0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 307 22;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 307 22 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 614 44;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 614 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 228 88;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 228 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 362 457 76;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 362 457 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 724 915 52;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 724 915 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 449 831 04;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 449 831 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 899 662 08;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 899 662 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 799 324 16;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 799 324 16 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 598 648 32;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 598 648 32 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 197 296 64;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 197 296 64 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 394 593 28;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 394 593 28 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 789 186 56;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 789 186 56 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 578 373 12;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 578 373 12 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 843 156 746 24;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 843 156 746 24 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 686 313 492 48;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 686 313 492 48 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 372 626 984 96;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 372 626 984 96 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 745 253 969 92;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 745 253 969 92 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 490 507 939 84;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 490 507 939 84 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 981 015 879 68;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 981 015 879 68 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 962 031 759 36;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 962 031 759 36 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 924 063 518 72;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 924 063 518 72 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 848 127 037 44;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 848 127 037 44 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 696 254 074 88;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 696 254 074 88 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 375 392 508 149 76;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 375 392 508 149 76 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 750 785 016 299 52;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 750 785 016 299 52 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 501 570 032 599 04;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 501 570 032 599 04 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 003 140 065 198 08;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 003 140 065 198 08 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 006 280 130 396 16;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 006 280 130 396 16 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 012 560 260 792 32;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 012 560 260 792 32 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 025 120 521 584 64;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 025 120 521 584 64 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 050 241 043 169 28;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 050 241 043 169 28 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 100 482 086 338 56;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 100 482 086 338 56 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 200 964 172 677 12;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 200 964 172 677 12 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 352 401 928 345 354 24;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 352 401 928 345 354 24 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 704 803 856 690 708 48;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 704 803 856 690 708 48 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 409 607 713 381 416 96;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 409 607 713 381 416 96 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 819 215 426 762 833 92;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 819 215 426 762 833 92 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 638 430 853 525 667 84;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 638 430 853 525 667 84 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 276 861 707 051 335 68;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 276 861 707 051 335 68 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 553 723 414 102 671 36;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 553 723 414 102 671 36 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 107 446 828 205 342 72;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 107 446 828 205 342 72 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 214 893 656 410 685 44;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 214 893 656 410 685 44 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 429 787 312 821 370 88;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 429 787 312 821 370 88 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 859 574 625 642 741 76;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 859 574 625 642 741 76 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 689 719 149 251 285 483 52;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 689 719 149 251 285 483 52 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 379 438 298 502 570 967 04;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 379 438 298 502 570 967 04 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 758 876 597 005 141 934 08;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 758 876 597 005 141 934 08 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 517 753 194 010 283 868 16;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 517 753 194 010 283 868 16 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 035 506 388 020 567 736 32;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 035 506 388 020 567 736 32 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 071 012 776 041 135 472 64;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 071 012 776 041 135 472 64 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 142 025 552 082 270 945 28;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 142 025 552 082 270 945 28 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 284 051 104 164 541 890 56;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 284 051 104 164 541 890 56 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 568 102 208 329 083 781 12;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 568 102 208 329 083 781 12 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 953 136 204 416 658 167 562 24;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 953 136 204 416 658 167 562 24 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 906 272 408 833 316 335 124 48;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 906 272 408 833 316 335 124 48 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 812 544 817 666 632 670 248 96;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 812 544 817 666 632 670 248 96 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 625 089 635 333 265 340 497 92;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 625 089 635 333 265 340 497 92 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 250 179 270 666 530 680 995 84;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 250 179 270 666 530 680 995 84 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 500 358 541 333 061 361 991 68;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 500 358 541 333 061 361 991 68 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 000 717 082 666 122 723 983 36;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 000 717 082 666 122 723 983 36 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 001 434 165 332 245 447 966 72;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 001 434 165 332 245 447 966 72 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 500 002 868 330 664 490 895 933 44;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 500 002 868 330 664 490 895 933 44 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 000 005 736 661 328 981 791 866 88;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 000 005 736 661 328 981 791 866 88 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 000 011 473 322 657 963 583 733 76;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 000 011 473 322 657 963 583 733 76 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 000 022 946 645 315 927 167 467 52;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 000 022 946 645 315 927 167 467 52 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 000 045 893 290 631 854 334 935 04;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 000 045 893 290 631 854 334 935 04 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 000 091 786 581 263 708 669 870 08;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 000 091 786 581 263 708 669 870 08 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 000 183 573 162 527 417 339 740 16;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 000 183 573 162 527 417 339 740 16 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 000 367 146 325 054 834 679 480 32;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 000 367 146 325 054 834 679 480 32 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 000 734 292 650 109 669 358 960 64;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 000 734 292 650 109 669 358 960 64 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 001 468 585 300 219 338 717 921 28;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 001 468 585 300 219 338 717 921 28 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 125 000 000 000 002 937 170 600 438 677 435 842 56;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 125 000 000 000 002 937 170 600 438 677 435 842 56 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 250 000 000 000 005 874 341 200 877 354 871 685 12;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 250 000 000 000 005 874 341 200 877 354 871 685 12 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 500 000 000 000 011 748 682 401 754 709 743 370 24;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 500 000 000 000 011 748 682 401 754 709 743 370 24 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 625 000 000 000 000 023 497 364 803 509 419 486 740 48;
  • 76) 0,849 273 681 640 625 000 000 000 000 023 497 364 803 509 419 486 740 48 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 250 000 000 000 000 046 994 729 607 018 838 973 480 96;
  • 77) 0,698 547 363 281 250 000 000 000 000 046 994 729 607 018 838 973 480 96 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 500 000 000 000 000 093 989 459 214 037 677 946 961 92;
  • 78) 0,397 094 726 562 500 000 000 000 000 093 989 459 214 037 677 946 961 92 × 2 = 0 + 0,794 189 453 125 000 000 000 000 000 187 978 918 428 075 355 893 923 84;
  • 79) 0,794 189 453 125 000 000 000 000 000 187 978 918 428 075 355 893 923 84 × 2 = 1 + 0,588 378 906 250 000 000 000 000 000 375 957 836 856 150 711 787 847 68;
  • 80) 0,588 378 906 250 000 000 000 000 000 375 957 836 856 150 711 787 847 68 × 2 = 1 + 0,176 757 812 500 000 000 000 000 000 751 915 673 712 301 423 575 695 36;
  • 81) 0,176 757 812 500 000 000 000 000 000 751 915 673 712 301 423 575 695 36 × 2 = 0 + 0,353 515 625 000 000 000 000 000 001 503 831 347 424 602 847 151 390 72;
  • 82) 0,353 515 625 000 000 000 000 000 001 503 831 347 424 602 847 151 390 72 × 2 = 0 + 0,707 031 250 000 000 000 000 000 003 007 662 694 849 205 694 302 781 44;
  • 83) 0,707 031 250 000 000 000 000 000 003 007 662 694 849 205 694 302 781 44 × 2 = 1 + 0,414 062 500 000 000 000 000 000 006 015 325 389 698 411 388 605 562 88;
  • 84) 0,414 062 500 000 000 000 000 000 006 015 325 389 698 411 388 605 562 88 × 2 = 0 + 0,828 125 000 000 000 000 000 000 012 030 650 779 396 822 777 211 125 76;
  • 85) 0,828 125 000 000 000 000 000 000 012 030 650 779 396 822 777 211 125 76 × 2 = 1 + 0,656 250 000 000 000 000 000 000 024 061 301 558 793 645 554 422 251 52;
  • 86) 0,656 250 000 000 000 000 000 000 024 061 301 558 793 645 554 422 251 52 × 2 = 1 + 0,312 500 000 000 000 000 000 000 048 122 603 117 587 291 108 844 503 04;
  • 87) 0,312 500 000 000 000 000 000 000 048 122 603 117 587 291 108 844 503 04 × 2 = 0 + 0,625 000 000 000 000 000 000 000 096 245 206 235 174 582 217 689 006 08;
  • 88) 0,625 000 000 000 000 000 000 000 096 245 206 235 174 582 217 689 006 08 × 2 = 1 + 0,250 000 000 000 000 000 000 000 192 490 412 470 349 164 435 378 012 16;
  • 89) 0,250 000 000 000 000 000 000 000 192 490 412 470 349 164 435 378 012 16 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 000 000 384 980 824 940 698 328 870 756 024 32;
  • 90) 0,500 000 000 000 000 000 000 000 384 980 824 940 698 328 870 756 024 32 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 000 000 769 961 649 881 396 657 741 512 048 64;
  • 91) 0,000 000 000 000 000 000 000 000 769 961 649 881 396 657 741 512 048 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 001 539 923 299 762 793 315 483 024 097 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100