0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 663 76;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 663 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 327 52;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 327 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 655 04;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 655 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 310 08;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 310 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 620 16;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 620 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 240 32;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 240 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 480 64;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 480 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 652 961 28;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 652 961 28 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 305 922 56;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 305 922 56 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 611 845 12;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 611 845 12 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 223 690 24;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 223 690 24 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 447 380 48;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 447 380 48 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 894 760 96;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 894 760 96 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 789 521 92;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 789 521 92 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 579 043 84;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 579 043 84 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 158 087 68;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 158 087 68 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 316 175 36;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 316 175 36 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 020 632 350 72;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 020 632 350 72 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 041 264 701 44;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 041 264 701 44 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 082 529 402 88;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 082 529 402 88 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 165 058 805 76;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 165 058 805 76 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 330 117 611 52;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 330 117 611 52 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 660 235 223 04;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 660 235 223 04 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 320 470 446 08;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 320 470 446 08 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 640 940 892 16;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 640 940 892 16 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 281 881 784 32;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 281 881 784 32 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 563 763 568 64;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 563 763 568 64 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 127 527 137 28;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 127 527 137 28 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 634 255 054 274 56;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 634 255 054 274 56 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 268 510 108 549 12;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 268 510 108 549 12 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 537 020 217 098 24;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 537 020 217 098 24 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 074 040 434 196 48;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 074 040 434 196 48 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 148 080 868 392 96;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 148 080 868 392 96 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 296 161 736 785 92;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 296 161 736 785 92 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 592 323 473 571 84;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 592 323 473 571 84 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 184 646 947 143 68;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 184 646 947 143 68 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 369 293 894 287 36;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 369 293 894 287 36 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 660 738 587 788 574 72;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 660 738 587 788 574 72 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 321 477 175 577 149 44;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 321 477 175 577 149 44 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 642 954 351 154 298 88;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 642 954 351 154 298 88 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 285 908 702 308 597 76;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 285 908 702 308 597 76 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 571 817 404 617 195 52;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 571 817 404 617 195 52 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 143 634 809 234 391 04;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 143 634 809 234 391 04 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 287 269 618 468 782 08;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 287 269 618 468 782 08 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 574 539 236 937 564 16;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 574 539 236 937 564 16 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 149 078 473 875 128 32;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 149 078 473 875 128 32 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 298 156 947 750 256 64;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 298 156 947 750 256 64 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 404 596 313 895 500 513 28;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 404 596 313 895 500 513 28 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 809 192 627 791 001 026 56;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 809 192 627 791 001 026 56 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 618 385 255 582 002 053 12;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 618 385 255 582 002 053 12 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 236 770 511 164 004 106 24;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 236 770 511 164 004 106 24 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 473 541 022 328 008 212 48;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 473 541 022 328 008 212 48 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 947 082 044 656 016 424 96;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 947 082 044 656 016 424 96 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 894 164 089 312 032 849 92;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 894 164 089 312 032 849 92 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 788 328 178 624 065 699 84;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 788 328 178 624 065 699 84 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 576 656 357 248 131 399 68;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 576 656 357 248 131 399 68 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 153 312 714 496 262 799 36;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 153 312 714 496 262 799 36 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 030 306 625 428 992 525 598 72;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 030 306 625 428 992 525 598 72 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 060 613 250 857 985 051 197 44;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 060 613 250 857 985 051 197 44 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 121 226 501 715 970 102 394 88;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 121 226 501 715 970 102 394 88 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 242 453 003 431 940 204 789 76;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 242 453 003 431 940 204 789 76 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 484 906 006 863 880 409 579 52;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 484 906 006 863 880 409 579 52 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 969 812 013 727 760 819 159 04;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 969 812 013 727 760 819 159 04 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 939 624 027 455 521 638 318 08;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 939 624 027 455 521 638 318 08 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 879 248 054 911 043 276 636 16;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 879 248 054 911 043 276 636 16 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 758 496 109 822 086 553 272 32;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 758 496 109 822 086 553 272 32 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 516 992 219 644 173 106 544 64;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 516 992 219 644 173 106 544 64 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 033 984 439 288 346 213 089 28;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 033 984 439 288 346 213 089 28 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 998 067 968 878 576 692 426 178 56;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 998 067 968 878 576 692 426 178 56 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 996 135 937 757 153 384 852 357 12;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 996 135 937 757 153 384 852 357 12 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 992 271 875 514 306 769 704 714 24;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 992 271 875 514 306 769 704 714 24 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 984 543 751 028 613 539 409 428 48;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 984 543 751 028 613 539 409 428 48 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 969 087 502 057 227 078 818 856 96;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 969 087 502 057 227 078 818 856 96 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 938 175 004 114 454 157 637 713 92;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 938 175 004 114 454 157 637 713 92 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 876 350 008 228 908 315 275 427 84;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 876 350 008 228 908 315 275 427 84 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 752 700 016 457 816 630 550 855 68;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 752 700 016 457 816 630 550 855 68 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 505 400 032 915 633 261 101 711 36;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 505 400 032 915 633 261 101 711 36 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 010 800 065 831 266 522 203 422 72;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 010 800 065 831 266 522 203 422 72 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 998 021 600 131 662 533 044 406 845 44;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 998 021 600 131 662 533 044 406 845 44 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 996 043 200 263 325 066 088 813 690 88;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 996 043 200 263 325 066 088 813 690 88 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 992 086 400 526 650 132 177 627 381 76;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 992 086 400 526 650 132 177 627 381 76 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 984 172 801 053 300 264 355 254 763 52;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 984 172 801 053 300 264 355 254 763 52 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 968 345 602 106 600 528 710 509 527 04;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 968 345 602 106 600 528 710 509 527 04 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 936 691 204 213 201 057 421 019 054 08;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 936 691 204 213 201 057 421 019 054 08 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 873 382 408 426 402 114 842 038 108 16;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 873 382 408 426 402 114 842 038 108 16 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 746 764 816 852 804 229 684 076 216 32;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 746 764 816 852 804 229 684 076 216 32 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 493 529 633 705 608 459 368 152 432 64;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 493 529 633 705 608 459 368 152 432 64 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 998 987 059 267 411 216 918 736 304 865 28;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 998 987 059 267 411 216 918 736 304 865 28 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 997 974 118 534 822 433 837 472 609 730 56;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 997 974 118 534 822 433 837 472 609 730 56 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 995 948 237 069 644 867 674 945 219 461 12;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 995 948 237 069 644 867 674 945 219 461 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 991 896 474 139 289 735 349 890 438 922 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 331 88 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 330 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100