1 + 0,779 201 132 850 992 886 370 790 133 976 793 088;
  • 58) 0,779 201 132 850 992 886 370 790 133 976 793 088 × 2 = 1 + 0,558 402 265 701 985 772 741 580 267 953 586 176;
  • 59) 0,558 402 265 701 985 772 741 580 267 953 586 176 × 2 = 1 + 0,116 804 531 403 971 545 483 160 535 907 172 352;
  • 60) 0,116 804 531 403 971 545 483 160 535 907 172 352 × 2 = 0 + 0,233 609 062 807 943 090 966 321 071 814 344 704;
  • 61) 0,233 609 062 807 943 090 966 321 071 814 344 704 × 2 = 0 + 0,467 218 125 615 886 181 932 642 143 628 689 408;
  • 62) 0,467 218 125 615 886 181 932 642 143 628 689 408 × 2 = 0 + 0,934 436 251 231 772 363 865 284 287 257 378 816;
  • 63) 0,934 436 251 231 772 363 865 284 287 257 378 816 × 2 = 1 + 0,868 872 502 463 544 727 730 568 574 514 757 632;
  • 64) 0,868 872 502 463 544 727 730 568 574 514 757 632 × 2 = 1 + 0,737 745 004 927 089 455 461 137 149 029 515 264;
  • 65) 0,737 745 004 927 089 455 461 137 149 029 515 264 × 2 = 1 + 0,475 490 009 854 178 910 922 274 298 059 030 528;
  • 66) 0,475 490 009 854 178 910 922 274 298 059 030 528 × 2 = 0 + 0,950 980 019 708 357 821 844 548 596 118 061 056;
  • 67) 0,950 980 019 708 357 821 844 548 596 118 061 056 × 2 = 1 + 0,901 960 039 416 715 643 689 097 192 236 122 112;
  • 68) 0,901 960 039 416 715 643 689 097 192 236 122 112 × 2 = 1 + 0,803 920 078 833 431 287 378 194 384 472 244 224;
  • 69) 0,803 920 078 833 431 287 378 194 384 472 244 224 × 2 = 1 + 0,607 840 157 666 862 574 756 388 768 944 488 448;
  • 70) 0,607 840 157 666 862 574 756 388 768 944 488 448 × 2 = 1 + 0,215 680 315 333 725 149 512 777 537 888 976 896;
  • 71) 0,215 680 315 333 725 149 512 777 537 888 976 896 × 2 = 0 + 0,431 360 630 667 450 299 025 555 075 777 953 792;
  • 72) 0,431 360 630 667 450 299 025 555 075 777 953 792 × 2 = 0 + 0,862 721 261 334 900 598 051 110 151 555 907 584;
  • 73) 0,862 721 261 334 900 598 051 110 151 555 907 584 × 2 = 1 + 0,725 442 522 669 801 196 102 220 303 111 815 168;
  • 74) 0,725 442 522 669 801 196 102 220 303 111 815 168 × 2 = 1 + 0,450 885 045 339 602 392 204 440 606 223 630 336;
  • 75) 0,450 885 045 339 602 392 204 440 606 223 630 336 × 2 = 0 + 0,901 770 090 679 204 784 408 881 212 447 260 672;
  • 76) 0,901 770 090 679 204 784 408 881 212 447 260 672 × 2 = 1 + 0,803 540 181 358 409 568 817 762 424 894 521 344;
  • 77) 0,803 540 181 358 409 568 817 762 424 894 521 344 × 2 = 1 + 0,607 080 362 716 819 137 635 524 849 789 042 688;
  • 78) 0,607 080 362 716 819 137 635 524 849 789 042 688 × 2 = 1 + 0,214 160 725 433 638 275 271 049 699 578 085 376;
  • 79) 0,214 160 725 433 638 275 271 049 699 578 085 376 × 2 = 0 + 0,428 321 450 867 276 550 542 099 399 156 170 752;
  • 80) 0,428 321 450 867 276 550 542 099 399 156 170 752 × 2 = 0 + 0,856 642 901 734 553 101 084 198 798 312 341 504;
  • 81) 0,856 642 901 734 553 101 084 198 798 312 341 504 × 2 = 1 + 0,713 285 803 469 106 202 168 397 596 624 683 008;
  • 82) 0,713 285 803 469 106 202 168 397 596 624 683 008 × 2 = 1 + 0,426 571 606 938 212 404 336 795 193 249 366 016;
  • 83) 0,426 571 606 938 212 404 336 795 193 249 366 016 × 2 = 0 + 0,853 143 213 876 424 808 673 590 386 498 732 032;
  • 84) 0,853 143 213 876 424 808 673 590 386 498 732 032 × 2 = 1 + 0,706 286 427 752 849 617 347 180 772 997 464 064;
  • 85) 0,706 286 427 752 849 617 347 180 772 997 464 064 × 2 = 1 + 0,412 572 855 505 699 234 694 361 545 994 928 128;
  • 86) 0,412 572 855 505 699 234 694 361 545 994 928 128 × 2 = 0 + 0,825 145 711 011 398 469 388 723 091 989 856 256;
  • 87) 0,825 145 711 011 398 469 388 723 091 989 856 256 × 2 = 1 + 0,650 291 422 022 796 938 777 446 183 979 712 512;
  • 88) 0,650 291 422 022 796 938 777 446 183 979 712 512 × 2 = 1 + 0,300 582 844 045 593 877 554 892 367 959 425 024;
  • 89) 0,300 582 844 045 593 877 554 892 367 959 425 024 × 2 = 0 + 0,601 165 688 091 187 755 109 784 735 918 850 048;
  • 90) 0,601 165 688 091 187 755 109 784 735 918 850 048 × 2 = 1 + 0,202 331 376 182 375 510 219 569 471 837 700 096;
  • 91) 0,202 331 376 182 375 510 219 569 471 837 700 096 × 2 = 0 + 0,404 662 752 364 751 020 439 138 943 675 400 192;
  • 92) 0,404 662 752 364 751 020 439 138 943 675 400 192 × 2 = 0 + 0,809 325 504 729 502 040 878 277 887 350 800 384;
  • 93) 0,809 325 504 729 502 040 878 277 887 350 800 384 × 2 = 1 + 0,618 651 009 459 004 081 756 555 774 701 600 768;
  • 94) 0,618 651 009 459 004 081 756 555 774 701 600 768 × 2 = 1 + 0,237 302 018 918 008 163 513 111 549 403 201 536;
  • 95) 0,237 302 018 918 008 163 513 111 549 403 201 536 × 2 = 0 + 0,474 604 037 836 016 327 026 223 098 806 403 072;
  • 96) 0,474 604 037 836 016 327 026 223 098 806 403 072 × 2 = 0 + 0,949 208 075 672 032 654 052 446 197 612 806 144;
  • 97) 0,949 208 075 672 032 654 052 446 197 612 806 144 × 2 = 1 + 0,898 416 151 344 065 308 104 892 395 225 612 288;
  • 98) 0,898 416 151 344 065 308 104 892 395 225 612 288 × 2 = 1 + 0,796 832 302 688 130 616 209 784 790 451 224 576;
  • 99) 0,796 832 302 688 130 616 209 784 790 451 224 576 × 2 = 1 + 0,593 664 605 376 261 232 419 569 580 902 449 152;
  • 100) 0,593 664 605 376 261 232 419 569 580 902 449 152 × 2 = 1 + 0,187 329 210 752 522 464 839 139 161 804 898 304;
  • 101) 0,187 329 210 752 522 464 839 139 161 804 898 304 × 2 = 0 + 0,374 658 421 505 044 929 678 278 323 609 796 608;
  • 102) 0,374 658 421 505 044 929 678 278 323 609 796 608 × 2 = 0 + 0,749 316 843 010 089 859 356 556 647 219 593 216;
  • 103) 0,749 316 843 010 089 859 356 556 647 219 593 216 × 2 = 1 + 0,498 633 686 020 179 718 713 113 294 439 186 432;
  • 104) 0,498 633 686 020 179 718 713 113 294 439 186 432 × 2 = 0 + 0,997 267 372 040 359 437 426 226 588 878 372 864;
  • 105) 0,997 267 372 040 359 437 426 226 588 878 372 864 × 2 = 1 + 0,994 534 744 080 718 874 852 453 177 756 745 728;
  • 106) 0,994 534 744 080 718 874 852 453 177 756 745 728 × 2 = 1 + 0,989 069 488 161 437 749 704 906 355 513 491 456;
  • 107) 0,989 069 488 161 437 749 704 906 355 513 491 456 × 2 = 1 + 0,978 138 976 322 875 499 409 812 711 026 982 912;
  • 108) 0,978 138 976 322 875 499 409 812 711 026 982 912 × 2 = 1 + 0,956 277 952 645 750 998 819 625 422 053 965 824;
  • 109) 0,956 277 952 645 750 998 819 625 422 053 965 824 × 2 = 1 + 0,912 555 905 291 501 997 639 250 844 107 931 648;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110 0011 1011 1100 1101 1100 1101 1011 0100 1100 1111 0010 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110 0011 1011 1100 1101 1100 1101 1011 0100 1100 1111 0010 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 57 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110 0011 1011 1100 1101 1100 1101 1011 0100 1100 1111 0010 1111 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110 0011 1011 1100 1101 1100 1101 1011 0100 1100 1111 0010 1111 1(2) × 20 =

1,1100 0111 0111 1001 1011 1001 1011 0110 1001 1001 1110 0101 1111(2) × 2-57


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -57

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 0111 0111 1001 1011 1001 1011 0110 1001 1001 1110 0101 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-57 + 2(11-1) - 1 =

(-57 + 1 023)(10) =

966(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 966 : 2 = 483 + 0;
  • 483 : 2 = 241 + 1;
  • 241 : 2 = 120 + 1;
  • 120 : 2 = 60 + 0;
  • 60 : 2 = 30 + 0;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

966(10) =

011 1100 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1100 0111 0111 1001 1011 1001 1011 0110 1001 1001 1110 0101 1111 =

1100 0111 0111 1001 1011 1001 1011 0110 1001 1001 1110 0101 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1100 0110

Mantisă (52 biți) =
1100 0111 0111 1001 1011 1001 1011 0110 1001 1001 1110 0101 1111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 304 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1100 0110 - 1100 0111 0111 1001 1011 1001 1011 0110 1001 1001 1110 0101 1111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 012 345 687 894 564 589 328 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100