0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 440 892 098 488 8;
  • 2) 0,000 000 000 000 004 440 892 098 488 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 881 784 196 977 6;
  • 3) 0,000 000 000 000 008 881 784 196 977 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 763 568 393 955 2;
  • 4) 0,000 000 000 000 017 763 568 393 955 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 527 136 787 910 4;
  • 5) 0,000 000 000 000 035 527 136 787 910 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 054 273 575 820 8;
  • 6) 0,000 000 000 000 071 054 273 575 820 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 108 547 151 641 6;
  • 7) 0,000 000 000 000 142 108 547 151 641 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 217 094 303 283 2;
  • 8) 0,000 000 000 000 284 217 094 303 283 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 568 434 188 606 566 4;
  • 9) 0,000 000 000 000 568 434 188 606 566 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 136 868 377 213 132 8;
  • 10) 0,000 000 000 001 136 868 377 213 132 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 273 736 754 426 265 6;
  • 11) 0,000 000 000 002 273 736 754 426 265 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 547 473 508 852 531 2;
  • 12) 0,000 000 000 004 547 473 508 852 531 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 094 947 017 705 062 4;
  • 13) 0,000 000 000 009 094 947 017 705 062 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 189 894 035 410 124 8;
  • 14) 0,000 000 000 018 189 894 035 410 124 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 379 788 070 820 249 6;
  • 15) 0,000 000 000 036 379 788 070 820 249 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 759 576 141 640 499 2;
  • 16) 0,000 000 000 072 759 576 141 640 499 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 519 152 283 280 998 4;
  • 17) 0,000 000 000 145 519 152 283 280 998 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 291 038 304 566 561 996 8;
  • 18) 0,000 000 000 291 038 304 566 561 996 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 582 076 609 133 123 993 6;
  • 19) 0,000 000 000 582 076 609 133 123 993 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 164 153 218 266 247 987 2;
  • 20) 0,000 000 001 164 153 218 266 247 987 2 × 2 = 0 + 0,000 000 002 328 306 436 532 495 974 4;
  • 21) 0,000 000 002 328 306 436 532 495 974 4 × 2 = 0 + 0,000 000 004 656 612 873 064 991 948 8;
  • 22) 0,000 000 004 656 612 873 064 991 948 8 × 2 = 0 + 0,000 000 009 313 225 746 129 983 897 6;
  • 23) 0,000 000 009 313 225 746 129 983 897 6 × 2 = 0 + 0,000 000 018 626 451 492 259 967 795 2;
  • 24) 0,000 000 018 626 451 492 259 967 795 2 × 2 = 0 + 0,000 000 037 252 902 984 519 935 590 4;
  • 25) 0,000 000 037 252 902 984 519 935 590 4 × 2 = 0 + 0,000 000 074 505 805 969 039 871 180 8;
  • 26) 0,000 000 074 505 805 969 039 871 180 8 × 2 = 0 + 0,000 000 149 011 611 938 079 742 361 6;
  • 27) 0,000 000 149 011 611 938 079 742 361 6 × 2 = 0 + 0,000 000 298 023 223 876 159 484 723 2;
  • 28) 0,000 000 298 023 223 876 159 484 723 2 × 2 = 0 + 0,000 000 596 046 447 752 318 969 446 4;
  • 29) 0,000 000 596 046 447 752 318 969 446 4 × 2 = 0 + 0,000 001 192 092 895 504 637 938 892 8;
  • 30) 0,000 001 192 092 895 504 637 938 892 8 × 2 = 0 + 0,000 002 384 185 791 009 275 877 785 6;
  • 31) 0,000 002 384 185 791 009 275 877 785 6 × 2 = 0 + 0,000 004 768 371 582 018 551 755 571 2;
  • 32) 0,000 004 768 371 582 018 551 755 571 2 × 2 = 0 + 0,000 009 536 743 164 037 103 511 142 4;
  • 33) 0,000 009 536 743 164 037 103 511 142 4 × 2 = 0 + 0,000 019 073 486 328 074 207 022 284 8;
  • 34) 0,000 019 073 486 328 074 207 022 284 8 × 2 = 0 + 0,000 038 146 972 656 148 414 044 569 6;
  • 35) 0,000 038 146 972 656 148 414 044 569 6 × 2 = 0 + 0,000 076 293 945 312 296 828 089 139 2;
  • 36) 0,000 076 293 945 312 296 828 089 139 2 × 2 = 0 + 0,000 152 587 890 624 593 656 178 278 4;
  • 37) 0,000 152 587 890 624 593 656 178 278 4 × 2 = 0 + 0,000 305 175 781 249 187 312 356 556 8;
  • 38) 0,000 305 175 781 249 187 312 356 556 8 × 2 = 0 + 0,000 610 351 562 498 374 624 713 113 6;
  • 39) 0,000 610 351 562 498 374 624 713 113 6 × 2 = 0 + 0,001 220 703 124 996 749 249 426 227 2;
  • 40) 0,001 220 703 124 996 749 249 426 227 2 × 2 = 0 + 0,002 441 406 249 993 498 498 852 454 4;
  • 41) 0,002 441 406 249 993 498 498 852 454 4 × 2 = 0 + 0,004 882 812 499 986 996 997 704 908 8;
  • 42) 0,004 882 812 499 986 996 997 704 908 8 × 2 = 0 + 0,009 765 624 999 973 993 995 409 817 6;
  • 43) 0,009 765 624 999 973 993 995 409 817 6 × 2 = 0 + 0,019 531 249 999 947 987 990 819 635 2;
  • 44) 0,019 531 249 999 947 987 990 819 635 2 × 2 = 0 + 0,039 062 499 999 895 975 981 639 270 4;
  • 45) 0,039 062 499 999 895 975 981 639 270 4 × 2 = 0 + 0,078 124 999 999 791 951 963 278 540 8;
  • 46) 0,078 124 999 999 791 951 963 278 540 8 × 2 = 0 + 0,156 249 999 999 583 903 926 557 081 6;
  • 47) 0,156 249 999 999 583 903 926 557 081 6 × 2 = 0 + 0,312 499 999 999 167 807 853 114 163 2;
  • 48) 0,312 499 999 999 167 807 853 114 163 2 × 2 = 0 + 0,624 999 999 998 335 615 706 228 326 4;
  • 49) 0,624 999 999 998 335 615 706 228 326 4 × 2 = 1 + 0,249 999 999 996 671 231 412 456 652 8;
  • 50) 0,249 999 999 996 671 231 412 456 652 8 × 2 = 0 + 0,499 999 999 993 342 462 824 913 305 6;
  • 51) 0,499 999 999 993 342 462 824 913 305 6 × 2 = 0 + 0,999 999 999 986 684 925 649 826 611 2;
  • 52) 0,999 999 999 986 684 925 649 826 611 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 973 369 851 299 653 222 4;
  • 53) 0,999 999 999 973 369 851 299 653 222 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 946 739 702 599 306 444 8;
  • 54) 0,999 999 999 946 739 702 599 306 444 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 893 479 405 198 612 889 6;
  • 55) 0,999 999 999 893 479 405 198 612 889 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 786 958 810 397 225 779 2;
  • 56) 0,999 999 999 786 958 810 397 225 779 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 573 917 620 794 451 558 4;
  • 57) 0,999 999 999 573 917 620 794 451 558 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 147 835 241 588 903 116 8;
  • 58) 0,999 999 999 147 835 241 588 903 116 8 × 2 = 1 + 0,999 999 998 295 670 483 177 806 233 6;
  • 59) 0,999 999 998 295 670 483 177 806 233 6 × 2 = 1 + 0,999 999 996 591 340 966 355 612 467 2;
  • 60) 0,999 999 996 591 340 966 355 612 467 2 × 2 = 1 + 0,999 999 993 182 681 932 711 224 934 4;
  • 61) 0,999 999 993 182 681 932 711 224 934 4 × 2 = 1 + 0,999 999 986 365 363 865 422 449 868 8;
  • 62) 0,999 999 986 365 363 865 422 449 868 8 × 2 = 1 + 0,999 999 972 730 727 730 844 899 737 6;
  • 63) 0,999 999 972 730 727 730 844 899 737 6 × 2 = 1 + 0,999 999 945 461 455 461 689 799 475 2;
  • 64) 0,999 999 945 461 455 461 689 799 475 2 × 2 = 1 + 0,999 999 890 922 910 923 379 598 950 4;
  • 65) 0,999 999 890 922 910 923 379 598 950 4 × 2 = 1 + 0,999 999 781 845 821 846 759 197 900 8;
  • 66) 0,999 999 781 845 821 846 759 197 900 8 × 2 = 1 + 0,999 999 563 691 643 693 518 395 801 6;
  • 67) 0,999 999 563 691 643 693 518 395 801 6 × 2 = 1 + 0,999 999 127 383 287 387 036 791 603 2;
  • 68) 0,999 999 127 383 287 387 036 791 603 2 × 2 = 1 + 0,999 998 254 766 574 774 073 583 206 4;
  • 69) 0,999 998 254 766 574 774 073 583 206 4 × 2 = 1 + 0,999 996 509 533 149 548 147 166 412 8;
  • 70) 0,999 996 509 533 149 548 147 166 412 8 × 2 = 1 + 0,999 993 019 066 299 096 294 332 825 6;
  • 71) 0,999 993 019 066 299 096 294 332 825 6 × 2 = 1 + 0,999 986 038 132 598 192 588 665 651 2;
  • 72) 0,999 986 038 132 598 192 588 665 651 2 × 2 = 1 + 0,999 972 076 265 196 385 177 331 302 4;
  • 73) 0,999 972 076 265 196 385 177 331 302 4 × 2 = 1 + 0,999 944 152 530 392 770 354 662 604 8;
  • 74) 0,999 944 152 530 392 770 354 662 604 8 × 2 = 1 + 0,999 888 305 060 785 540 709 325 209 6;
  • 75) 0,999 888 305 060 785 540 709 325 209 6 × 2 = 1 + 0,999 776 610 121 571 081 418 650 419 2;
  • 76) 0,999 776 610 121 571 081 418 650 419 2 × 2 = 1 + 0,999 553 220 243 142 162 837 300 838 4;
  • 77) 0,999 553 220 243 142 162 837 300 838 4 × 2 = 1 + 0,999 106 440 486 284 325 674 601 676 8;
  • 78) 0,999 106 440 486 284 325 674 601 676 8 × 2 = 1 + 0,998 212 880 972 568 651 349 203 353 6;
  • 79) 0,998 212 880 972 568 651 349 203 353 6 × 2 = 1 + 0,996 425 761 945 137 302 698 406 707 2;
  • 80) 0,996 425 761 945 137 302 698 406 707 2 × 2 = 1 + 0,992 851 523 890 274 605 396 813 414 4;
  • 81) 0,992 851 523 890 274 605 396 813 414 4 × 2 = 1 + 0,985 703 047 780 549 210 793 626 828 8;
  • 82) 0,985 703 047 780 549 210 793 626 828 8 × 2 = 1 + 0,971 406 095 561 098 421 587 253 657 6;
  • 83) 0,971 406 095 561 098 421 587 253 657 6 × 2 = 1 + 0,942 812 191 122 196 843 174 507 315 2;
  • 84) 0,942 812 191 122 196 843 174 507 315 2 × 2 = 1 + 0,885 624 382 244 393 686 349 014 630 4;
  • 85) 0,885 624 382 244 393 686 349 014 630 4 × 2 = 1 + 0,771 248 764 488 787 372 698 029 260 8;
  • 86) 0,771 248 764 488 787 372 698 029 260 8 × 2 = 1 + 0,542 497 528 977 574 745 396 058 521 6;
  • 87) 0,542 497 528 977 574 745 396 058 521 6 × 2 = 1 + 0,084 995 057 955 149 490 792 117 043 2;
  • 88) 0,084 995 057 955 149 490 792 117 043 2 × 2 = 0 + 0,169 990 115 910 298 981 584 234 086 4;
  • 89) 0,169 990 115 910 298 981 584 234 086 4 × 2 = 0 + 0,339 980 231 820 597 963 168 468 172 8;
  • 90) 0,339 980 231 820 597 963 168 468 172 8 × 2 = 0 + 0,679 960 463 641 195 926 336 936 345 6;
  • 91) 0,679 960 463 641 195 926 336 936 345 6 × 2 = 1 + 0,359 920 927 282 391 852 673 872 691 2;
  • 92) 0,359 920 927 282 391 852 673 872 691 2 × 2 = 0 + 0,719 841 854 564 783 705 347 745 382 4;
  • 93) 0,719 841 854 564 783 705 347 745 382 4 × 2 = 1 + 0,439 683 709 129 567 410 695 490 764 8;
  • 94) 0,439 683 709 129 567 410 695 490 764 8 × 2 = 0 + 0,879 367 418 259 134 821 390 981 529 6;
  • 95) 0,879 367 418 259 134 821 390 981 529 6 × 2 = 1 + 0,758 734 836 518 269 642 781 963 059 2;
  • 96) 0,758 734 836 518 269 642 781 963 059 2 × 2 = 1 + 0,517 469 673 036 539 285 563 926 118 4;
  • 97) 0,517 469 673 036 539 285 563 926 118 4 × 2 = 1 + 0,034 939 346 073 078 571 127 852 236 8;
  • 98) 0,034 939 346 073 078 571 127 852 236 8 × 2 = 0 + 0,069 878 692 146 157 142 255 704 473 6;
  • 99) 0,069 878 692 146 157 142 255 704 473 6 × 2 = 0 + 0,139 757 384 292 314 284 511 408 947 2;
  • 100) 0,139 757 384 292 314 284 511 408 947 2 × 2 = 0 + 0,279 514 768 584 628 569 022 817 894 4;
  • 101) 0,279 514 768 584 628 569 022 817 894 4 × 2 = 0 + 0,559 029 537 169 257 138 045 635 788 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0010 1011 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0010 1011 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 49 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0010 1011 1000 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0010 1011 1000 0(2) × 20 =

1,0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0101 0111 0000(2) × 2-49


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -49

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0101 0111 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-49 + 2(11-1) - 1 =

(-49 + 1 023)(10) =

974(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 974 : 2 = 487 + 0;
  • 487 : 2 = 243 + 1;
  • 243 : 2 = 121 + 1;
  • 121 : 2 = 60 + 1;
  • 60 : 2 = 30 + 0;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

974(10) =

011 1100 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0101 0111 0000 =

0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0101 0111 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1100 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0101 0111 0000


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 002 220 446 049 244 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1100 1110 - 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0101 0111 0000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 002 220 446 049 253 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100