0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 669 76;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 669 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 339 52;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 339 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 679 04;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 679 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 358 08;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 358 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 716 16;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 716 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 432 32;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 432 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 864 64;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 864 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 729 28;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 729 28 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 458 56;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 458 56 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 614 917 12;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 614 917 12 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 229 834 24;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 229 834 24 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 459 668 48;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 459 668 48 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 919 336 96;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 919 336 96 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 838 673 92;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 838 673 92 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 677 347 84;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 677 347 84 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 354 695 68;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 354 695 68 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 709 391 36;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 709 391 36 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 418 782 72;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 418 782 72 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 837 565 44;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 837 565 44 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 675 130 88;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 675 130 88 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 350 261 76;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 350 261 76 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 342 700 523 52;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 342 700 523 52 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 685 401 047 04;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 685 401 047 04 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 370 802 094 08;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 370 802 094 08 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 741 604 188 16;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 741 604 188 16 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 483 208 376 32;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 483 208 376 32 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 966 416 752 64;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 966 416 752 64 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 932 833 505 28;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 932 833 505 28 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 865 667 010 56;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 865 667 010 56 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 731 334 021 12;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 731 334 021 12 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 462 668 042 24;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 462 668 042 24 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 086 925 336 084 48;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 086 925 336 084 48 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 173 850 672 168 96;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 173 850 672 168 96 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 347 701 344 337 92;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 347 701 344 337 92 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 695 402 688 675 84;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 695 402 688 675 84 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 390 805 377 351 68;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 390 805 377 351 68 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 781 610 754 703 36;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 781 610 754 703 36 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 563 221 509 406 72;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 563 221 509 406 72 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 126 443 018 813 44;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 126 443 018 813 44 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 252 886 037 626 88;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 252 886 037 626 88 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 505 772 075 253 76;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 505 772 075 253 76 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 011 544 150 507 52;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 011 544 150 507 52 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 170 023 088 301 015 04;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 170 023 088 301 015 04 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 340 046 176 602 030 08;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 340 046 176 602 030 08 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 680 092 353 204 060 16;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 680 092 353 204 060 16 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 360 184 706 408 120 32;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 360 184 706 408 120 32 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 720 369 412 816 240 64;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 720 369 412 816 240 64 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 440 738 825 632 481 28;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 440 738 825 632 481 28 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 881 477 651 264 962 56;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 881 477 651 264 962 56 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 762 955 302 529 925 12;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 762 955 302 529 925 12 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 525 910 605 059 850 24;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 525 910 605 059 850 24 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 051 821 210 119 700 48;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 051 821 210 119 700 48 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 974 103 642 420 239 400 96;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 974 103 642 420 239 400 96 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 948 207 284 840 478 801 92;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 948 207 284 840 478 801 92 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 896 414 569 680 957 603 84;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 896 414 569 680 957 603 84 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 792 829 139 361 915 207 68;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 792 829 139 361 915 207 68 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 585 658 278 723 830 415 36;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 585 658 278 723 830 415 36 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 171 316 557 447 660 830 72;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 171 316 557 447 660 830 72 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 342 633 114 895 321 661 44;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 342 633 114 895 321 661 44 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 685 266 229 790 643 322 88;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 685 266 229 790 643 322 88 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 370 532 459 581 286 645 76;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 370 532 459 581 286 645 76 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 498 741 064 919 162 573 291 52;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 498 741 064 919 162 573 291 52 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 997 482 129 838 325 146 583 04;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 997 482 129 838 325 146 583 04 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 994 964 259 676 650 293 166 08;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 994 964 259 676 650 293 166 08 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 989 928 519 353 300 586 332 16;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 989 928 519 353 300 586 332 16 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 979 857 038 706 601 172 664 32;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 979 857 038 706 601 172 664 32 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 959 714 077 413 202 345 328 64;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 959 714 077 413 202 345 328 64 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 919 428 154 826 404 690 657 28;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 919 428 154 826 404 690 657 28 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 838 856 309 652 809 381 314 56;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 838 856 309 652 809 381 314 56 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 677 712 619 305 618 762 629 12;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 677 712 619 305 618 762 629 12 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 355 425 238 611 237 525 258 24;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 355 425 238 611 237 525 258 24 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 998 710 850 477 222 475 050 516 48;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 998 710 850 477 222 475 050 516 48 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 997 421 700 954 444 950 101 032 96;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 997 421 700 954 444 950 101 032 96 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 994 843 401 908 889 900 202 065 92;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 994 843 401 908 889 900 202 065 92 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 989 686 803 817 779 800 404 131 84;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 989 686 803 817 779 800 404 131 84 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 979 373 607 635 559 600 808 263 68;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 979 373 607 635 559 600 808 263 68 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 958 747 215 271 119 201 616 527 36;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 958 747 215 271 119 201 616 527 36 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 917 494 430 542 238 403 233 054 72;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 917 494 430 542 238 403 233 054 72 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 834 988 861 084 476 806 466 109 44;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 834 988 861 084 476 806 466 109 44 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 669 977 722 168 953 612 932 218 88;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 669 977 722 168 953 612 932 218 88 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 339 955 444 337 907 225 864 437 76;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 339 955 444 337 907 225 864 437 76 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 998 679 910 888 675 814 451 728 875 52;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 998 679 910 888 675 814 451 728 875 52 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 997 359 821 777 351 628 903 457 751 04;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 997 359 821 777 351 628 903 457 751 04 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 994 719 643 554 703 257 806 915 502 08;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 994 719 643 554 703 257 806 915 502 08 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 989 439 287 109 406 515 613 831 004 16;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 989 439 287 109 406 515 613 831 004 16 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 978 878 574 218 813 031 227 662 008 32;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 978 878 574 218 813 031 227 662 008 32 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 957 757 148 437 626 062 455 324 016 64;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 957 757 148 437 626 062 455 324 016 64 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 915 514 296 875 252 124 910 648 033 28;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 915 514 296 875 252 124 910 648 033 28 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 831 028 593 750 504 249 821 296 066 56;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 831 028 593 750 504 249 821 296 066 56 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 662 057 187 501 008 499 642 592 133 12;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 662 057 187 501 008 499 642 592 133 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 324 114 375 002 016 999 285 184 266 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 88 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100