0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 418;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 418 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 836;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 836 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 672;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 363 344;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 363 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 726 688;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 726 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 453 376;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 453 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 906 752;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 906 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 813 504;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 813 504 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 627 008;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 627 008 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 254 016;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 254 016 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 508 032;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 508 032 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 461 016 064;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 461 016 064 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 922 032 128;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 922 032 128 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 844 064 256;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 844 064 256 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 688 128 512;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 688 128 512 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 376 257 024;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 376 257 024 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 752 514 048;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 752 514 048 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 505 028 096;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 505 028 096 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 043 010 056 192;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 043 010 056 192 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 086 020 112 384;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 086 020 112 384 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 172 040 224 768;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 172 040 224 768 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 344 080 449 536;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 344 080 449 536 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 688 160 899 072;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 688 160 899 072 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 376 321 798 144;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 376 321 798 144 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 752 643 596 288;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 752 643 596 288 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 505 287 192 576;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 505 287 192 576 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 010 574 385 152;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 010 574 385 152 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 021 148 770 304;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 021 148 770 304 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 042 297 540 608;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 042 297 540 608 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 084 595 081 216;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 084 595 081 216 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 169 190 162 432;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 169 190 162 432 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 338 380 324 864;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 338 380 324 864 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 676 760 649 728;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 676 760 649 728 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 353 353 521 299 456;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 353 353 521 299 456 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 706 707 042 598 912;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 706 707 042 598 912 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 413 414 085 197 824;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 413 414 085 197 824 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 826 828 170 395 648;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 826 828 170 395 648 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 653 656 340 791 296;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 653 656 340 791 296 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 307 312 681 582 592;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 307 312 681 582 592 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 614 625 363 165 184;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 614 625 363 165 184 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 229 250 726 330 368;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 229 250 726 330 368 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 458 501 452 660 736;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 458 501 452 660 736 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 917 002 905 321 472;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 917 002 905 321 472 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 345 834 005 810 642 944;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 345 834 005 810 642 944 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 691 668 011 621 285 888;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 691 668 011 621 285 888 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 383 336 023 242 571 776;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 383 336 023 242 571 776 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 766 672 046 485 143 552;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 766 672 046 485 143 552 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 533 344 092 970 287 104;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 533 344 092 970 287 104 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 066 688 185 940 574 208;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 066 688 185 940 574 208 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 133 376 371 881 148 416;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 133 376 371 881 148 416 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 266 752 743 762 296 832;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 266 752 743 762 296 832 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 533 505 487 524 593 664;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 533 505 487 524 593 664 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 977 067 010 975 049 187 328;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 977 067 010 975 049 187 328 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 954 134 021 950 098 374 656;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 954 134 021 950 098 374 656 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 908 268 043 900 196 749 312;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 908 268 043 900 196 749 312 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 816 536 087 800 393 498 624;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 816 536 087 800 393 498 624 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 633 072 175 600 786 997 248;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 633 072 175 600 786 997 248 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 266 144 351 201 573 994 496;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 266 144 351 201 573 994 496 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 532 288 702 403 147 988 992;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 532 288 702 403 147 988 992 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 064 577 404 806 295 977 984;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 064 577 404 806 295 977 984 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 129 154 809 612 591 955 968;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 129 154 809 612 591 955 968 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 500 258 309 619 225 183 911 936;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 500 258 309 619 225 183 911 936 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 000 516 619 238 450 367 823 872;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 000 516 619 238 450 367 823 872 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 001 033 238 476 900 735 647 744;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 001 033 238 476 900 735 647 744 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 002 066 476 953 801 471 295 488;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 002 066 476 953 801 471 295 488 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 004 132 953 907 602 942 590 976;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 004 132 953 907 602 942 590 976 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 008 265 907 815 205 885 181 952;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 008 265 907 815 205 885 181 952 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 016 531 815 630 411 770 363 904;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 016 531 815 630 411 770 363 904 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 033 063 631 260 823 540 727 808;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 033 063 631 260 823 540 727 808 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 066 127 262 521 647 081 455 616;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 066 127 262 521 647 081 455 616 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 132 254 525 043 294 162 911 232;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 132 254 525 043 294 162 911 232 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 125 000 000 000 264 509 050 086 588 325 822 464;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 125 000 000 000 264 509 050 086 588 325 822 464 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 250 000 000 000 529 018 100 173 176 651 644 928;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 250 000 000 000 529 018 100 173 176 651 644 928 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 500 000 000 001 058 036 200 346 353 303 289 856;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 500 000 000 001 058 036 200 346 353 303 289 856 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 625 000 000 000 002 116 072 400 692 706 606 579 712;
  • 76) 0,849 273 681 640 625 000 000 000 002 116 072 400 692 706 606 579 712 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 250 000 000 000 004 232 144 801 385 413 213 159 424;
  • 77) 0,698 547 363 281 250 000 000 000 004 232 144 801 385 413 213 159 424 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 500 000 000 000 008 464 289 602 770 826 426 318 848;
  • 78) 0,397 094 726 562 500 000 000 000 008 464 289 602 770 826 426 318 848 × 2 = 0 + 0,794 189 453 125 000 000 000 000 016 928 579 205 541 652 852 637 696;
  • 79) 0,794 189 453 125 000 000 000 000 016 928 579 205 541 652 852 637 696 × 2 = 1 + 0,588 378 906 250 000 000 000 000 033 857 158 411 083 305 705 275 392;
  • 80) 0,588 378 906 250 000 000 000 000 033 857 158 411 083 305 705 275 392 × 2 = 1 + 0,176 757 812 500 000 000 000 000 067 714 316 822 166 611 410 550 784;
  • 81) 0,176 757 812 500 000 000 000 000 067 714 316 822 166 611 410 550 784 × 2 = 0 + 0,353 515 625 000 000 000 000 000 135 428 633 644 333 222 821 101 568;
  • 82) 0,353 515 625 000 000 000 000 000 135 428 633 644 333 222 821 101 568 × 2 = 0 + 0,707 031 250 000 000 000 000 000 270 857 267 288 666 445 642 203 136;
  • 83) 0,707 031 250 000 000 000 000 000 270 857 267 288 666 445 642 203 136 × 2 = 1 + 0,414 062 500 000 000 000 000 000 541 714 534 577 332 891 284 406 272;
  • 84) 0,414 062 500 000 000 000 000 000 541 714 534 577 332 891 284 406 272 × 2 = 0 + 0,828 125 000 000 000 000 000 001 083 429 069 154 665 782 568 812 544;
  • 85) 0,828 125 000 000 000 000 000 001 083 429 069 154 665 782 568 812 544 × 2 = 1 + 0,656 250 000 000 000 000 000 002 166 858 138 309 331 565 137 625 088;
  • 86) 0,656 250 000 000 000 000 000 002 166 858 138 309 331 565 137 625 088 × 2 = 1 + 0,312 500 000 000 000 000 000 004 333 716 276 618 663 130 275 250 176;
  • 87) 0,312 500 000 000 000 000 000 004 333 716 276 618 663 130 275 250 176 × 2 = 0 + 0,625 000 000 000 000 000 000 008 667 432 553 237 326 260 550 500 352;
  • 88) 0,625 000 000 000 000 000 000 008 667 432 553 237 326 260 550 500 352 × 2 = 1 + 0,250 000 000 000 000 000 000 017 334 865 106 474 652 521 101 000 704;
  • 89) 0,250 000 000 000 000 000 000 017 334 865 106 474 652 521 101 000 704 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 000 034 669 730 212 949 305 042 202 001 408;
  • 90) 0,500 000 000 000 000 000 000 034 669 730 212 949 305 042 202 001 408 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 000 069 339 460 425 898 610 084 404 002 816;
  • 91) 0,000 000 000 000 000 000 000 069 339 460 425 898 610 084 404 002 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 138 678 920 851 797 220 168 808 005 632;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 209 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 244 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100