64bit IEEE 754: Nr. zecimal ↗ Binar, precizie dublă, virgulă mobilă: 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5 Convertește (transformă) numărul în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din număr în sistem zecimal în baza zece

Numărul 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 227 373 675 443 232 059 479;
  • 2) 0,000 000 000 000 227 373 675 443 232 059 479 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 454 747 350 886 464 118 958;
  • 3) 0,000 000 000 000 454 747 350 886 464 118 958 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 909 494 701 772 928 237 916;
  • 4) 0,000 000 000 000 909 494 701 772 928 237 916 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 818 989 403 545 856 475 832;
  • 5) 0,000 000 000 001 818 989 403 545 856 475 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 637 978 807 091 712 951 664;
  • 6) 0,000 000 000 003 637 978 807 091 712 951 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 275 957 614 183 425 903 328;
  • 7) 0,000 000 000 007 275 957 614 183 425 903 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 551 915 228 366 851 806 656;
  • 8) 0,000 000 000 014 551 915 228 366 851 806 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 103 830 456 733 703 613 312;
  • 9) 0,000 000 000 029 103 830 456 733 703 613 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 207 660 913 467 407 226 624;
  • 10) 0,000 000 000 058 207 660 913 467 407 226 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 415 321 826 934 814 453 248;
  • 11) 0,000 000 000 116 415 321 826 934 814 453 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 830 643 653 869 628 906 496;
  • 12) 0,000 000 000 232 830 643 653 869 628 906 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 661 287 307 739 257 812 992;
  • 13) 0,000 000 000 465 661 287 307 739 257 812 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 931 322 574 615 478 515 625 984;
  • 14) 0,000 000 000 931 322 574 615 478 515 625 984 × 2 = 0 + 0,000 000 001 862 645 149 230 957 031 251 968;
  • 15) 0,000 000 001 862 645 149 230 957 031 251 968 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 298 461 914 062 503 936;
  • 16) 0,000 000 003 725 290 298 461 914 062 503 936 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 596 923 828 125 007 872;
  • 17) 0,000 000 007 450 580 596 923 828 125 007 872 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 193 847 656 250 015 744;
  • 18) 0,000 000 014 901 161 193 847 656 250 015 744 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 387 695 312 500 031 488;
  • 19) 0,000 000 029 802 322 387 695 312 500 031 488 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 775 390 625 000 062 976;
  • 20) 0,000 000 059 604 644 775 390 625 000 062 976 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 550 781 250 000 125 952;
  • 21) 0,000 000 119 209 289 550 781 250 000 125 952 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 579 101 562 500 000 251 904;
  • 22) 0,000 000 238 418 579 101 562 500 000 251 904 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 158 203 125 000 000 503 808;
  • 23) 0,000 000 476 837 158 203 125 000 000 503 808 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 316 406 250 000 001 007 616;
  • 24) 0,000 000 953 674 316 406 250 000 001 007 616 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 632 812 500 000 002 015 232;
  • 25) 0,000 001 907 348 632 812 500 000 002 015 232 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 265 625 000 000 004 030 464;
  • 26) 0,000 003 814 697 265 625 000 000 004 030 464 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 531 250 000 000 008 060 928;
  • 27) 0,000 007 629 394 531 250 000 000 008 060 928 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 062 500 000 000 016 121 856;
  • 28) 0,000 015 258 789 062 500 000 000 016 121 856 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 125 000 000 000 032 243 712;
  • 29) 0,000 030 517 578 125 000 000 000 032 243 712 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 250 000 000 000 064 487 424;
  • 30) 0,000 061 035 156 250 000 000 000 064 487 424 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 500 000 000 000 128 974 848;
  • 31) 0,000 122 070 312 500 000 000 000 128 974 848 × 2 = 0 + 0,000 244 140 625 000 000 000 000 257 949 696;
  • 32) 0,000 244 140 625 000 000 000 000 257 949 696 × 2 = 0 + 0,000 488 281 250 000 000 000 000 515 899 392;
  • 33) 0,000 488 281 250 000 000 000 000 515 899 392 × 2 = 0 + 0,000 976 562 500 000 000 000 001 031 798 784;
  • 34) 0,000 976 562 500 000 000 000 001 031 798 784 × 2 = 0 + 0,001 953 125 000 000 000 000 002 063 597 568;
  • 35) 0,001 953 125 000 000 000 000 002 063 597 568 × 2 = 0 + 0,003 906 250 000 000 000 000 004 127 195 136;
  • 36) 0,003 906 250 000 000 000 000 004 127 195 136 × 2 = 0 + 0,007 812 500 000 000 000 000 008 254 390 272;
  • 37) 0,007 812 500 000 000 000 000 008 254 390 272 × 2 = 0 + 0,015 625 000 000 000 000 000 016 508 780 544;
  • 38) 0,015 625 000 000 000 000 000 016 508 780 544 × 2 = 0 + 0,031 250 000 000 000 000 000 033 017 561 088;
  • 39) 0,031 250 000 000 000 000 000 033 017 561 088 × 2 = 0 + 0,062 500 000 000 000 000 000 066 035 122 176;
  • 40) 0,062 500 000 000 000 000 000 066 035 122 176 × 2 = 0 + 0,125 000 000 000 000 000 000 132 070 244 352;
  • 41) 0,125 000 000 000 000 000 000 132 070 244 352 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 000 000 000 264 140 488 704;
  • 42) 0,250 000 000 000 000 000 000 264 140 488 704 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 000 528 280 977 408;
  • 43) 0,500 000 000 000 000 000 000 528 280 977 408 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 001 056 561 954 816;
  • 44) 0,000 000 000 000 000 000 001 056 561 954 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 002 113 123 909 632;
  • 45) 0,000 000 000 000 000 000 002 113 123 909 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 004 226 247 819 264;
  • 46) 0,000 000 000 000 000 000 004 226 247 819 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 008 452 495 638 528;
  • 47) 0,000 000 000 000 000 000 008 452 495 638 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 904 991 277 056;
  • 48) 0,000 000 000 000 000 000 016 904 991 277 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 809 982 554 112;
  • 49) 0,000 000 000 000 000 000 033 809 982 554 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 619 965 108 224;
  • 50) 0,000 000 000 000 000 000 067 619 965 108 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 239 930 216 448;
  • 51) 0,000 000 000 000 000 000 135 239 930 216 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 270 479 860 432 896;
  • 52) 0,000 000 000 000 000 000 270 479 860 432 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 540 959 720 865 792;
  • 53) 0,000 000 000 000 000 000 540 959 720 865 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 081 919 441 731 584;
  • 54) 0,000 000 000 000 000 001 081 919 441 731 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 163 838 883 463 168;
  • 55) 0,000 000 000 000 000 002 163 838 883 463 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 327 677 766 926 336;
  • 56) 0,000 000 000 000 000 004 327 677 766 926 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 655 355 533 852 672;
  • 57) 0,000 000 000 000 000 008 655 355 533 852 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 310 711 067 705 344;
  • 58) 0,000 000 000 000 000 017 310 711 067 705 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 621 422 135 410 688;
  • 59) 0,000 000 000 000 000 034 621 422 135 410 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 242 844 270 821 376;
  • 60) 0,000 000 000 000 000 069 242 844 270 821 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 485 688 541 642 752;
  • 61) 0,000 000 000 000 000 138 485 688 541 642 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 276 971 377 083 285 504;
  • 62) 0,000 000 000 000 000 276 971 377 083 285 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 553 942 754 166 571 008;
  • 63) 0,000 000 000 000 000 553 942 754 166 571 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 107 885 508 333 142 016;
  • 64) 0,000 000 000 000 001 107 885 508 333 142 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 215 771 016 666 284 032;
  • 65) 0,000 000 000 000 002 215 771 016 666 284 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 431 542 033 332 568 064;
  • 66) 0,000 000 000 000 004 431 542 033 332 568 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 863 084 066 665 136 128;
  • 67) 0,000 000 000 000 008 863 084 066 665 136 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 726 168 133 330 272 256;
  • 68) 0,000 000 000 000 017 726 168 133 330 272 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 452 336 266 660 544 512;
  • 69) 0,000 000 000 000 035 452 336 266 660 544 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 904 672 533 321 089 024;
  • 70) 0,000 000 000 000 070 904 672 533 321 089 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 141 809 345 066 642 178 048;
  • 71) 0,000 000 000 000 141 809 345 066 642 178 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 283 618 690 133 284 356 096;
  • 72) 0,000 000 000 000 283 618 690 133 284 356 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 567 237 380 266 568 712 192;
  • 73) 0,000 000 000 000 567 237 380 266 568 712 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 134 474 760 533 137 424 384;
  • 74) 0,000 000 000 001 134 474 760 533 137 424 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 268 949 521 066 274 848 768;
  • 75) 0,000 000 000 002 268 949 521 066 274 848 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 537 899 042 132 549 697 536;
  • 76) 0,000 000 000 004 537 899 042 132 549 697 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 075 798 084 265 099 395 072;
  • 77) 0,000 000 000 009 075 798 084 265 099 395 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 151 596 168 530 198 790 144;
  • 78) 0,000 000 000 018 151 596 168 530 198 790 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 303 192 337 060 397 580 288;
  • 79) 0,000 000 000 036 303 192 337 060 397 580 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 606 384 674 120 795 160 576;
  • 80) 0,000 000 000 072 606 384 674 120 795 160 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 212 769 348 241 590 321 152;
  • 81) 0,000 000 000 145 212 769 348 241 590 321 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 290 425 538 696 483 180 642 304;
  • 82) 0,000 000 000 290 425 538 696 483 180 642 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 580 851 077 392 966 361 284 608;
  • 83) 0,000 000 000 580 851 077 392 966 361 284 608 × 2 = 0 + 0,000 000 001 161 702 154 785 932 722 569 216;
  • 84) 0,000 000 001 161 702 154 785 932 722 569 216 × 2 = 0 + 0,000 000 002 323 404 309 571 865 445 138 432;
  • 85) 0,000 000 002 323 404 309 571 865 445 138 432 × 2 = 0 + 0,000 000 004 646 808 619 143 730 890 276 864;
  • 86) 0,000 000 004 646 808 619 143 730 890 276 864 × 2 = 0 + 0,000 000 009 293 617 238 287 461 780 553 728;
  • 87) 0,000 000 009 293 617 238 287 461 780 553 728 × 2 = 0 + 0,000 000 018 587 234 476 574 923 561 107 456;
  • 88) 0,000 000 018 587 234 476 574 923 561 107 456 × 2 = 0 + 0,000 000 037 174 468 953 149 847 122 214 912;
  • 89) 0,000 000 037 174 468 953 149 847 122 214 912 × 2 = 0 + 0,000 000 074 348 937 906 299 694 244 429 824;
  • 90) 0,000 000 074 348 937 906 299 694 244 429 824 × 2 = 0 + 0,000 000 148 697 875 812 599 388 488 859 648;
  • 91) 0,000 000 148 697 875 812 599 388 488 859 648 × 2 = 0 + 0,000 000 297 395 751 625 198 776 977 719 296;
  • 92) 0,000 000 297 395 751 625 198 776 977 719 296 × 2 = 0 + 0,000 000 594 791 503 250 397 553 955 438 592;
  • 93) 0,000 000 594 791 503 250 397 553 955 438 592 × 2 = 0 + 0,000 001 189 583 006 500 795 107 910 877 184;
  • 94) 0,000 001 189 583 006 500 795 107 910 877 184 × 2 = 0 + 0,000 002 379 166 013 001 590 215 821 754 368;
  • 95) 0,000 002 379 166 013 001 590 215 821 754 368 × 2 = 0 + 0,000 004 758 332 026 003 180 431 643 508 736;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierdem precizie...)


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000(2)


5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 43 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000(2) × 2-43


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -43

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-43 + 2(11-1) - 1 =

(-43 + 1 023)(10) =

980(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 980 : 2 = 490 + 0;
  • 490 : 2 = 245 + 0;
  • 245 : 2 = 122 + 1;
  • 122 : 2 = 61 + 0;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

980(10) =

011 1101 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 =

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal în baza zece 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
0 - 011 1101 0100 - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Mai multe operații cu numere zecimale convertite în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

» Numărul 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 4 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ?

» Numărul 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 6 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ?

» [EN] This operation in English: Convert 0,000 000 000 000 113 686 837 721 616 029 739 5 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Ultimele numere zecimale convertite (transformate) din baza zece în sistem binar în reprezentare pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

Numărul 67 622 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:03 EET (UTC +2)
Numărul 1 232 040 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:03 EET (UTC +2)
Numărul 27,371 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul -34 627 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul -243,7 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul 1,000 111 100 001 103 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul 111 111 101 110 011 001 100 110 011 001 100 110 011 001 111 001 100 110 010 966 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul -17,638 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul 100 000 010 101 001 001 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Numărul 2 003 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 01 mai, 04:02 EET (UTC +2)
Toate numerele zecimale convertite (transformate) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100