0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 212;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 212 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 424;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 680 848;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 680 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 361 696;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 361 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 723 392;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 723 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 446 784;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 446 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 893 568;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 893 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 787 136;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 787 136 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 574 272;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 574 272 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 148 544;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 148 544 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 297 088;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 297 088 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 594 176;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 594 176 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 188 352;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 188 352 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 842 376 704;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 842 376 704 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 684 753 408;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 684 753 408 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 369 506 816;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 369 506 816 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 739 013 632;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 739 013 632 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 478 027 264;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 478 027 264 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 956 054 528;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 956 054 528 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 912 109 056;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 912 109 056 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 824 218 112;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 824 218 112 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 648 436 224;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 648 436 224 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 296 872 448;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 296 872 448 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 374 593 744 896;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 374 593 744 896 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 749 187 489 792;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 749 187 489 792 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 498 374 979 584;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 498 374 979 584 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 996 749 959 168;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 996 749 959 168 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 993 499 918 336;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 993 499 918 336 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 986 999 836 672;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 986 999 836 672 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 973 999 673 344;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 973 999 673 344 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 947 999 346 688;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 947 999 346 688 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 895 998 693 376;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 895 998 693 376 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 175 791 997 386 752;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 175 791 997 386 752 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 351 583 994 773 504;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 351 583 994 773 504 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 703 167 989 547 008;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 703 167 989 547 008 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 406 335 979 094 016;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 406 335 979 094 016 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 812 671 958 188 032;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 812 671 958 188 032 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 625 343 916 376 064;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 625 343 916 376 064 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 250 687 832 752 128;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 250 687 832 752 128 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 501 375 665 504 256;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 501 375 665 504 256 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 002 751 331 008 512;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 002 751 331 008 512 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 005 502 662 017 024;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 005 502 662 017 024 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 011 005 324 034 048;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 011 005 324 034 048 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 022 010 648 068 096;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 022 010 648 068 096 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 688 044 021 296 136 192;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 688 044 021 296 136 192 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 376 088 042 592 272 384;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 376 088 042 592 272 384 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 752 176 085 184 544 768;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 752 176 085 184 544 768 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 504 352 170 369 089 536;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 504 352 170 369 089 536 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 008 704 340 738 179 072;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 008 704 340 738 179 072 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 017 408 681 476 358 144;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 017 408 681 476 358 144 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 034 817 362 952 716 288;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 034 817 362 952 716 288 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 069 634 725 905 432 576;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 069 634 725 905 432 576 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 139 269 451 810 865 152;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 139 269 451 810 865 152 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 952 278 538 903 621 730 304;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 952 278 538 903 621 730 304 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 904 557 077 807 243 460 608;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 904 557 077 807 243 460 608 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 809 114 155 614 486 921 216;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 809 114 155 614 486 921 216 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 618 228 311 228 973 842 432;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 618 228 311 228 973 842 432 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 236 456 622 457 947 684 864;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 236 456 622 457 947 684 864 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 472 913 244 915 895 369 728;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 472 913 244 915 895 369 728 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 945 826 489 831 790 739 456;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 945 826 489 831 790 739 456 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 891 652 979 663 581 478 912;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 891 652 979 663 581 478 912 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 783 305 959 327 162 957 824;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 783 305 959 327 162 957 824 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 999 566 611 918 654 325 915 648;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 999 566 611 918 654 325 915 648 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 999 133 223 837 308 651 831 296;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 999 133 223 837 308 651 831 296 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 998 266 447 674 617 303 662 592;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 998 266 447 674 617 303 662 592 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 996 532 895 349 234 607 325 184;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 996 532 895 349 234 607 325 184 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 993 065 790 698 469 214 650 368;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 993 065 790 698 469 214 650 368 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 986 131 581 396 938 429 300 736;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 986 131 581 396 938 429 300 736 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 972 263 162 793 876 858 601 472;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 972 263 162 793 876 858 601 472 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 944 526 325 587 753 717 202 944;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 944 526 325 587 753 717 202 944 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 889 052 651 175 507 434 405 888;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 889 052 651 175 507 434 405 888 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 778 105 302 351 014 868 811 776;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 778 105 302 351 014 868 811 776 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 999 556 210 604 702 029 737 623 552;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 999 556 210 604 702 029 737 623 552 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 999 112 421 209 404 059 475 247 104;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 999 112 421 209 404 059 475 247 104 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 998 224 842 418 808 118 950 494 208;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 998 224 842 418 808 118 950 494 208 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 996 449 684 837 616 237 900 988 416;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 996 449 684 837 616 237 900 988 416 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 992 899 369 675 232 475 801 976 832;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 992 899 369 675 232 475 801 976 832 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 985 798 739 350 464 951 603 953 664;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 985 798 739 350 464 951 603 953 664 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 971 597 478 700 929 903 207 907 328;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 971 597 478 700 929 903 207 907 328 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 943 194 957 401 859 806 415 814 656;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 943 194 957 401 859 806 415 814 656 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 886 389 914 803 719 612 831 629 312;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 886 389 914 803 719 612 831 629 312 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 999 772 779 829 607 439 225 663 258 624;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 999 772 779 829 607 439 225 663 258 624 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 999 545 559 659 214 878 451 326 517 248;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 999 545 559 659 214 878 451 326 517 248 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 999 091 119 318 429 756 902 653 034 496;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 999 091 119 318 429 756 902 653 034 496 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 998 182 238 636 859 513 805 306 068 992;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 998 182 238 636 859 513 805 306 068 992 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 996 364 477 273 719 027 610 612 137 984;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 996 364 477 273 719 027 610 612 137 984 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 992 728 954 547 438 055 221 224 275 968;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 992 728 954 547 438 055 221 224 275 968 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 985 457 909 094 876 110 442 448 551 936;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 985 457 909 094 876 110 442 448 551 936 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 970 915 818 189 752 220 884 897 103 872;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 970 915 818 189 752 220 884 897 103 872 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 941 831 636 379 504 441 769 794 207 744;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 941 831 636 379 504 441 769 794 207 744 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 883 663 272 759 008 883 539 588 415 488;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 106 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 196 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100