0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 669 986;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 669 986 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 339 972;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 339 972 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 679 944;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 679 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 359 888;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 359 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 719 776;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 719 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 439 552;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 439 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 879 104;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 879 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 758 208;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 758 208 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 516 416;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 516 416 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 032 832;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 032 832 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 065 664;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 065 664 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 131 328;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 131 328 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 920 262 656;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 920 262 656 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 840 525 312;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 840 525 312 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 681 050 624;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 681 050 624 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 362 101 248;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 362 101 248 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 724 202 496;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 724 202 496 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 448 404 992;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 448 404 992 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 896 809 984;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 896 809 984 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 793 619 968;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 793 619 968 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 587 239 936;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 587 239 936 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 174 479 872;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 174 479 872 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 686 348 959 744;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 686 348 959 744 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 372 697 919 488;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 372 697 919 488 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 745 395 838 976;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 745 395 838 976 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 490 791 677 952;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 490 791 677 952 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 981 583 355 904;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 981 583 355 904 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 963 166 711 808;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 963 166 711 808 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 926 333 423 616;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 926 333 423 616 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 852 666 847 232;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 852 666 847 232 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 705 333 694 464;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 705 333 694 464 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 410 667 388 928;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 410 667 388 928 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 174 821 334 777 856;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 174 821 334 777 856 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 349 642 669 555 712;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 349 642 669 555 712 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 699 285 339 111 424;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 699 285 339 111 424 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 398 570 678 222 848;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 398 570 678 222 848 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 797 141 356 445 696;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 797 141 356 445 696 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 594 282 712 891 392;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 594 282 712 891 392 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 188 565 425 782 784;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 188 565 425 782 784 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 377 130 851 565 568;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 377 130 851 565 568 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 754 261 703 131 136;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 754 261 703 131 136 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 508 523 406 262 272;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 508 523 406 262 272 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 171 017 046 812 524 544;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 171 017 046 812 524 544 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 342 034 093 625 049 088;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 342 034 093 625 049 088 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 684 068 187 250 098 176;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 684 068 187 250 098 176 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 368 136 374 500 196 352;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 368 136 374 500 196 352 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 736 272 749 000 392 704;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 736 272 749 000 392 704 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 472 545 498 000 785 408;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 472 545 498 000 785 408 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 945 090 996 001 570 816;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 945 090 996 001 570 816 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 890 181 992 003 141 632;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 890 181 992 003 141 632 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 780 363 984 006 283 264;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 780 363 984 006 283 264 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 560 727 968 012 566 528;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 560 727 968 012 566 528 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 975 121 455 936 025 133 056;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 975 121 455 936 025 133 056 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 950 242 911 872 050 266 112;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 950 242 911 872 050 266 112 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 900 485 823 744 100 532 224;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 900 485 823 744 100 532 224 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 800 971 647 488 201 064 448;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 800 971 647 488 201 064 448 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 601 943 294 976 402 128 896;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 601 943 294 976 402 128 896 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 203 886 589 952 804 257 792;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 203 886 589 952 804 257 792 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 407 773 179 905 608 515 584;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 407 773 179 905 608 515 584 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 815 546 359 811 217 031 168;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 815 546 359 811 217 031 168 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 631 092 719 622 434 062 336;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 631 092 719 622 434 062 336 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 262 185 439 244 868 124 672;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 262 185 439 244 868 124 672 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 998 524 370 878 489 736 249 344;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 998 524 370 878 489 736 249 344 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 997 048 741 756 979 472 498 688;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 997 048 741 756 979 472 498 688 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 994 097 483 513 958 944 997 376;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 994 097 483 513 958 944 997 376 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 988 194 967 027 917 889 994 752;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 988 194 967 027 917 889 994 752 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 976 389 934 055 835 779 989 504;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 976 389 934 055 835 779 989 504 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 952 779 868 111 671 559 979 008;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 952 779 868 111 671 559 979 008 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 905 559 736 223 343 119 958 016;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 905 559 736 223 343 119 958 016 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 811 119 472 446 686 239 916 032;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 811 119 472 446 686 239 916 032 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 622 238 944 893 372 479 832 064;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 622 238 944 893 372 479 832 064 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 244 477 889 786 744 959 664 128;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 244 477 889 786 744 959 664 128 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 998 488 955 779 573 489 919 328 256;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 998 488 955 779 573 489 919 328 256 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 996 977 911 559 146 979 838 656 512;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 996 977 911 559 146 979 838 656 512 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 993 955 823 118 293 959 677 313 024;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 993 955 823 118 293 959 677 313 024 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 987 911 646 236 587 919 354 626 048;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 987 911 646 236 587 919 354 626 048 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 975 823 292 473 175 838 709 252 096;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 975 823 292 473 175 838 709 252 096 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 951 646 584 946 351 677 418 504 192;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 951 646 584 946 351 677 418 504 192 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 903 293 169 892 703 354 837 008 384;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 903 293 169 892 703 354 837 008 384 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 806 586 339 785 406 709 674 016 768;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 806 586 339 785 406 709 674 016 768 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 613 172 679 570 813 419 348 033 536;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 613 172 679 570 813 419 348 033 536 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 999 226 345 359 141 626 838 696 067 072;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 999 226 345 359 141 626 838 696 067 072 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 998 452 690 718 283 253 677 392 134 144;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 998 452 690 718 283 253 677 392 134 144 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 996 905 381 436 566 507 354 784 268 288;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 996 905 381 436 566 507 354 784 268 288 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 993 810 762 873 133 014 709 568 536 576;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 993 810 762 873 133 014 709 568 536 576 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 987 621 525 746 266 029 419 137 073 152;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 987 621 525 746 266 029 419 137 073 152 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 975 243 051 492 532 058 838 274 146 304;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 975 243 051 492 532 058 838 274 146 304 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 950 486 102 985 064 117 676 548 292 608;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 950 486 102 985 064 117 676 548 292 608 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 900 972 205 970 128 235 353 096 585 216;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 900 972 205 970 128 235 353 096 585 216 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 801 944 411 940 256 470 706 193 170 432;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 801 944 411 940 256 470 706 193 170 432 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 603 888 823 880 512 941 412 386 340 864;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 334 993 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 065 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100