0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 669 892;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 669 892 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 339 784;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 339 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 679 568;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 679 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 359 136;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 359 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 718 272;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 718 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 436 544;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 436 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 873 088;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 873 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 746 176;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 746 176 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 492 352;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 492 352 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 614 984 704;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 614 984 704 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 229 969 408;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 229 969 408 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 459 938 816;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 459 938 816 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 919 877 632;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 919 877 632 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 839 755 264;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 839 755 264 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 679 510 528;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 679 510 528 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 359 021 056;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 359 021 056 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 718 042 112;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 718 042 112 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 436 084 224;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 436 084 224 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 872 168 448;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 872 168 448 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 744 336 896;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 744 336 896 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 488 673 792;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 488 673 792 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 342 977 347 584;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 342 977 347 584 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 685 954 695 168;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 685 954 695 168 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 371 909 390 336;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 371 909 390 336 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 743 818 780 672;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 743 818 780 672 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 487 637 561 344;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 487 637 561 344 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 975 275 122 688;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 975 275 122 688 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 950 550 245 376;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 950 550 245 376 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 901 100 490 752;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 901 100 490 752 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 802 200 981 504;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 802 200 981 504 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 604 401 963 008;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 604 401 963 008 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 208 803 926 016;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 208 803 926 016 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 174 417 607 852 032;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 174 417 607 852 032 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 348 835 215 704 064;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 348 835 215 704 064 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 697 670 431 408 128;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 697 670 431 408 128 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 395 340 862 816 256;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 395 340 862 816 256 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 790 681 725 632 512;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 790 681 725 632 512 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 581 363 451 265 024;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 581 363 451 265 024 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 162 726 902 530 048;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 162 726 902 530 048 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 325 453 805 060 096;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 325 453 805 060 096 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 650 907 610 120 192;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 650 907 610 120 192 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 301 815 220 240 384;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 301 815 220 240 384 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 170 603 630 440 480 768;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 170 603 630 440 480 768 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 341 207 260 880 961 536;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 341 207 260 880 961 536 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 682 414 521 761 923 072;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 682 414 521 761 923 072 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 364 829 043 523 846 144;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 364 829 043 523 846 144 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 729 658 087 047 692 288;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 729 658 087 047 692 288 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 459 316 174 095 384 576;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 459 316 174 095 384 576 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 918 632 348 190 769 152;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 918 632 348 190 769 152 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 837 264 696 381 538 304;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 837 264 696 381 538 304 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 674 529 392 763 076 608;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 674 529 392 763 076 608 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 349 058 785 526 153 216;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 349 058 785 526 153 216 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 974 698 117 571 052 306 432;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 974 698 117 571 052 306 432 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 949 396 235 142 104 612 864;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 949 396 235 142 104 612 864 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 898 792 470 284 209 225 728;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 898 792 470 284 209 225 728 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 797 584 940 568 418 451 456;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 797 584 940 568 418 451 456 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 595 169 881 136 836 902 912;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 595 169 881 136 836 902 912 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 190 339 762 273 673 805 824;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 190 339 762 273 673 805 824 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 380 679 524 547 347 611 648;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 380 679 524 547 347 611 648 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 761 359 049 094 695 223 296;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 761 359 049 094 695 223 296 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 522 718 098 189 390 446 592;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 522 718 098 189 390 446 592 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 045 436 196 378 780 893 184;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 045 436 196 378 780 893 184 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 998 090 872 392 757 561 786 368;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 998 090 872 392 757 561 786 368 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 996 181 744 785 515 123 572 736;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 996 181 744 785 515 123 572 736 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 992 363 489 571 030 247 145 472;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 992 363 489 571 030 247 145 472 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 984 726 979 142 060 494 290 944;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 984 726 979 142 060 494 290 944 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 969 453 958 284 120 988 581 888;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 969 453 958 284 120 988 581 888 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 938 907 916 568 241 977 163 776;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 938 907 916 568 241 977 163 776 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 877 815 833 136 483 954 327 552;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 877 815 833 136 483 954 327 552 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 755 631 666 272 967 908 655 104;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 755 631 666 272 967 908 655 104 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 511 263 332 545 935 817 310 208;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 511 263 332 545 935 817 310 208 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 022 526 665 091 871 634 620 416;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 022 526 665 091 871 634 620 416 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 998 045 053 330 183 743 269 240 832;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 998 045 053 330 183 743 269 240 832 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 996 090 106 660 367 486 538 481 664;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 996 090 106 660 367 486 538 481 664 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 992 180 213 320 734 973 076 963 328;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 992 180 213 320 734 973 076 963 328 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 984 360 426 641 469 946 153 926 656;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 984 360 426 641 469 946 153 926 656 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 968 720 853 282 939 892 307 853 312;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 968 720 853 282 939 892 307 853 312 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 937 441 706 565 879 784 615 706 624;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 937 441 706 565 879 784 615 706 624 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 874 883 413 131 759 569 231 413 248;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 874 883 413 131 759 569 231 413 248 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 749 766 826 263 519 138 462 826 496;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 749 766 826 263 519 138 462 826 496 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 499 533 652 527 038 276 925 652 992;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 499 533 652 527 038 276 925 652 992 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 998 999 067 305 054 076 553 851 305 984;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 998 999 067 305 054 076 553 851 305 984 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 997 998 134 610 108 153 107 702 611 968;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 997 998 134 610 108 153 107 702 611 968 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 995 996 269 220 216 306 215 405 223 936;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 995 996 269 220 216 306 215 405 223 936 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 991 992 538 440 432 612 430 810 447 872;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 991 992 538 440 432 612 430 810 447 872 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 983 985 076 880 865 224 861 620 895 744;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 983 985 076 880 865 224 861 620 895 744 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 967 970 153 761 730 449 723 241 791 488;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 967 970 153 761 730 449 723 241 791 488 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 935 940 307 523 460 899 446 483 582 976;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 935 940 307 523 460 899 446 483 582 976 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 871 880 615 046 921 798 892 967 165 952;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 871 880 615 046 921 798 892 967 165 952 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 743 761 230 093 843 597 785 934 331 904;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 743 761 230 093 843 597 785 934 331 904 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 487 522 460 187 687 195 571 868 663 808;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 946 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 968 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100