0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 305 6;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 305 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 611 2;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 611 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 222 4;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 222 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 362 444 8;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 362 444 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 724 889 6;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 724 889 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 449 779 2;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 449 779 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 899 558 4;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 899 558 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 799 116 8;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 799 116 8 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 598 233 6;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 598 233 6 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 196 467 2;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 196 467 2 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 392 934 4;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 392 934 4 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 785 868 8;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 785 868 8 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 571 737 6;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 571 737 6 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 843 143 475 2;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 843 143 475 2 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 686 286 950 4;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 686 286 950 4 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 372 573 900 8;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 372 573 900 8 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 745 147 801 6;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 745 147 801 6 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 490 295 603 2;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 490 295 603 2 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 980 591 206 4;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 980 591 206 4 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 961 182 412 8;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 961 182 412 8 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 922 364 825 6;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 922 364 825 6 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 844 729 651 2;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 844 729 651 2 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 689 459 302 4;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 689 459 302 4 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 375 378 918 604 8;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 375 378 918 604 8 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 750 757 837 209 6;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 750 757 837 209 6 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 501 515 674 419 2;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 501 515 674 419 2 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 003 031 348 838 4;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 003 031 348 838 4 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 006 062 697 676 8;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 006 062 697 676 8 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 012 125 395 353 6;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 012 125 395 353 6 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 024 250 790 707 2;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 024 250 790 707 2 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 048 501 581 414 4;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 048 501 581 414 4 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 097 003 162 828 8;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 097 003 162 828 8 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 194 006 325 657 6;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 194 006 325 657 6 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 352 388 012 651 315 2;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 352 388 012 651 315 2 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 704 776 025 302 630 4;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 704 776 025 302 630 4 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 409 552 050 605 260 8;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 409 552 050 605 260 8 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 819 104 101 210 521 6;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 819 104 101 210 521 6 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 638 208 202 421 043 2;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 638 208 202 421 043 2 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 276 416 404 842 086 4;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 276 416 404 842 086 4 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 552 832 809 684 172 8;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 552 832 809 684 172 8 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 105 665 619 368 345 6;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 105 665 619 368 345 6 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 211 331 238 736 691 2;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 211 331 238 736 691 2 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 422 662 477 473 382 4;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 422 662 477 473 382 4 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 845 324 954 946 764 8;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 845 324 954 946 764 8 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 689 690 649 909 893 529 6;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 689 690 649 909 893 529 6 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 379 381 299 819 787 059 2;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 379 381 299 819 787 059 2 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 758 762 599 639 574 118 4;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 758 762 599 639 574 118 4 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 517 525 199 279 148 236 8;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 517 525 199 279 148 236 8 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 035 050 398 558 296 473 6;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 035 050 398 558 296 473 6 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 070 100 797 116 592 947 2;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 070 100 797 116 592 947 2 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 140 201 594 233 185 894 4;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 140 201 594 233 185 894 4 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 280 403 188 466 371 788 8;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 280 403 188 466 371 788 8 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 560 806 376 932 743 577 6;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 560 806 376 932 743 577 6 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 953 121 612 753 865 487 155 2;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 953 121 612 753 865 487 155 2 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 906 243 225 507 730 974 310 4;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 906 243 225 507 730 974 310 4 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 812 486 451 015 461 948 620 8;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 812 486 451 015 461 948 620 8 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 624 972 902 030 923 897 241 6;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 624 972 902 030 923 897 241 6 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 249 945 804 061 847 794 483 2;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 249 945 804 061 847 794 483 2 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 499 891 608 123 695 588 966 4;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 499 891 608 123 695 588 966 4 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 999 783 216 247 391 177 932 8;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 999 783 216 247 391 177 932 8 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 999 566 432 494 782 355 865 6;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 999 566 432 494 782 355 865 6 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 999 132 864 989 564 711 731 2;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 999 132 864 989 564 711 731 2 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 999 998 265 729 979 129 423 462 4;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 999 998 265 729 979 129 423 462 4 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 999 996 531 459 958 258 846 924 8;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 999 996 531 459 958 258 846 924 8 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 999 993 062 919 916 517 693 849 6;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 999 993 062 919 916 517 693 849 6 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 999 986 125 839 833 035 387 699 2;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 999 986 125 839 833 035 387 699 2 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 999 972 251 679 666 070 775 398 4;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 999 972 251 679 666 070 775 398 4 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 999 944 503 359 332 141 550 796 8;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 999 944 503 359 332 141 550 796 8 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 999 889 006 718 664 283 101 593 6;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 999 889 006 718 664 283 101 593 6 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 999 778 013 437 328 566 203 187 2;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 999 778 013 437 328 566 203 187 2 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 999 556 026 874 657 132 406 374 4;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 999 556 026 874 657 132 406 374 4 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 999 112 053 749 314 264 812 748 8;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 999 112 053 749 314 264 812 748 8 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 999 998 224 107 498 628 529 625 497 6;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 999 998 224 107 498 628 529 625 497 6 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 999 996 448 214 997 257 059 250 995 2;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 999 996 448 214 997 257 059 250 995 2 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 999 992 896 429 994 514 118 501 990 4;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 999 992 896 429 994 514 118 501 990 4 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 999 985 792 859 989 028 237 003 980 8;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 999 985 792 859 989 028 237 003 980 8 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 999 971 585 719 978 056 474 007 961 6;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 999 971 585 719 978 056 474 007 961 6 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 999 943 171 439 956 112 948 015 923 2;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 999 943 171 439 956 112 948 015 923 2 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 999 886 342 879 912 225 896 031 846 4;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 999 886 342 879 912 225 896 031 846 4 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 999 772 685 759 824 451 792 063 692 8;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 999 772 685 759 824 451 792 063 692 8 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 999 545 371 519 648 903 584 127 385 6;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 999 545 371 519 648 903 584 127 385 6 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 999 999 090 743 039 297 807 168 254 771 2;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 999 999 090 743 039 297 807 168 254 771 2 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 999 998 181 486 078 595 614 336 509 542 4;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 999 998 181 486 078 595 614 336 509 542 4 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 999 996 362 972 157 191 228 673 019 084 8;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 999 996 362 972 157 191 228 673 019 084 8 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 999 992 725 944 314 382 457 346 038 169 6;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 999 992 725 944 314 382 457 346 038 169 6 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 999 985 451 888 628 764 914 692 076 339 2;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 999 985 451 888 628 764 914 692 076 339 2 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 999 970 903 777 257 529 829 384 152 678 4;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 999 970 903 777 257 529 829 384 152 678 4 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 999 941 807 554 515 059 658 768 305 356 8;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 999 941 807 554 515 059 658 768 305 356 8 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 999 883 615 109 030 119 317 536 610 713 6;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 999 883 615 109 030 119 317 536 610 713 6 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 999 767 230 218 060 238 635 073 221 427 2;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 999 767 230 218 060 238 635 073 221 427 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 999 534 460 436 120 477 270 146 442 854 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 145 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100