0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 064;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 128;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 680 256;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 680 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 360 512;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 360 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 721 024;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 721 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 442 048;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 442 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 884 096;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 884 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 768 192;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 768 192 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 536 384;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 536 384 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 072 768;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 072 768 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 145 536;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 145 536 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 291 072;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 291 072 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 920 582 144;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 920 582 144 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 841 164 288;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 841 164 288 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 682 328 576;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 682 328 576 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 364 657 152;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 364 657 152 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 729 314 304;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 729 314 304 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 458 628 608;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 458 628 608 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 917 257 216;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 917 257 216 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 834 514 432;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 834 514 432 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 669 028 864;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 669 028 864 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 338 057 728;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 338 057 728 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 686 676 115 456;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 686 676 115 456 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 373 352 230 912;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 373 352 230 912 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 746 704 461 824;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 746 704 461 824 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 493 408 923 648;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 493 408 923 648 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 986 817 847 296;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 986 817 847 296 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 973 635 694 592;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 973 635 694 592 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 947 271 389 184;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 947 271 389 184 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 894 542 778 368;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 894 542 778 368 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 789 085 556 736;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 789 085 556 736 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 578 171 113 472;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 578 171 113 472 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 175 156 342 226 944;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 175 156 342 226 944 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 350 312 684 453 888;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 350 312 684 453 888 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 700 625 368 907 776;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 700 625 368 907 776 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 401 250 737 815 552;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 401 250 737 815 552 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 802 501 475 631 104;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 802 501 475 631 104 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 605 002 951 262 208;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 605 002 951 262 208 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 210 005 902 524 416;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 210 005 902 524 416 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 420 011 805 048 832;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 420 011 805 048 832 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 840 023 610 097 664;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 840 023 610 097 664 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 680 047 220 195 328;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 680 047 220 195 328 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 171 360 094 440 390 656;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 171 360 094 440 390 656 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 342 720 188 880 781 312;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 342 720 188 880 781 312 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 685 440 377 761 562 624;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 685 440 377 761 562 624 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 370 880 755 523 125 248;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 370 880 755 523 125 248 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 741 761 511 046 250 496;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 741 761 511 046 250 496 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 483 523 022 092 500 992;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 483 523 022 092 500 992 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 967 046 044 185 001 984;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 810 967 046 044 185 001 984 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 934 092 088 370 003 968;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 621 934 092 088 370 003 968 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 868 184 176 740 007 936;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 243 868 184 176 740 007 936 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 736 368 353 480 015 872;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 487 736 368 353 480 015 872 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 975 472 736 706 960 031 744;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 975 472 736 706 960 031 744 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 950 945 473 413 920 063 488;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 950 945 473 413 920 063 488 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 901 890 946 827 840 126 976;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 901 890 946 827 840 126 976 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 803 781 893 655 680 253 952;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 803 781 893 655 680 253 952 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 607 563 787 311 360 507 904;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 607 563 787 311 360 507 904 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 215 127 574 622 721 015 808;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 215 127 574 622 721 015 808 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 430 255 149 245 442 031 616;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 430 255 149 245 442 031 616 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 860 510 298 490 884 063 232;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 860 510 298 490 884 063 232 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 721 020 596 981 768 126 464;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 721 020 596 981 768 126 464 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 442 041 193 963 536 252 928;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 442 041 193 963 536 252 928 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 998 884 082 387 927 072 505 856;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 998 884 082 387 927 072 505 856 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 997 768 164 775 854 145 011 712;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 997 768 164 775 854 145 011 712 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 995 536 329 551 708 290 023 424;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 995 536 329 551 708 290 023 424 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 991 072 659 103 416 580 046 848;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 991 072 659 103 416 580 046 848 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 982 145 318 206 833 160 093 696;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 982 145 318 206 833 160 093 696 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 964 290 636 413 666 320 187 392;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 964 290 636 413 666 320 187 392 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 928 581 272 827 332 640 374 784;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 928 581 272 827 332 640 374 784 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 857 162 545 654 665 280 749 568;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 857 162 545 654 665 280 749 568 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 714 325 091 309 330 561 499 136;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 714 325 091 309 330 561 499 136 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 428 650 182 618 661 122 998 272;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 428 650 182 618 661 122 998 272 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 998 857 300 365 237 322 245 996 544;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 998 857 300 365 237 322 245 996 544 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 997 714 600 730 474 644 491 993 088;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 997 714 600 730 474 644 491 993 088 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 995 429 201 460 949 288 983 986 176;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 995 429 201 460 949 288 983 986 176 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 990 858 402 921 898 577 967 972 352;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 990 858 402 921 898 577 967 972 352 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 981 716 805 843 797 155 935 944 704;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 981 716 805 843 797 155 935 944 704 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 963 433 611 687 594 311 871 889 408;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 963 433 611 687 594 311 871 889 408 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 926 867 223 375 188 623 743 778 816;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 926 867 223 375 188 623 743 778 816 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 853 734 446 750 377 247 487 557 632;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 853 734 446 750 377 247 487 557 632 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 707 468 893 500 754 494 975 115 264;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 707 468 893 500 754 494 975 115 264 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 999 414 937 787 001 508 989 950 230 528;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 999 414 937 787 001 508 989 950 230 528 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 998 829 875 574 003 017 979 900 461 056;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 998 829 875 574 003 017 979 900 461 056 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 997 659 751 148 006 035 959 800 922 112;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 997 659 751 148 006 035 959 800 922 112 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 995 319 502 296 012 071 919 601 844 224;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 995 319 502 296 012 071 919 601 844 224 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 990 639 004 592 024 143 839 203 688 448;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 990 639 004 592 024 143 839 203 688 448 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 981 278 009 184 048 287 678 407 376 896;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 981 278 009 184 048 287 678 407 376 896 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 962 556 018 368 096 575 356 814 753 792;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 962 556 018 368 096 575 356 814 753 792 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 925 112 036 736 193 150 713 629 507 584;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 925 112 036 736 193 150 713 629 507 584 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 850 224 073 472 386 301 427 259 015 168;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 850 224 073 472 386 301 427 259 015 168 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 700 448 146 944 772 602 854 518 030 336;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 032 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 052 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100